Luyện tập Phương trình đường thẳng trong không gian CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0$ . Khi hai mặt phẳng $(P)$ , $(Q)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm M nào sau đây?
- A.
  $M( - 2019;1;1)$
- B.
  $M(0;0;2019)$
- C.
  $M(0; - 2019;0)$
- D.
  $M(2019; - 1;1)$
Hướng dẫn:
Gọi $\alpha$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$ .

Ta có:

$\cos\alpha = \dfrac{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{Q}ight|}$ $= \dfrac{1}{3\sqrt{2m^{2} - 2m + 2}} = \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m- \dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}}$

$\leq \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m -\dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}} \leq\dfrac{1}{3\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$

Do $0 \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ nên $\alpha$ nhỏ nhất khi $\cos\alpha$ lớn nhất $\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

$\Rightarrow (Q):2x + y - z + 4038 = 0 \Rightarrow M( - 2019;1;1) \in (Q)$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm điểm thuộc đường thẳng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$ ?
- A.
  $P(2; - 1;3)$
- B.
  $Q( - 2;1; - 3)$
- C.
  $M( - 1;1;2)$
- D.
  $N(1; - 1;2)$
Hướng dẫn:
Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm $N(1; - 1;2)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 - 4t \\ z = 6 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và đường thẳng $d_{2}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 5}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1; - 1;2)$ , đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 2}{4}$
- B.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{4}$
- C.
  $\frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 4;6)\ \\ \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Do $\left\{ \begin{matrix} \Delta\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \Delta\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = (14;17;9)$

Mà ∆ đi qua $A(1; - 1;2)$ do đó ∆ có phương trình là $\frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}$ .
Câu 4: Vận dụng
Xác định tọa độ điểm H
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(−1; 0; 1), B(1; 1; −1); C(5; 0; −2)$ . Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác $ABCH$ lập thành hình thang cân với hai đáy $AB, CH$ .
- A.
  $H(1; - 2;2)$
- B.
  $H(7;1; - 4)$
- C.
  $H( - 1; - 3;4)$
- D.
  $H(3; - 1;0)$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1; - 2);M\left( 0;\frac{1}{2};0 ight)$ là trung điểm AB.

Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB $\Rightarrow (\alpha):2x + y - 2z - \frac{1}{2} = 0$

Gọi d là đường thẳng qua C và song song AB $\Rightarrow d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = t \\ z = - 2 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi I là hình chiếu của C lên (α).

Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x = 5 + 2t \\y = t \\z = - 2 - 2t \\2x + y - 2z - \dfrac{1}{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{3}{2} \\z = 1 \\t = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( 2; - \dfrac{3}{2};1ight)$

Do ABCH là hình thang cân nên H và C đối xứng nhau qua mp(α).

⇒ I là trung điểm CH

$⇒ H(−1; −3; 4).$
Câu 5: Thông hiểu
Định tham số để hai đường thẳng cắt nhau
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - m}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ , (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau
- A.
  $m = 7$
- B.
  $m = 9$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$d_{1}$ đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;2)$

$d_{2}$ đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 1;5;3) \\ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (0;m - 2; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0$

$\Leftrightarrow - 1\ .0 + 5(m - 2) - 15 = 0 \Leftrightarrow m = 5$
Câu 6: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Côsin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $\frac{\sqrt{65}}{9}$
- B.
  $\frac{4}{9}$
- C.
  $\frac{5}{9}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; - 2;1),\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 2)$

Khi đó $\sin\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(P)}} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|} = \frac{4}{9}$

Vì $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} > 0$ nên $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{\left( \Delta;(P) ight)}} = \frac{\sqrt{65}}{9}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
- A.
  $Q(3;2;5)$
- B.
  $N(2;1; - 5)$
- C.
  $M(1;0; - 1)$
- D.
  $P( - 2; - 3;11)$
Hướng dẫn:
Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y - 2z + 1 = 0$ đi qua điểm $M(1; - 2;0)$ và cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 11 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 4t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ tại $N$ . Tính độ dài đoạn $MN$ .
- A.
  $7\sqrt{6}$ .
- B.
  $\sqrt{10}$ .
- C.
  $4\sqrt{5}$ .
- D.
  $3\sqrt{11}$ .
Hướng dẫn:
Điểm $N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t; - 4t)$ . Mặt khác $N \in (\alpha)$ nên

$11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Điểm $N(9; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{12}{13}$
- B.
  $\frac{1}{13}$
- C.
  $\frac{5}{13}$
- D.
  $\frac{8}{13}$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 11: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2},$ $\Delta_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1},$ $\Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} =\frac{z}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ đồng thời cắt $\Delta_{1};\Delta_{2}$ tương ứng tại $H;K$ sao cho độ dài $HK$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (h;\ k;\ 1)$ . Giá trị $h - k$ bằng?
- A.
  $0$
- B.
  $6$
- C.
  $4$
- D.
  $- 2$
Hướng dẫn:
Ta có $\left\{ \begin{matrix} H \in \Delta_{1} \Leftrightarrow H(3 + 2t;t;1 + t) \\ K \in \Delta_{2} \Leftrightarrow K(1 + m;2 + 2m;m) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\overrightarrow{HK} = (m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1)$

Đường thẳng d có một VTCP là $\overrightarrow{u_{d}} = (1;1; - 2)$

$\Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{HK} = 0$

$\Leftrightarrow \ m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - t - 4;t - 2; - 3)$

Ta có: $HK^{2} = ( - t - 4)^{2} + (t - 2)^{2} + ( - 3)^{2} = 2(t + 1)^{2} + 27 \geq 27;\forall t\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow \min HK = \sqrt{27}$ khi và chỉ khi $t = - 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - 3; - 3; - 3) \Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;1;1)$

$\Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0$
Câu 12: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ ,cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ , $\widehat{ABC} = 60^{0},AB = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $AB$ có phương trình $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 8}{- 4}$ , đường thẳng $AC$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha):x + z - 1 = 0$ . Biết $B$ là điểm có hoành độ dương, gọi $(a;b;c)$ là tọa độ của $C$ . Tính $T = a + b + c$ ?
- A.
  $T = 4$
- B.
  $T = 7$
- C.
  $T = 2$
- D.
  $T = 3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , $\overrightarrow{u} = (1;1; - 4)$ mặt phẳng (α) có một VTPT là $\overrightarrow{n} = (1;0;1)$ nên góc giữa AB và (α) là $\varphi$ với

$\sin\varphi = \frac{\left| 1.1 + 1.0 + ( - 4).1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 4)^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\varphi = 30^{0} = \widehat{BAC}$

Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).

Ta tìm tọa độ của $B$

Ta viết lại $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = - 8 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm A là giao điểm của AB và (α).

Xét phương trình $(3 + t) + ( - 8 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$ .

Vậy $A(1;2;0)$ .

Gọi $B(3 + t';4 + t'; - 8 - 4t')$ , ta có $AB = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow (t' + 2)^{2} + (t' + 2)^{2} + ( - 4t' - 8)^{2} = 18$

Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.

Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).

Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận $\overrightarrow{n} = (1;0;1)$ làm một VTCP, do đó $BC:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 \\ z = - 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

C chính là giao điểm của BC và (α).

Xét phương trình $(2 + t) + ( - 4 + t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$

Suy ra $C\left( \frac{7}{2};3; - \frac{5}{2} ight)$ . Vậy $T = a + b + c = 4$ .
Câu 13: Thông hiểu
Xác định tọa độ hình chiếu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ .
- A.
  $(1;1;2)$
- B.
  $( - 1; - 4;0)$
- C.
  $(1;0;2)$
- D.
  $(0; - 2;1)$
Hướng dẫn:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua $M(2;0;1)$ và vuông góc với đường thẳng d.

Suy ra (P) nhận $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

$(P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra $H = d \cap (P)$ .

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z + 3}{6}$
- B.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 6}{3}$
- C.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$
- D.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ là $\overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$

Đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$ nên có phương trình là $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M( - 3;5;3)$
- B.
  $M(1;3; - 1)$
- C.
  $M(1;2; - 3)$
- D.
  $M(3;5;3)$
Hướng dẫn:
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- D.
  $\frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y - 3z - 2 = 0$ . Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
- A.
  $(1; - 2; - 3)$
- B.
  $(1; - 3; - 2)$
- C.
  $(1; - 2;2)$
- D.
  $(1;2;3)$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ .

Do $d\bot(P)$ nên vectơ $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , SAB là tam giác đều và $(SAB)$ vuông góc với $(ABCD)$ . Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi $(SAC)$ và $(SCD)$
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{7}$
- B.
  $\frac{6}{7}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{7}$
- D.
  $\frac{5}{7}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

Xét hệ trục $Oxyz$ có $O(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0 ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)$

Suy ra $C\left( 1; - \frac{1}{2};0 ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.$

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2} ight)$

Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left( \frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)$

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} = \frac{5}{7}$
Câu 19: Vận dụng cao
Xác định hoành độ đỉnh A
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm điều kiện để hai đường thẳng song song
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a'}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với $d'$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} eq k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'} \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Điều kiện để $d//d'$ là: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$ .