Luyện tập Tiếp tuyến của đường tròn Chân trời sáng tạo

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính số đo góc ABO
Cho đường tròn $(O)$ , hai tiếp tuyến của đường tròn tại $A;B$ cắt nhau tại $M$ . Biết $\widehat{AMB} = 50^{0}$ . Tính số đo góc $\widehat{ABO}$ ?
- A.
  $130^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $25^{0}$
- D.
  $50^{0}$
Hướng dẫn:
Xét tứ giác AMBO có:

$\widehat{AOB} = 360^{0} - 2.90^{0} - 50^{0} = 130^{0}$

Tam giác OAB cân tại O có $\widehat{AOB} = 130^{0}$ nên

$\widehat{ABO} = \frac{180^{0} -130^{0}}{2} = 25^{0}$
Câu 2: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;R)$ . Nếu $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $d < R$ thì đường thẳng $a$ cắt đường tròn $(O;R)$ .
- B.
  Nếu $d > R$ thì đường thẳng $a$ không cắt đường tròn.
- C.
  Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ đi qua tâm đường tròn $(O;R)$ .
- D.
  Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ tiếp xúc đường tròn $(O;R)$ .
Hướng dẫn:
Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ tiếp xúc đường tròn $(O;R)$ .

Vậy khẳng định sai là: “Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ đi qua tâm đường tròn $(O;R)$ .”
Câu 3: Thông hiểu
Điền các cụm từ còn thiếu vào chỗ trống
Cho hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó đến tâm là tia phân giác của góc tạo bởi … Tia nối từ tâm đến điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi … “ Hai cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống lần lượt là:
- A.
  Hai bán kính đi qua tiếp điểm; hai tiếp tuyến.
- B.
  Hai tiếp tuyến; hai dây cung.
- C.
  Hai tiếp tuyến; hai bán kính đi qua tiếp điểm.
- D.
  Hai dây cung; hai bán kính.
Hướng dẫn:
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy các từ cần điền vào chỗ trống lần lượt là: Hai tiếp tuyến; hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường tròn $(O;2)$ , điểm $A$ di chuyển trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ tại $A$ , điểm $M$ trên tia $Ax$ sao cho $AM = OA$ . Khi đó điểm $M$ chuyển động trên đường nào?
- A.
  Đường tròn đường kính $OM$ .
- B.
  Đường tròn tâm $O$ , bán kính $2\sqrt{2}cm$ .
- C.
  Đường tròn tâm $O$ , bán kính $OA$ .
- D.
  Đường tròn tâm $A$ , bán kính $2cm$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác OAM vuông cân tại A nên $OM = 2\sqrt{2}$

Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính $2\sqrt{2}cm$ .
Câu 5: Nhận biết
Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Đường thẳng $d$ cách tâm $O$ của đường tròn $(O;4cm)$ một khoảng bằng $3cm$ . Khi đó vị trí tương đối của đường thẳng $d$ và đường tròn $(O;4cm)$ là:
- A.
  Không kết luận
- B.
  Không giao nhau
- C.
  Cắt nhau
- D.
  Tiếp xúc nhau
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ đường thẳng d đến tâm O bé hơn bán kính R

Suy ra đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Câu 6: Vận dụng cao
Tính diện tích tam giác OMN
Cho đường tròn $(O;R)$ và một dây cung $AB = \frac{8R}{5}$ . Kẻ một tiếp tuyến song song với $AB$ , cắt các tia $OA;OB$ theo thứ tự tại $M;N$ . Khi đó diện tích tam giác $OMN$ bằng:
- A.
  $\frac{5R^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{4R^{2}}{3}$
- C.
  $R^{2}$
- D.
  $\frac{3R^{2}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $(O;R)$ có MN là tiếp tuyến tại I $\Rightarrow MN\bot OI$ tại $I$ .

Mà $MN//AB$ nên $OI\bot AB$

$\Rightarrow BJ = AJ = \frac{AB}{2} = \frac{\frac{8R}{5}}{2} = \frac{4R}{5}$

Xét tam giác OBJ vuông tại J ta có:

$OB^{2} = BJ^{2} + OJ^{2}$

$\Rightarrow OJ = \sqrt{OB^{2} - BJ^{2}} = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{4R}{3} ight)^{2}} = \frac{3R}{5}$

$\Rightarrow S_{OAB} = \frac{1}{2}OJ.AB = \frac{1}{2}.\frac{3}{5}R.\frac{8}{5}R = \frac{12}{25}R^{2}$

Tam giác OAB có MN // AB suy ra $\Delta OAB\sim\Delta OMN$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{OJ}{OI} = \dfrac{\dfrac{3R}{5}}{R} = \dfrac{3}{5} \\\dfrac{S_{OAB}}{S_{OMN}} = \left( \dfrac{AB}{MN} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \frac{S_{OAB}}{S_{OMN}} = \left( \frac{3}{5} ight)^{2} = \frac{9}{25}$

$\Rightarrow S_{OMN} = \frac{25}{9}.\frac{12}{25}R^{2} = \frac{4}{3}R^{2}$
Câu 7: Nhận biết
Tìm điều kiện để đường thẳng cắt đường tròn
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;4cm)$ . Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$ . Điều kiện để đường thẳng $a$ cắt đường tròn là:
- A.
  $d < 4cm$
- B.
  $d > 4cm$
- C.
  $d \leq 4cm$
- D.
  $d = 4cm$
Hướng dẫn:
Ta có: $(O;4cm) \Rightarrow R = 4cm$

Đường thẳng a cắt đường tròn $(O;4cm) \Leftrightarrow d < R$

Vậy điều kiện để đường thẳng a cắt đường tròn là $d < 4cm$ .
Câu 8: Nhận biết
Tính số đo góc AMC
Cho đường tròn $(O;R)$ . Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến $MA;MB$ (với $A;B$ là các tiếp điểm). Xác định số đo góc $\widehat{AMC}$ biết rằng $\widehat{MAC} = 70^{0}$ ?
- A.
  $50^{0}$
- B.
  $70^{0}$
- C.
  $40^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB

Suy ra tam giác MAB cân tại M

$\Rightarrow \widehat{AMC} = 180^{0} - 2.\widehat{MAC} = 40^{0}$ .
Câu 9: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại A. Các đường cao $AH;BK$ cắt nhau tại $I$ . Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AI$ . Khi đó ta có:
- A.
  $HK$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
- B.
  $BK$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
- C.
  $BC$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
- D.
  $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
Hướng dẫn:
Do tam giác ABC cân suy ra AH là đường cao, đường trung tuyến => BH = HC

Do BK là đường cao của tam giác ABC => $BK\bot AC$

=> Tam giác ABC vuông tại K

=> Trung tuyến KH = BH = HC = $\frac{1}{2}BC$

=> $\Delta KBC$ vuông tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KBH} = \widehat{HBK}$ (*)

$K \in (O)$ đường kính AI $\Rightarrow KO = IO = R$

Suy ra tam giác KOI cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OKI} = \widehat{OIK}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{OKB} + \widehat{HKB} = \widehat{OIK} + \widehat{IBH} = \widehat{HBI} + \widehat{IBH} = 90^{0}$

$\Rightarrow HK\bot OK$ tại $K$

$\Rightarrow d = OK = R$

Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$
Câu 10: Vận dụng
Tìm diện tích lớn nhất của ABCD
Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB = 10cm$ . Điểm $M$ thuộc nửa đường tròn. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $xy$ với nửa đường tròn. Gọi $D;C$ lần lượt là hình chiếu của $A;B$ trên $xy$ . Diện tích lớn nhất của tứ giác $ABCD$ là:
- A.
  $65cm^{2}$
- B.
  $45cm^{2}$
- C.
  $50cm^{2}$
- D.
  $60cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD là hình thang vuông, MO là đường trung bình của hình thang.

$\Rightarrow S_{ABCD} = \frac{CD.(AC + BD)}{2} = CD.OM$

$\leq AB.OM = 2R^{2} = 50cm^{2}$

Suy ra diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất là $50cm^{2}$ khi $CD//AB$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm độ dài cạnh EF
Cho đường tròn $(O;15cm)$ và dây $AB = 24cm$ . Một tiếp tuyến song song với $AB$ cắt các tia $OA;OB$ theo thứ tự $E$ và $F$ . Tính độ dài $EF$ ?
- A.
  $42cm$
- B.
  $40cm$
- C.
  $20cm$
- D.
  $48cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi G là tiếp tuyến của EF với (O), H là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

$OH = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{AB}{2} ight)^{2}} = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9(cm)$

Vì $AB//EF$ nên $\frac{AB}{EF} = \frac{OH}{OG}$

$\Rightarrow EF = \frac{AB.OG}{OH} = \frac{24.15}{9} = 40(cm)$
Câu 12: Nhận biết
Hoàn thành khẳng định
Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ . Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$ . Nếu $d \leq R$ thì:
- A.
  Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ có hai điểm chung.
- B.
  Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ có nhiều hơn một điểm chung.
- C.
  Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ có ít nhất một điểm chung.
- D.
  Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ có một điểm chung.
Hướng dẫn:
Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng a có một điểm chung $\Rightarrow d = R$

Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ có hai điểm chung $\Rightarrow d < R$

Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ không có điểm chung $\Rightarrow d > R$

=> Đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$ có ít nhất một điểm chung $\Rightarrow d \leq R$
Câu 13: Thông hiểu
Tính độ dài AT
Cho đoạn thẳng $AC$ , $B \in AC$ sao cho $BC = 3BA$ . Gọi $AT$ là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$ với $T$ là tiếp điểm. Biết $BC = 6cm$ . Độ dài đoạn thẳng $AT$ là:
- A.
  $9cm$
- B.
  $6cm$
- C.
  $8cm$
- D.
  $4cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC = 6cm$ suy ra $R = 3cm; AB = 2cm$

Suy ra $AO = AB + BO = 2 + 3 = 5cm$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ATO vuông tại T (AT là tiếp tuyến của (O))) ta có:

$AT = \sqrt{AO^{2} - OT^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(cm)$
Câu 14: Thông hiểu
Tính số đo góc BAC
Cho đường tròn $(O;6cm)$ . Từ điểm $A$ cách tâm $O$ một khoảng bằng $12cm$ , kẻ các tiếp tuyến $AB;AC$ (với $B;C$ là các tiếp điểm). Xác định số đo góc $\widehat{BAC}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $75^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác OAB vuông tại B có:

$\sin\widehat{OAB} = \frac{OB}{OA} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAO} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{BAC} = 2\widehat{BAO} = 60^{0}$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Hai tiếp tuyến tại của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $A$ . Vẽ đường kính $CD$ của đường tròn $(O)$ . Khi đó:
- A.
  $BD$ cắt $OA$
- B.
  $BD//OA$
- C.
  $BD//AC$
- D.
  $BD\bot OA$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao điểm của BC và OA

Xét đường tròn tâm O có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC

Lại có OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay $OA\bot BC(*)$

Xét tam giác BCD có CD là đường kính đường tròn (O) và B thuộc (O) nên tam giác BDC vuông tại B hay $BD\bot BC$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $BD // AO$
Câu 16: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Cho hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
- A.
  Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm là bằng nhau.
- B.
  Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.
- C.
  Tai nối từ hai điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.
- D.
  Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Hướng dẫn:
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy khẳng định sai là: “Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.”
Câu 17: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn OA
Cho đường tròn $(O;2cm)$ . Qua một điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$ . Biết rằng $AB = 2cm$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $OA$ là:
- A.
  $2\sqrt{2}cm$
- B.
  $8cm$
- C.
  $4\sqrt{2}cm$
- D.
  $4cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng AB là tiếp tuyến của (O; 2cm) tại B

$\Rightarrow AB\bot OB$ tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

$AB^{2} + OB^{2} = OA^{2}$ (Pythagore)

$\Rightarrow OA^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8 \Rightarrow OA = 2\sqrt{2}(cm)$
Câu 18: Nhận biết
Tính số đo góc AMB
Từ một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ . Kẻ tiếp tuyến $MA;MB$ với đường tròn (với $A;B$ là các tiếp điểm. Nếu góc $\widehat{AOB} = 120^{0}$ thì góc $\widehat{AMB}$ có số đo bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $75^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
Xét tứ giác $OAMB$ có:

$\widehat{OAM} + \widehat{AMB} + \widehat{MBO} + \widehat{BOA} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow 90^{0} + \widehat{AMB} + 90^{0} + 120^{0} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{AMB} = 60^{0}$
Câu 19: Thông hiểu
Hoàn thành kết luận
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $M(2;5)$ . Khi đó:
- A.
  Đường tròn $(M;5)$ không cắt hai trục $Ox;Oy$ .
- B.
  Đường tròn $(M;5)$ tiếp xúc với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ .
- C.
  Đường tròn $(M;5)$ cắt hai trục $Ox;Oy$ .
- D.
  Đường tròn $(M;5)$ cắt trục $Ox$ và tiếp xúc với trục $Oy$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có M(2; 5)

Suy ra M cách Ox một khoảng $d_{1} = 5$ và cách Oy một khoảng $d_{2} = 2$

Đường tròn (M; 5) có R = 5

Ta có: $d_{1} = 5 = R$ suy ra đường tròn (M; 5) tiếp xúc với trục Ox.

$d_{2} = 2 < R$ suy ra đường tròn (M; 5) cắt trục Oy.
Câu 20: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3cm;AC = 4cm;BC = 5cm$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A;4cm)$
- B.
  $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A;2,4cm)$
- C.
  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B;3cm)$
- D.
  $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C;3cm)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được $\Delta ADB\sim\Delta CAB(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AD.BC = AB.AC$

$\Rightarrow AD.5 = 3.4 \Rightarrow AD = \frac{12}{5}$

Xét $(A;2,4cm)$ có $R = 2,4$

Vì $AD\bot BC$ tại D nên khoảng cách từ A đến BC là $d = AD = 2,4cm$

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn $(A;2,4cm)$ .