Đường thẳng cách tâm
của đường tròn
một khoảng bằng
. Khi đó vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
là:
Khoảng cách từ đường thẳng d đến tâm O bé hơn bán kính R
Suy ra đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Đường thẳng cách tâm
của đường tròn
một khoảng bằng
. Khi đó vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
là:
Khoảng cách từ đường thẳng d đến tâm O bé hơn bán kính R
Suy ra đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Cho đường tròn (O), bán kính OA. Dây CD là đường trung trực của OA. Tứ giác OCAD là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là giao điểm của OA và CD
Vì CD là đường trung trực của OA nên tại H và
Mà OH là một phần của đường kính, CD là dây cung nên H là trung điểm của CD.
Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H và cũng vuông góc với nhau tại H => Tứ giác ACOD là hình thoi.
Tam giác cân tại
, đường cao
cắt nhau tại
. Đường tròn
cắt
tại
. Biết rằng
và
. Tính độ dài
?
Hình vẽ minh họa
Vì và
(bằng bán kính đường tròn
nên
.
Ta có .
Xét và
có
.
(cùng phụ với
.
(góc - góc)
Do đó .
Áp dụng công thức ta được
.
Mà nên
hay
.
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được
Lại có .
Từ đó tính được .
Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (I; 6cm). Biết OI = 2cm. Tìm vị trí tương đối của hai đường tròn.
Ta có:
=> Hai đường tròn tiếp xúc trong
Cho đường thẳng và đường tròn
. Gọi
là khoảng cách từ
đến
. Điều kiện để đường thẳng
cắt đường tròn là:
Ta có:
Đường thẳng a cắt đường tròn
Vậy điều kiện để đường thẳng a cắt đường tròn là .
Cho (O, 15cm), dây AB cách tâm 9 cm thì độ dài dây AB là:
Hình vẽ minh họa
Kẻ OH vuông góc với AB
=> OH = 9cm và HA = HB (tính chất)
Ta có:
Cho đường tròn và đường thẳng
. Gọi
là khoảng cách từ
đến đường thẳng
. Nếu
thì:
Đường tròn và đường thẳng a có một điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
có hai điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
không có điểm chung
=> Đường tròn và đường thẳng
có ít nhất một điểm chung
Cho tam giác có
. Vẽ đường tròn tâm
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hình vẽ minh họa
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tại A ta có:
. Mà
Suy ra tiếp xúc với
tại
.
Vậy khẳng định đúng là: “ tiếp xúc với
”.
Cho các đường tròn (A; 10cm), (B; 15cm), (C; 15cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại A’. Đường tròn (A) tiếp xúc với đường tròn (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’. Tính diện tích tam giác A’B’C’.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Xét có
nên theo định lý Ta-let ta có:
(Do theo câu trước thì AA’ = 20cm)
Diện tích tam giác là:
Cho hình thang vuông tại
có
. Khi đó AD tiếp xúc với đường tròn
Gọi I là trung điểm của BC
Đường tròn (I) đường kính BC có bán kính
Kẻ . Khoảng cách d từ I đến AD bằng IH ta có:
Do nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD.
Cho đường thẳng . Tâm
của tất cả các đường tròn bán kính
, tiếp xúc với đường thẳng
nằm trên đường
với điều kiện là:
Hình vẽ minh họa
Ta có đường tròn tâm I bán kính bằng 3cm tiếp xúc với đường thẳng a.
Suy ra
Do mọi điểm I đều cách a một khoảng bằng 3cm nên mọi điểm I đều nằm trên đường thẳng d song song với a và cách a một khoảng bằng 3cm.
Cho đường thẳng và đường tròn
. Nếu
là khoảng cách từ tâm
đến đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu thì đường thẳng
tiếp xúc đường tròn
.
Vậy khẳng định sai là: “Nếu thì đường thẳng
đi qua tâm đường tròn
.”
Cho điểm cách đường thẳng
một khoảng
. Vẽ đường tròn tâm
bán kính
. Gọi
là hai giao điểm của đường tròn và đường thẳng
. Tính độ dài cạnh
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ AH vuông góc với xy. Ta có AH < AC hay d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau
Do đó (A) có hai giao điểm xy
Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:
Mà và tam giác ABC cân tại A
Nên H là trung điểm của BC
Vậy BC = 2HC = 2.5 = 10 (cm)
Cho đường tròn và đường thẳng
. Gọi
là khoảng cách từ
đến đường thẳng
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Đường tròn và đường thẳng
có một điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
có hai điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
có hai một điểm chung
=> Đường tròn và đường thẳng
có nhiều hơn một điểm chung khi
.
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).
Cho điểm cách đường thẳng
là
. Vẽ đường tròn
. Gọi giao điểm của đường thẳng và đường tròn lần lượt là
. Tính diện tích tam giác
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a
Suy ra và H là trung điểm của BC
Do đó
Suy ra diện tích tam giác là:
Cho đường tròn và một dây
không đi qua tâm. Vẽ đường thẳng
tiếp xúc với
tại
. Qua
vẽ đường thẳng vuông góc với
cắt đường thẳng
tại
và cắt
tại
. Biết rằng
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
tại
nên
Mặt khác nên
Xét tam giác AOD vuông tại D và đường cao AD ta có:
Chứng minh được
Vậy
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(5; 6). Xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 5) với các trục tọa độ?
Ta có:
Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.
Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .
Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..
=> Đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.
Cho nửa đường tròn tâm , đường kính
. Điểm
thuộc nửa đường tròn. Qua
kẻ tiếp tuyến
với nửa đường tròn. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
trên
. Diện tích lớn nhất của tứ giác
là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác ABCD là hình thang vuông, MO là đường trung bình của hình thang.
Suy ra diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất là khi
.
Cho đường thẳng và đường tròn
. Gọi
là khoảng cách từ
đến
. Điều kiện để đường thẳng
và
có ít nhất một điểm chung là:
Ta có:
Đường thẳng a cắt
Đường thẳng a tiếp xúc với
Khi đó điều kiện để đường thẳng a và có ít nhất một điểm chung là: