Luyện tập Tiếp tuyến của đường tròn Chân trời sáng tạo

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy khẳng định sai là: “Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.”

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được

Xét có

Vì tại D nên khoảng cách từ A đến BC là

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn .

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD là hình thang vuông, MO là đường trung bình của hình thang.

Suy ra diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất là khi .

Hình vẽ minh họa

Tam giác OAM vuông cân tại A nên

Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính .

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng AB là tiếp tuyến của (O; 2cm) tại B

tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

(Pythagore)

Do tam giác ABC cân suy ra AH là đường cao, đường trung tuyến => BH = HC

Do BK là đường cao của tam giác ABC =>

=> Tam giác ABC vuông tại K

=> Trung tuyến KH = BH = HC =

=> vuông tại

(*)

đường kính AI

Suy ra tam giác KOI cân tại O

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

tại

Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn

Đường tròn và đường thẳng a có một điểm chung

Đường tròn và đường thẳng có hai điểm chung

Đường tròn và đường thẳng không có điểm chung

=> Đường tròn và đường thẳng có ít nhất một điểm chung

Xét tứ giác AMBO có:

Tam giác OAB cân tại O có nên

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác OAB vuông tại B có:

Nếu thì đường thẳng tiếp xúc đường tròn .

Vậy khẳng định sai là: “Nếu thì đường thẳng đi qua tâm đường tròn .”

Khoảng cách từ đường thẳng d đến tâm O bé hơn bán kính R

Suy ra đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra

Suy ra

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ATO vuông tại T (AT là tiếp tuyến của (O))) ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi G là tiếp tuyến của EF với (O), H là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

Vì nên

Ta có:

Đường thẳng a cắt đường tròn

Vậy điều kiện để đường thẳng a cắt đường tròn là .

Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao điểm của BC và OA

Xét đường tròn tâm O có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC

Lại có OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay

Xét tam giác BCD có CD là đường kính đường tròn (O) và B thuộc (O) nên tam giác BDC vuông tại B hay (**)

Từ (*) và (**) suy ra

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy các từ cần điền vào chỗ trống lần lượt là: Hai tiếp tuyến; hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Xét tứ giác có:

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB

Suy ra tam giác MAB cân tại M

.

Hình vẽ minh họa

Ta có: có MN là tiếp tuyến tại I tại .

Mà nên

Xét tam giác OBJ vuông tại J ta có:

Tam giác OAB có MN // AB suy ra