Lớp 9 Toán 9 - Chân trời sáng tạo

Luyện tập Định lí Viète Chân trời sáng tạo

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị tham số a

    Giả sử phương trình x^{2} + ax + 3 = 0 có hai nghiệm lớn hơn 1. Số các giá trị của a để có bất đẳng thức \frac{a^{2} - a - 6}{3 - a + 1} \geq \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} xảy ra dấu bằng là:

    Hướng dẫn:

    Theo định lý Vi et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - a \\ x_{1}.x_{2} = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: \frac{x_{1}}{1 + x_{1}} + \frac{x_{2}}{1 + x_{2}} \geq \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}.

    Hay

    \frac{x_{1}}{1 + x_{2}} + 1 +\frac{x_{2}}{1 + x_{1}} + 1\geq \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} +2\left( x_{1} + x_{2} + 1 ight)\left( \frac{1}{1 + x_{1}} + \frac{1}{1+ x_{2}} ight)\geq \frac{2(1 + 2\sqrt{3})}{1 +\sqrt{3}}

    Theo bất đẳng thức Cô si ta có: x_{1} + x_{2} + 1 \geq 2\sqrt{3} + 1.

    Để chứng minh \left( \ ^{*} ight) ta quy về chứng minh: \frac{1}{1 + x_{1}} + \frac{1}{1 + x_{2}} \geq \frac{2}{1 + \sqrt{3}} với x_{1},x_{2} > 1.

    Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với \left( \sqrt{x_{1}x_{2}} - 1 ight)\left( \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} ight)^{2} \geq 0

    Hay (\sqrt{3} - 1)\left( \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} ight)^{2} \geq 0 (Điều này là hiển nhiên đúng).

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x_{1} = x_{2} \Leftrightarrow a^{2} = 12.

    Vậy có 2 giá trị a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Hai số m và n biết m + n = 19;m.n = 190 là:

    Hướng dẫn:

    Hai số m và n là nghiệm của phương trình X^{2} - 19X + 190 = 0

    \Leftrightarrow (X - 19)(X - 10) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 19 \\ X = 10 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m = 19;n = 10 hoặc m = 10;n = 19.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Có bao nhiêu cặp số (x;y) thỏa mãn x + y = 35 và x^{2} + y^{2} = 625?

    Hướng dẫn:

    Ta có: x + y = 35 và x^{2} + y^{2} = 625

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} = 625 \Leftrightarrow (x + y)^{2} - 2xy = 625

    \Leftrightarrow 35^{2} - 2xy = 625 \Leftrightarrow 2xy = 600 \Leftrightarrow xy = 300

    Vì S^{2} - 4P = 35^{2} - 4.300 = 25 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} - 35X + 300 = 0

    Ta có:

    \Delta = ( - 35)^{2} - 4.1.300 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    X_{1} = \frac{35 + \sqrt{25}}{2.1} = 20;X_{2} = \frac{35 - \sqrt{25}}{2.1} = 15

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = 20 \\ y = 15 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 15 \\ y = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Kết luận: Có 2 cặp số (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm tham số m

    Xác định tham số m để phương trình x^{2} - 5x + m + 4 = 0 có hai nghiệm nghịch đảo?

    Hướng dẫn:

    Để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo thì

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} ( - 5)^{2} - 4(m + 4) > 0 \\ m + 4 = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4m > 0 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{9}{4} \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = - 3

    Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm nghịch đảo thì m = - 3.

  • Câu 5: Nhận biết
    Xác định nghiệm của phương trình

    Tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình x^{2} + 6x - 2017 = 0 lần lượt là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình x^{2} + 6x - 2021 = 0 có \Delta' = 3^{2} - 1.( - 2017) = 2026 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2}.

    Theo hệ thức Vi-et ta có:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} = - 6 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} = - 2017 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 25 - 6 = 19

    Vậy đáp án cần tìm là: 19

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn kết quả chính xác

    Cho phương trình x^{2} - 2(m - 1)x + 2m^{2} - 3m + 1 = 0, với m là tham số. Gọi x_{1},x_{2} là nghiệm của phương trình. Giá trị của m để biểu thức \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} ight| \leq \frac{9}{8} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta^{'} = (m - 1)^{2} - \left( 2m^{2} - 3m + 1 ight) = - m^{2} + m = m(1 - m).

    Để phương trình có hai nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1.

    Theo định lý Viet ta có: x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) và x_{1}x_{2} = 2m^{2} - 3m + 1.

    Ta có:

    \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} ight| = \left| 2(m - 1) + 2m^{2} - 3m + 1 ight|

    = \left| 2m^{2} - m - 1 ight| = 2\left| m^{2} - \frac{m}{2} - \frac{1}{2} ight| = 2\left| \left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} - \frac{9}{16} ight|

    = 2\left| \frac{9}{16} - \left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} ight| = \frac{9}{8} - 2\left( m - \frac{1}{4} ight)^{2} \leq \frac{9}{8}

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = \frac{1}{4}.

  • Câu 8: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Hai số m và n biết m + n = 10;m.n = 24 là:

    Hướng dẫn:

    Hai số m và n là nghiệm của phương trình X^{2} - 10X + 24 = 0

    \Leftrightarrow (X - 4)(X - 6) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 4 \\ X = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m = 4;n = 6 hoặc m = 6;n = 4

  • Câu 9: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Biết x + y = - 15;xy = - 7. Khi đó x;y là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix} S = x + y = - 15 \\ P = xy = - 7 \\ \end{matrix} ight..

    Nhận thấy S^{2} = 225 > - 28 = 4P nên x;y là hai nghiệm của phương trình m^{2} + 15m - 7 = 0.

  • Câu 10: Nhận biết
    Lập phương trình

    Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số 2 và - 5 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = - 2 + 5 = 3

    Tích hai nghiệm là: P = 2.( - 5) = - 10

    Nên cặp số 2 và - 5 là nghiệm của phương trình: x^{2} + 3x - 10 = 0.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x^{2} - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 có đúng một nghiệm dương.

    Hướng dẫn:

    Vì \Delta = 4(m - 1)^{2} - 4( - 3 - m)

    = (2m - 1)^{2} + 15 > 0\forall m\mathbb{\in Z}

    Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

    Phương trình có đúng một nghiệm dương ac = - 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 3

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Gọi x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình 2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 ight|

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta' = m^{2} - 2\left( m^{2} - 2 ight) = - m^{2} + 4

    Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2(*)

    Theo định lí Viète ta có: \left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 ight| = \left| m^{2} - m - 6 ight|

    = \left| (m + 2)(m - 3) ight| = - (m + 2)(m - 3)

    = - m^{2} + m + 6 = - \left( m - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4} (do - 2 \leq m \leq 2)

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = \frac{1}{2} thỏa mãn (*)

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đó là: P_{\max} = \frac{25}{4}.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho phương trinh x^{2} - 5x + 3 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình đã cho. Kết luận nào sau đây chính xác nhất khi nói về giá trị của biểu thức D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{- 5}{1} = 5 \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{3}{1} = 3 \\ \end{matrix} ight.

    D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}.x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5^{2} - 2.3}{3} = \frac{19}{3} \approx 6,3

    Vậy đáp án cần tìm là: 5 < D < 7

  • Câu 14: Nhận biết
    Tính tích các nghiệm phương trình

    Cho phương trình 2x^{2} + 5x - 11 = 0. Không giải phương trình, tích tất cả các nghiệm bằng:

    Hướng dẫn:

    Phương trình 2x^{2} + 5x - 11 = 0 có \Delta = 5^{2} - 4.2.( - 11) = 113 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2}.

    Theo hệ thức Viète ta có: x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{11}{2}.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Giá trị nào của m để phương trình 2x^{2} - 3(m + 1)x + m^{2} - m - 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

    Hướng dẫn:

    Để phương trình 2{x^2} - 3\left( {m + 1} ight)x + {m^2} - m - 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu thì

    ac < 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 2

  • Câu 16: Nhận biết
    Chọn phương trình thích hợp

    Cho hai số a;b thỏa mãn điều kiện a - b = 5;a.b = 24. Khi đó a và - b là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = a + ( - b) = 5

    Tích hai nghiệm là: P = 24 \Rightarrow a.( - b) = - 24

    Nên cặp số a và - b là nghiệm của phương trình x^{2} - 5x - 24 = 0.

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a - b + c = 0. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x_{1} = - 1 và nghiệm còn lại là x_{2} = - \frac{c}{a}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn câu đúng

    Cho phương trình x^{2} - 2(m + 1)x +m^{2} - 4m + 3 = 0 với m là tham số. Điều kiện tham số m để phương trình có hai nghiệm dương là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

    \left\{ \begin{matrix}a eq 0 \\\Delta' > 0 \\S = x_{1} + x_{2} < 0 \\P = x_{1}.x_{2} > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 eq 0 \\(m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 4m + 3 ight) > 0 \\2(m + 1) < 0 \\m^{2} - 4m + 3 > 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \frac{1}{3} \hfill \\ m < - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \in \emptyset

    Vậy đáp án cần tìm là: m \in \emptyset

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Hiệu chiều dài và chiều rộng của các cạnh hình chữ nhật có chu vi bằng 30m và diện tích bằng 54 là:

    Hướng dẫn:

    Giả sử độ dài hai cạnh hình chữ nhật là a và b

    Điều kiện: a, b > 0

    Vì hình chữ nhật có chu vi bằng 30 và diện tích bằng 54 nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix}a + b = \dfrac{1}{2}.30 \\ab = 54 \\\end{matrix} ight. do đó a, b là nghiệm của phương trình bậc hai:

    x^{2} - 15x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 6 \\ x = 9 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)

    Vậy hiệu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là: 9 – 6 = 3.

0/19
19 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (37%):
    2/3
  • Thông hiểu (42%):
    2/3
  • Vận dụng (5%):
    2/3
  • Vận dụng cao (16%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9 CTST

Đăng nhập