Luyện tập Phương trình mặt cầu CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm bán kính đường tròn
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - 2 = 0$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;1; - 1)$ bán kính $R = 2$ . Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $r = 1$
- B.
  $r = \sqrt{3}$
- C.
  $r = \sqrt{5}$
- D.
  $r = 3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là $r$

Ta có:

$h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1$

Suy ra $r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện đều $ABCD$ có $A(0;1;2)$ và hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ là $H(4; - 3; - 2)$ . Tìm tọa độ tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $I(2; - 1;0)$
- B.
  $I( - 3; - 2;1)$
- C.
  $I(3; - 2; - 1)$
- D.
  $I(3; - 2;1)$
Hướng dẫn:
Gọi $I(a;b;c) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = ( - a;1 - b;2 - c) \\ \overrightarrow{IH} = (4 - a; - 3 - b; - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$ABCD$ là tứ diện đều nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

$\Rightarrow \overrightarrow{IA} = - 3\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a = - 3(4 - a) \\ 1 - b = - 3(3 - b) \\ 2 - c = - 3( - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3; - 2; - 1)$
Câu 3: Nhận biết
Định các giá trị nguyên tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình mặt cầu
- A.
  $- 2 \leq m \leq 1$
- B.
  $1 < m < 2$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

$(m + 2)^{2} + 4m^{2} - 19m + 6 > 0$

$\Leftrightarrow 5m^{2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 4: Vận dụng
Xác định các tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; 1; 2)$ và $B(5; 7; 0)$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0$ là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm $A, B$ có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m - 1)^{2} = m^{2} - 3(*)$

Suy ra (*) là phương trình mặt cầu

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow |m| > \sqrt{3}$

Khi đó, mặt cầu (S) có tâm $I(2; −m; m + 1)$ và bán kính $R = \sqrt{m^{2} - 3}$

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.

Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.

Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là $d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{m^{2} - 4};\left( m^{2} - 4 \geq 0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (2;6; - 2)$ suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$

Suy ra đường thẳng $AB$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì

TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và $I otin AB$

Ta có $I ∈ (P) ⇔ d = 0 ⇔ m^2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.$

+ Với $m = 2 ⇒ I(2; −2; 3) ∈ AB ⇒ m = 2$ (loại).

+ Với m = −2 ⇒ $I(2;2; - 1) otin AB$ ⇒ m = −2 (thỏa mãn).

TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)

$\overrightarrow{IA} = (1;1 + m;1 - m)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 4 + 2m;2 - m;2 - m)$

$\Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight| = |2 - m|\sqrt{6};\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{11}$

Khi đó $d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}$

$(*) \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} - 4} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}$

$\Leftrightarrow 5m^{2} + 24m - 68 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 2(ktm) \\m = - \dfrac{34}{5}(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ ?
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 64$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 64$
- C.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 8$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$
Hướng dẫn:
Vì mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ nên mặt cầu $(S)$ nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ làm bán kính.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow R = 2\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$ .
Câu 6: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2;7),B( - 3;8; - 1)$ . Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 3)^{2} = \sqrt{45}$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 45$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = \sqrt{45}$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45$
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ khi đó $I( - 1;3;3)$ là tâm mặt cầu $(S)$ .

Bán kính $R = IA = \sqrt{(1 + 1)^{2} + ( - 2 - 3)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{45}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45$ .
Câu 7: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $3$
- C.
  $\sqrt{7}$
- D.
  $9$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.( - 1)x - 2.0.y - 2.1z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I( - 1;0;1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{( - 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} - 7} = 3$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
Hướng dẫn:
Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 20$
- A.
  $I( - 1;2; - 4),R = 2\sqrt{5}$
- B.
  $I(1; - 2;4),R = 2\sqrt{5}$
- C.
  $I(1; - 2;4),R = 20$
- D.
  $I( - 1;2; - 4),R = 5\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I(1; - 2;4)$

Bán kính mặt cầu $(S)$ là: $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tìm tập hợp các giá trị a
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , xét mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0$ . Tập hợp các giá trị thực của tham số $a$ để $(S)$ có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
- B.
  $a \in \left\{ 1;10 ight\}$
- C.
  $a \in \left\{ 2; - 10 ight\}$
- D.
  $a \in \left\{ 1; - 11 ight\}$
Hướng dẫn:
Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Từ phương trình của $(S)$ suy ra bán kính của $(S)$ là $R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}$

Do đó $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ theo thiết diện là đường tròn bán kính $r$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $r = 3$
- B.
  $r = 4$
- C.
  $r = 5$
- D.
  $r = 16$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1; - 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Oxy)$ bằng $3$ .

$\Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 12: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$ biết $A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)$ ?
- A.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 24$
- B.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 24$
- C.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
- D.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
Hướng dẫn:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ khi đó $I(1;1; - 2)$ là tâm mặt cầu $(S)$ .

Bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1; 2; −2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với $(P)$ .
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $AH ⊥ BC, CH ⊥ AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)$

Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

⇒ Phương trình mặt cầu là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính diện tích đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0$ cắt mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
- A.
  $\frac{9\pi}{4}$
- B.
  $\frac{15\pi}{4}$
- C.
  $\frac{11\pi}{4}$
- D.
  $\frac{7\pi}{4}$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến (P): $d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}$

Bán kính đường tròn giao tuyến

$r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Diện tích đường tròn giao tuyến $S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}$ .
Câu 15: Vận dụng
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2;3)$ và $B( - 1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z + 4 = 0$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $\frac{AB}{6}$ có tâm thuộc đường thẳng $AB$ và $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x - 6)^{2} + (y + 5)^{2} + (z - 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 2)^{2} = \frac{1}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ suy ra $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Ta có: $R = \frac{AB}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Tâm I thuộc AB nên $I(1 - 2t; - 2 + 2t;3 - 2t)$

Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên

$d\left( I;(P) ight) = R$

$\Leftrightarrow \frac{\left| (1 - 2t) + ( - 2 + 2t) + (2 - 2t) + 4 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow |6 - 2t| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 6 - 2t = 1 \\ 6 - 2t = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow I( - 4;3; - 2) \\t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I( - 6;5; - 4) \\\end{matrix} ight.$

Ta có phương trình đường tròn (C) tâm $I(−4; 3; −2)$ , bán kính $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ là:

$(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}$

Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ là:

$(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \frac{1}{3}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left\lbrack\begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ và tiếp xúc với $(S)$ là
- A.
  $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$
- B.
  $(P):2x + y + 2z + 15 = 0$
- C.
  $(P):2x + y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(P):2x + y + 2z - 15 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

(S) có tâm $I (1; −2; 3)$ , bán kính $R = 3$ . (P) song song với (α)

⇒ $(P):2x + y + 2z + m = 0$ , với $m eq - 15$

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$ , so với điều kiện ta nhận $m = 3$ .

Vậy $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 2;3)$ . Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ ?
- A.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- B.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{13}$
- C.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- D.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 17$
Hướng dẫn:
Hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox$ là: $I(1;0;0)$

$\Rightarrow IM = \sqrt{13}$

Suy ra phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ là: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt cầu $(S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1$ , $(S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4$ , $(S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0$ . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1), (S_2), (S_3)$ ?
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $8$
Hướng dẫn:
Ta có $\left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight)$ có tâm lần lượt là $I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0)$ và bán kính lần lượt là $R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3$ .
Gọi $(P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.$
Xét phương trình
$3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.$
(1) Với $d = - 4a - 2b - 12c$ . Thay vào $2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|$ , ta được
$2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.$
Với $a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được:
$\left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}$
$\Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0$ (vô lí).
Với $a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được:
$\left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}$
$\Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}$
$\Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0$ (vô lí).
(2) Với $5d = 4a - 10b - 12c$ .
Thay vào $2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|$ , ta được
$2| - 11a + 8c| = |4a + 8c$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.$
Với $a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được
$\left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}$
$\Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}$
Với $c = \frac{13b}{\sqrt{11}}$ : chọn $b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow$ Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight)$ .
Với $a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b$
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ta được:
$\left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0$ (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ qua bốn điểm $A(3;3;0),B(3;0;3),$ $C(0;3;3),D(3;3;3)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- B.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- D.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Hướng dẫn:
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} ight)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Câu 20: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng $(α): x−y +z −4 = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ , vuông góc với $(α)$ và đồng thời $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm $M$ của $(P)$ và trục $x’Ox$ là
- A.
  $M\left( - \frac{1}{3};0;0 ight)$
- B.
  $M( - 1;0;0)$
- C.
  $M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight)$
- D.
  $M\left( \frac{1}{3};0;0 ight)$
Hướng dẫn:
Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi $d(I,(P))$ lớn nhất.

Vì $M ∈ x'Ox$ nên gọi M(m; 0; 0).

Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

Khi đó $\overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)$

Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

$3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0$ hay $3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}}$ lớn nhất khi và chỉ khi $2m^{2} + 2m + 14$ đạt giá trị nhỏ nhất

Mà $2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}$

Do đó $2m^{2} + 2m + 14$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $m = - \frac{1}{2}$

Vậy $M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight)$ .