Bài tập cuối chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác vuông CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin38^{0} = \cos52^{0}$
- B.
  $\cos38^{0} =\cot52^{0}$
- C.
  $\sin38^{0} =\tan52^{0}$
- D.
  $\sin38^{0} =\cot52^{0}$
Hướng dẫn:
Vì $38^{0} + 52^{0} = 90^{0}$

$\Rightarrow \sin38^{0} =\cos52^{0}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính diện tích tứ giác ABCD
Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{0};\widehat{C} = 40^{0};AB = 4cm;AD = 3cm$ . Diện tích $ABCD$ bằng:
- A.
  $20,85cm^{2}$
- B.
  $15,14cm^{2}$
- C.
  $19,45cm^{2}$
- D.
  $17,37cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc với CD, ta có tứ giác ABHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

=> BH = 3cm; DH = 4cm

Xét tam giác BHC vuông tại H ta có:

$\tan C = \tan40^{0} =\frac{BH}{HC}$

$\Rightarrow HC = \frac{BH}{\tan40^{0}} =3,58(cm)$

$\Rightarrow S_{ABCD} = \frac{(AB + CD).AD}{2} = \frac{(4 + 7,58).3}{2} = 17,37\left( cm^{2} ight)$
Câu 3: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{A} = 30^{0}$ . Kẻ hai đường cao $CH;BK$ ; $H \in AC;K \in BA$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{AHK} = \sqrt{3}.S_{BCHK}$
- B.
  $S_{AHK} = \frac{1}{3}S_{BCHK}$
- C.
  $S_{AHK} = \frac{\sqrt{3}}{3}.S_{BCHK}$
- D.
  $S_{AHK} = 3S_{BCHK}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\Delta ABH\sim\Delta ACK(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AH}{AK} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{AH}{AB} = \frac{AK}{AC}$

$\Rightarrow \Delta AHK\sim\Delta ABC(c - g - c)$

$\Rightarrow \frac{S_{AHK}}{S_{ABC}} =\left( \frac{AH}{AB} ight)^{2} = \cos^{2}\widehat{A}$

$\Rightarrow S_{AHK} =S_{ABC}.\cos^{2}\widehat{A}$

$\Rightarrow S_{AHK} = S_{ABC}.\left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight)^{2} = \frac{3}{4}.S_{ABC}(*)$

Mà $S_{BCHK} = S_{ABC} - S_{AHK} = S_{ABC} - \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4}S_{ABC}(**)$

Từ (*) và (**) ta có: $S_{AHK} = 3S_{BCHK}$
Câu 4: Vận dụng
Tìm vị trí điểm gãy
Sau cơn mưa, cây tre cao $10m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3,2m$ . Hỏi điểm gãy cách gốc cây bao nhiêu mét?
- A.
  $4,488m$
- B.
  $4,364m$
- C.
  $5,174m$
- D.
  $5,012m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi AB là chiều cao ban đầu của cây tre, C là điểm gãy.

Đặt AC = x (0 < x < 10)

Vì tam giác ACD vuông tại A suy ra:

$AC^{2} + AD^{2} = CD^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + (3,2)^{2} = (10 - x)^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + 10,24 = 100 - 20x + x^{2} \Rightarrow x = 4,488(tm)$

Vậy điểm gãy cách gốc 4,488m
Câu 5: Nhận biết
Tính giá trị của c
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 30^{0};b = 10$ . Xác định giá trị của $c$ ?
- A.
  $c = 10\sqrt{3}$
- B.
  $c = \frac{10\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $c = 5$
- D.
  $c = 20$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $c = b.\tan30^{0} =\frac{10\sqrt{3}}{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích hình thang
Cho hình thang $ABCD$ sao cho $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{0};\widehat{C} = 50^{0}$ . Tính diện tích hình thang biết $AB = 2;D = 1,2$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc với CD ta có ABHD là hình chữ nhật nên

$BH = AD = 1,2; DH = AB = 2$

Xét tam giác CBH vuông tại H ta có:

$HC = HB.\cot C = 1,2.\cot50^{0} \approx1$

$CD = CH + HD \approx 1 + 2 = 3$

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 3.
Câu 7: Thông hiểu
Tính độ dài đường phân giác BD
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{C} = 40^{0};AB = 21cm$ . Tính độ dài đường phân giác $BD;(D \in AC)$ ? Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
- A.
  $23,2cm$
- B.
  $24cm$
- C.
  $22,3cm$
- D.
  $21,3cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$\widehat{ABC} = 90^{0} - 40^{0} = 50^{0}$

Mà $BD$ là tia phân giác nên $\widehat{ABD} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} = \frac{1}{2}.50^{0} = 25^{0}$

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

$BD = \frac{AB}{\cos\widehat{ABD}} =\frac{21}{\cos25^{0}} \approx 23,2cm$
Câu 8: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};AB = 4cm;AC = 3cm$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\widehat{B} = \frac{4}{5}$
- B.
  $\tan\widehat{B} = \frac{3}{4}$
- C.
  $\cot\widehat{B} = \frac{3}{4}$
- D.
  $\cos\widehat{B} = \frac{3}{5}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm vị trí đặt thang an toàn
Nhà A có một chiếc thang dài 5m. Cần đặt chân thang cách tường một khoảng bằng bao nhiêu để nó tạo với mặt đất một góc “an toàn” là $75^{0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng)? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $1,2m$
- B.
  $1,3m$
- C.
  $1,4m$
- D.
  $1,1m$
Hướng dẫn:
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Chiều dài thang là BC = 5m
Chân thang tạo với mặt đất một góc $\widehat{ACB} = 75^{0}$
Khi đó chân thang sẽ cách chân tường một khoảng AC.
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:
$AC = BC.\cos\widehat{C} = 5.\cos75^{0}\approx 1,3(m)$
Câu 10: Nhận biết
Tìm hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $a = \frac{c}{\sin\widehat{C}}$
- B.
  $a = \frac{c}{\tan\widehat{C}}$
- C.
  $a = \frac{b}{\cot\widehat{B}}$
- D.
  $a = \frac{c}{\sin\widehat{B}}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác $ABC$ vuông tại A ta có:

$c = a.\sin\widehat{C} \Rightarrow a =\frac{c}{\sin\widehat{C}}$
Câu 11: Vận dụng
Tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất
Hai bạn A và B đang đứng ở mặt đất phẳng cách nhau $90m$ thì nhìn thấy một chiếc diều (ở vị trí C giữa hai banh). Biết góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của A là $50^{0}$ và góc nâng để nhìn thấy chiếc diều ở vị trí của B là $40^{0}$ . Tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất?
- A.
  $36,5m$
- B.
  $38,4m$
- C.
  $40,6m$
- D.
  $37,2m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ CH vuông góc với AB. Độ cao của diều là CH

Gọi $AH = x; (0 < x < 90) => BH = 90 -x (m)$

Tam giác ACH vuông tại H ta có:

$CH = AH\tan A = x.\tan50^{0}$

Tam giác ABH vuông tại H ta có:

$CH = BH\tan B = (90 -x).\tan40^{0}$

Ta có phương trình

$x.\tan50^{0} = (90 -x).\tan40^{0}$

$\Leftrightarrow x.\left( \tan50^{0} +\tan40^{0} ight) = 90.\tan40^{0}$

$\Leftrightarrow x =\frac{90.\tan40^{0}}{\tan50^{0} + \tan40^{0}} \approx 37,2$

Vậy độ cao của diều khoảng 37,2m.
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\widehat{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\cos\widehat{ABC} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\cos\widehat{ABC} = \sqrt{3}$
- D.
  $\cos\widehat{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\cos\widehat{ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$ , đường cao $MQ$ chia cạnh huyền $NP$ thành hai đoạn $NQ = 3;PQ = 6$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $2\cot P = \cot N$
- B.
  $2cotP = 3\cot N$
- C.
  $\cot P = 2\cot N$
- D.
  $3\cot P = 2\cot N$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác MNQ vuông tại Q ta có:

$\cot N = \frac{NQ}{MQ}$

Xét tam giác MPQ vuông tại Q ta có:

$\cot P = \frac{PQ}{MQ}$

$\Rightarrow \dfrac{\cot N}{\cot P} =\dfrac{\dfrac{NQ}{MQ}}{\dfrac{PQ}{MQ}} = \dfrac{NQ}{PQ} =\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \cot P = 2\cot N$
Câu 14: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $b = c\tan\widehat{C}$
- B.
  $c = b\cot\widehat{B}$
- C.
  $b = a\tan\widehat{C}$
- D.
  $c = a\tan\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cot\widehat{B} = \frac{c}{b} \Rightarrow c = b\cot\widehat{B}$
Câu 15: Thông hiểu
Xác định vị trí hạ cánh của máy bay
Một máy bay bay ở độ cao $12km$ so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất tạo thành một góc an toàn là $17^{0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay một khoảng bao xa? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- A.
  $37,32km$
- B.
  $38,02km$
- C.
  $39,25km$
- D.
  $38,45km$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AC = 12km;\widehat{B} = 17^{0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$AB = AC.\cot\widehat{B} = 12.\cot17^{0}\approx 39,25km$

Vậy để đường bay và mặt đất tạo thành một góc an toàn là $17^{0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay một khoảng bằng 39,25km
Câu 16: Vận dụng
Xác định độ cao của máy bay
Hai học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng cách nhau $60m$ thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa (ở vị trí C nằm trên tia AB và AC và AC > AB). Biết góc “nâng” để thấy máy bay ở vị trí của B là $52^{0}$ và góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của A là $40^{0}$ . Xác định độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất?
- A.
  $114,2m$
- B.
  $147,5m$
- C.
  $125,3m$
- D.
  $162,5m$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $BC = x (x > 0)$

$=> AC = 60 + x (m)$

Xét tam giác BHC vuông tại C ta có:

$CH = x.\tan52^{0}$

Xét tam giác AHC vuông tại C ta có:

$CH = (60 + x).\tan40^{0}$

$\Rightarrow x.\tan52^{0} = (60 +x).\tan40^{0}$

$\Rightarrow x \approx 114,2$

Vậy máy bay cách mặt đất một khoảng 114,2m.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một máy bay đang bay với vận tốc $450km/h$ . Đường bay lên tạo với phương ngang một góc bằng $30^{0}$ . Hỏi sau 2 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- A.
  $6km$
- B.
  $6,5km$
- C.
  $7,5km$
- D.
  $7km$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $2' = \frac{1}{30}(h)$ . Sau 2 phút máy bay ở C

Quãng đường bay được là $BC = 450.\frac{1}{30} = 15(km)$ và $\widehat{B} = 30^{0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$AC = BC.\sin30^{0} = 7,5km$ .
Câu 18: Nhận biết
Xác định giá trị của a
Với tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 60^{0};b = 10$ thì độ dài $a$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $a = 20\sqrt{3}$
- B.
  $a = \frac{20\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a = 10\sqrt{3}$
- D.
  $a = 15\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$a = \dfrac{b}{\sin\widehat{B}} =\dfrac{10}{\sin60^{0}} = \dfrac{10}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
Câu 19: Nhận biết
Xác định hệ thức đúng
Cho hình vẽ:

Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $BD = \frac{AD}{\sin\widehat{B}}$
- B.
  $AC =BC.\cos\widehat{B}$
- C.
  $BD = \frac{AD}{\tan\widehat{B}}$
- D.
  $BD =AD.\sin\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABD vuông tại D ta có:

$AD = BD.\tan B \Rightarrow BD =\frac{AD}{\tan B}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm kết luận đúng
Cho hình vẽ:

Đặt $\widehat{AOB} = x;\widehat{AOC} = y;\widehat{AOD} = z$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan z < \tan y < \tan x$
- B.
  $\tan z < \tan x < \tan y$
- C.
  $\tan x < \tan y < \tan z$
- D.
  $\tan x < \tan z < \tan y$
Hướng dẫn:
Ta có:

$AB > AC > AD$

$\Rightarrow \frac{AB}{OA} > \frac{AC}{OA} > \frac{AD}{OA}$

$\Rightarrow \tan x > \tan y > \tan z$

Hay $\tan z < \tan y < \tan x$ .