Tổng số đo các góc của một đa giác đều 
cạnh là thì số cạnh là:
Tổng số góc của đa giác đều n cạnh là:
Từ giả thiết ta có:
Cho ∆ABC cân tại A có . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, kẻ Bx ⊥ BA; Cx ⊥ CA, chọn đáp án sai.
Hình vẽ minh họa
Lại có cân tại
có
Ta có
Và
Từ đó suy ra tam giác cân tại
Xét tứ giác nội tiếp
=>
Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác là hình thoi.
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và . Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC vẽ tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Số đo góc BDM là:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác cân tại
và
.
Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp (4 điểm
cùng thuộc
).
(tính chất tứ giác nội tiếp).
Gọi là giao điểm của
và
vuông tại
.
.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA. Dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. Khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
(theo tính chất)
Xét tứ giác HKBI ta có:
suy ra BKHI là tứ giác nội tiếp
Lại có do
vuông tại
không là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Cho các khẳng định sau:
(i) Số đo góc BAC bằng một nửa số đo góc BOC.
(ii) O luôn là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
(iii) Để xác định O, ta lấy giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
Ta có:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực tam giác đó.
Số đo góc ở tâm bằng 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều có cạnh bằng 60 m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa 50 m, hỏi rằng có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không? Có||Không
Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều có cạnh bằng 60 m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa 50 m, hỏi rằng có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không? Có||Không
Hình vẽ minh họa
Để vị trí của bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng thì bộ phát sóng wifi đặt ở tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác khu vui chơi đó Xét khu vui chơi hình tam giác đều là tam giác ABC có cạnh 60m.
Xét đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác ABC đó. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường trung trực, vừa là đường trung tuyến của tam giác.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là
Vì nên bộ phát sóng đó đặt ở tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì cả khu vui chơi đều có thể bắt sóng được.
Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK.
Cho các khẳng định sau:
1. Các điểm M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn.
2. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
3. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)
Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2).
Từ (1) và (2) suy ra M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng.
Gọi MO ∩ EF = {H}.
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O).
⇒ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)
⇒ MO là đường trung trực của EF ⇒ MO ⊥ EF
⇒∠IFE + ∠OIF = 90°
Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O.
⇒∠OIF = ∠OFI mà ∠MFI + ∠OFI = 90°; ∠IFE +∠OIF = 90°
⇒∠MFI = ∠IFE ⇒ FI là phân giác của ∠MFE (1)
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O)
⇒ MI là phân giác của ∠EMF (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn , biết , đường cao (H nằm bên ngoài cạnh . Tính bán kính của đường tròn.
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường kính .
Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn
nên
.
Mặt khác .
Do đó .
Xét hai tam giác vuông và
có
. (chứng minh trên).
Suy ra . Khi đó
Vậy .
Cho hình vẽ dưới đây
Số đo góc bằng bao nhiêu?
Ta có (hai góc đối đỉnh).
Đặt
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)
Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1); (2) và (3) ta nhận
Do là hai góc kề bù nên
Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là
Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là: 5: 2 = 2,5cm.
Cho lục giác đều .
+ Số đo các góc bằng 600
+ Số đo các góc bằng 600
+ Số đo các góc bằng 600
Cho lục giác đều .
+ Số đo các góc bằng 600
+ Số đo các góc bằng 600
+ Số đo các góc bằng 600
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy là lục giác đều nên
.
Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn
nên
hay
.
Tương tự tứ giác nội tiếp đường tròn
nên
hay
.
Tương tự ta có .
Một đa giác có số đường chéo bằng . Số cạnh của đa giác đó là:
Số đường chéo của n giác là :
Một đa giác có số đường chéo bằng . Số cạnh của đa giác đó là 12.
Cho tam giác nhọn nội tiếp . Các tiếp tuyến tại của cắt nhau tại . Biết . Tính .
Hình vẽ minh họa
Xét có
(góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn) và
.
Mà
Nên
Mà
Do đó .
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).
Chọn khẳng định sai?
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
(tổng hai góc đối bằng 1800)
(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).
Tứ giác nào sau đây không nội tiếp được đường tròn?
Tứ giác nội tiếp cần tìm là 
.
Cho hình ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O).
Phép quay thuận chiều 720 biến tam giác OAB thành tam giác nào?
Ta có ABCDE là ngũ giác đều nên
Do đó các phép quay thuận chiều 720 biến điểm A thành điểm B, điểm B thành điểm C, điểm O thành điểm O.
=> Phép quay thuận chiều 720 biến tam giác OAB thành .
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính AC và dây cung . Gọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA. Giá trị của biểu thức xy + zt bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.
Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t
Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC
Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:
(định lý Ptô-lê-mê)
Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD
Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên
Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:
ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC
(do
:
)
Vậy , do đó:
Từ (1) và (2) ta được:
AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.
Cho tứ giác thuộc (O). Biết . Khi đó số đo là:
Hình vẽ minh họa
TH1:
TH2:
Cho các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi. Trong các hình nói trên có bao nhiêu hình không là tứ giác nội tiếp?
Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.
