Bài tập cuối chương 5 Đường tròn CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm số điểm nằm trên đường tròn
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tọa độ các điểm $A( - 1; - 1),B( - 1; - 2),C\left( \sqrt{2};\sqrt{2} ight)$ và đường tròn $(O;2)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trong các điểm đã cho nằm trên đường tròn?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Biểu diễn đường tròn và các điểm đã cho như sau:

Nhận thấy có duy nhất 1 điểm C nằm trên đường tròn.
Câu 2: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho đường tròn tâm $O$ có hai dây $AB;CD$ đều đi qua tâm. Kết luận nào sau đây đúng.?
- A.
  $AB//CD$
- B.
  $AB = CD$
- C.
  $AB\bot CD$
- D.
  $AB = 2CD$
Hướng dẫn:
Vì hai dây $AB;CD$ đều đi qua tâm nên $AB;CD$ là đường kính

Suy ra $AB = CD$
Câu 3: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh AB
Cho hình vẽ:

Biết rằng $OA = 6,5;MA = MB;OM = 2,5cm$ . Tính độ dài cạnh $AB$ .
- A.
  $12cm$
- B.
  $6cm$
- C.
  $8cm$
- D.
  $10cm$
Hướng dẫn:
Kí hiệu hình vẽ:

Ta có: Tam giác OAB cân tại O

$MA = MB(gt)$

$\Rightarrow OM\bot AB$

Xét tam giác OAM vuông tại M ta có:

$AM = \sqrt{OA^{2} - OM^{2}} = \sqrt{6,5^{2} - 2,5^{2}} = 6(cm)$

Do đó $AB = 2AM = 2.6 = 12(cm)$
Câu 4: Thông hiểu
Tính bán kính đường tròn
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12cm;BC = 5cm$ . Bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh $A;B;C;D$ của hình chữ nhật là:
- A.
  $6,5cm$
- B.
  $13cm$
- C.
  $12,5cm$
- D.
  $7cm$
Hướng dẫn:
Gọi O là giao điểm hai đường chéo

Do đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật mà tam giác ABC vuông tại A

Suy ra AB là đường kính đường tròn hay tâm đường tròn là điểm O trung điểm của AB.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \Rightarrow AC = 13(cm)$

$AO = \frac{AC}{2} = 6,5(cm)$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng $6,5cm$
Câu 5: Nhận biết
Tìm phát biểu đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi $a$ vuông góc với bán kính $OP$ tại $P$ và $P \in (O;R)$ .
- B.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi chúng có điểm chung.
- C.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi $a$ vuông góc với bán kính $OP$ tại $P$ và $OP > R$ .
- D.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi $a$ vuông góc với bán kính $OP$ tại $P$ và $OP < R$ .
Hướng dẫn:
Theo định lí về dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn ta có: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.”

Do đó: đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) khi a vuông góc với bán kính OP tại P và $P \in (O;R)$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;R)$ . Nếu $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ đi qua tâm đường tròn $(O;R)$ .
- B.
  Nếu $d < R$ thì đường thẳng $a$ cắt đường tròn $(O;R)$ .
- C.
  Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ tiếp xúc đường tròn $(O;R)$ .
- D.
  Nếu $d > R$ thì đường thẳng $a$ không cắt đường tròn.
Hướng dẫn:
Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ tiếp xúc đường tròn $(O;R)$ .

Vậy khẳng định sai là: “Nếu $d = R$ thì đường thẳng $a$ đi qua tâm đường tròn $(O;R)$ .”
Câu 7: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác MON
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $AB = \frac{6R}{5}$ . Vẽ một tiếp tuyến của $(O;R)$ tại $K$ song song với $AB$ , tiếp tuyến cắt các tia $OA;OB$ lần lượt tại $M;N$ . Diện tích tam giác $MON$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{2R^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{3R^{2}}{4}$
- C.
  $\frac{3R^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{4R^{2}}{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao điểm của AB và OK.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB//MN \\ OK\bot MN \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot AB$ tại H và do đó H là trung điểm của AB.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OHB vuông tại H ta có:

$OH = \sqrt{OB^{2} - BH^{2}} \Rightarrow OH = \sqrt{OB^{2} - AH^{2}}$

$\Rightarrow OH = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{6R}{5} ight)^{2}} = \frac{4R}{5}$

Ta có:

$\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{OH}{OK} =\dfrac{\dfrac{4R}{5}}{R} = \dfrac{4}{5}$

$\Rightarrow MN = \dfrac{AB}{\dfrac{4}{5}}= \dfrac{\dfrac{6R}{5}}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{3R}{2}$

$\Rightarrow S_{OMN} = \frac{1}{2}OK.MN = \frac{1}{2}R.\frac{3R}{2} = \frac{3R^{2}}{4}$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường tròn $(O;2)$ , điểm $A$ di chuyển trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ tại $A$ , điểm $M$ trên tia $Ax$ sao cho $AM = OA$ . Khi đó điểm $M$ chuyển động trên đường nào?
- A.
  Đường tròn tâm $A$ , bán kính $2cm$ .
- B.
  Đường tròn tâm $O$ , bán kính $2\sqrt{2}cm$ .
- C.
  Đường tròn tâm $O$ , bán kính $OA$ .
- D.
  Đường tròn đường kính $OM$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác OAM vuông cân tại A nên $OM = 2\sqrt{2}$

Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính $2\sqrt{2}cm$ .
Câu 9: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi trung điểm $AH;BC$ lần lượt là $I;M$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $DE$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
- B.
  $CE$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
- C.
  $BE$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
- D.
  $ME$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Các đường cao $AD;BE;CF$ và tam giác ABC cắt nhau tại H

$\Rightarrow \Delta EAH;\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta AFH$ vuông tại $F$ , $\Delta BHC$ vuông tại $D$ .

Tam giác AEH vuông tại E => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH (1)

Tam giác AFH vuông tại F => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFH (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm A; E; F; H cùng thuộc đường tròn tâm I

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF

$\Rightarrow IE = IH \Rightarrow \widehat{IEH} = \widehat{IHE}$

Mà $\widehat{IHE} = \widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{IEH} = \widehat{BHD}$

Tam giác BEC vuông tại E => M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC

$\Rightarrow ME = MB \Rightarrow \widehat{MEB} = \widehat{MBE}$

Tam giác BHD vuông tại D $\Rightarrow \widehat{DBH} + \widehat{DHB} = 90^{0}$ hay $\widehat{MBE} + \widehat{BHD} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{MEB} + \widehat{IEH} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{MEI} = 90^{0}$

$\Rightarrow ME\bot IE$ mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF.
Câu 10: Nhận biết
Chọn phát biểu sai
Cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O’;r), R > r$ . Trong các phát biểu sau phát biểu nào là phát biểu sai?
- A.
  Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi $OO’ = R - r$
- B.
  Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc trong khi và chỉ khi $OO’ = R - r$
- C.
  Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau khi và chỉ khi $R - r < OO' < R + r$
- D.
  Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ gọi là ngoài nhau khi và chỉ khi $OO’ > R + r$
Hướng dẫn:
Phát biểu sai là: "Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi $OO’ = R - r$ ."
Câu 11: Thông hiểu
Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2cm$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AC;CD$ . Vị trí tương đối của đường tròn $(A;AI)$ và $(C;CJ)$ là:
- A.
  cắt nhau
- B.
  ngoài nhau
- C.
  trong nhau
- D.
  tiếp xúc ngoài
Hướng dẫn:
Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \Rightarrow AC = 2\sqrt{2}(cm)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}AI = \dfrac{AC}{2} = \sqrt{2}(cm) \\CJ = \dfrac{CD}{2} = 1(cm) \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $AI + CJ < AC\left( 1 + \sqrt{2} < 2\sqrt{2} ight)$

Suy ra hai đường tròn ở vị trí ngoài nhau.
Câu 12: Vận dụng
Tính số đo các góc
Cho hai đường tròn $(O;6cm)$ và $(O';2cm)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ , $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài, $\left( B \in (O),C \in (O') ight)$ . Tính số đo các góc $\widehat{AOB},\widehat{AO'C}$ .
- A.
  $\widehat{AOB} =45^{0},\widehat{AO'C} = 135^{0}$
- B.
  $\widehat{AOB} =40^{0},\widehat{AO'C} = 140^{0}$
- C.
  $\widehat{AOB} =60^{0},\widehat{AO'C} = 120^{0}$
- D.
  $\widehat{AOB} =50^{0},\widehat{AO'C} = 130^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\widehat{AOB} =45^{0},\widehat{AO'C} = 135^{0}$ (tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm).
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\widehat{B} = \widehat{C} = 90^{0} \\OB//O'C \\\end{matrix} ight.$
Vẽ $CD//OO',(D \in OB)$
Tứ giác $ODCO'$ là hình bình hành
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}CD = OO' = R + R' = 8(cm) \\BD = OB - OD = 4(cm) \\\end{matrix} ight.$
Tam giác $BCD$ vuông tại B có CD = 2BD nên bằng nửa tam giác đều cạnh CD.
$\Rightarrow \widehat{BDC} = 60^{0}\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{BDC} = 60^{0}$ (hai góc đồng vị)
Ta có:
$\widehat{AOB} + \widehat{AO'C} =180^{0}$ (hai góc trong cùng phía)
$\Rightarrow \widehat {AO'C} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - {60^0} = {120^0}$
Vậy $\widehat{AOB} =60^{0};\widehat{AO'C} = 120^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Số đo của nửa đường tròn bằng $90^{0}$ .
- B.
  Cung nhỏ hơn có số đo lớn hơn $180^{0}$ .
- C.
  Cung lớn có số đo nhỏ hơn $180^{0}$ .
- D.
  Nếu E là một điểm nằm trên cung AB thì $\mathop{ AB}^\frown=\mathop{ AE}^\frown+\mathop{ EB}^\frown$ .
Hướng dẫn:
“Nếu E là một điểm nằm trên cung AB thì $\mathop{ AB}^\frown=\mathop{ AE}^\frown+\mathop{ EB}^\frown$ ” là khẳng định đúng.
Câu 14: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là
- A.
  Góc ở tâm
- B.
  Góc bên trong đường tròn.
- C.
  Góc tạo bởi hai bán kính
- D.
  Góc bên ngoài đường tròn
Hướng dẫn:
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Câu 15: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AM
Cho đường tròn $(O;R)$ lấy hai điểm $A;B$ sao cho $\widehat{AOB} = 80^{0}$ . Vẽ dây $AM$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $H$ . Số đo cung nhỏ $AM$ bằng:
- A.
  $140^{0}$
- B.
  $100^{0}$
- C.
  $80^{0}$
- D.
  $160^{0}$
Hướng dẫn:
Tam giác OAM cân tại O (OA = OM = R)

$OB\bot AM$ tại $H$ suy ra $OB$ đồng thời là đường phân giác $\widehat{AOM}$

$\widehat{AOB} = \widehat{BOM} = 80^{0}$

$\widehat{AOM} = \widehat{AOB} + \widehat{BOM} = 80^{0} + 80^{0} = 160^{0}$

Do đó số đo cung nhỏ AM là $\widehat{AOM} = 160^{0}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AC
Cho đường tròn $(O;2cm)$ . Từ một điểm $A$ thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyến $Ax$ ( $A$ là tiếp điểm). Lấy điểm $B \in Ax$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}cm$ . Tia $OB$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ . Tính số đo cung nhỏ $AC$ của đường tròn $(O)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $70^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác OAB vuông tại A ta có:

$\tan\widehat{AOB} = \frac{AB}{OA} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{AOB} = 60^{0}$

Vậy $sd\widehat{AC} = \widehat{AOB} = 60^{0}$ (Tính chất góc ở tâm)
Câu 17: Nhận biết
Hoàn thành định nghĩa
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc:
- A.
  tù
- B.
  vuông
- C.
  nhọn
- D.
  bẹt
Hướng dẫn:
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{0}$ (hay góc vuông).
Câu 18: Vận dụng
Xác định số khẳng định sai
Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ , vẽ dây $AM = R$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $M$ cắt nhau tại $P$ . Gọi $I$ là giao điểm của $OP$ và nửa đường tròn. Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định sau:

(i) Tam giác $AMB$ đều.

(ii) $I$ là tâm đường tròn qua bốn điểm $B;P;M;O$ .

(iii) $MI//AB$
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  1
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AM = R \Rightarrow sd\widehat{AM} = 60^{0} \Rightarrow sd\widehat{MB} = 120^{0}$

$PM = PB(*)$

$\widehat{PMB} = \frac{1}{2}sd\widehat{MB} = 60^{0}$

Từ (*) và (**) suy ra $\Delta PMB$ là tam giác đều.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{O_{2}} = \widehat{O_{3}} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{MB} \\\widehat{OBP} = 90^{0}(PB\bot OB) \\\end{matrix} ight.$

Do tam giác OBP là tam giác đều

Suy ra OP = 2R mà OI = R nên I là trung điểm của OP

Hai tam giác vuông OBP và OMP có chung cạnh huyền OP nên các điểm B, P, M, O cùng nằm trên đường tròn đường kính OP.

Mà I là trung điểm của OP

Suy ra bốn điểm B; P; O; M thuộc đường tròn tâm I bán kính IO.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\widehat{M_{1}} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{IN} = 30^{0} \\\widehat{B_{2}} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{AM} = 30^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \widehat{M_{1}} = \widehat{B_{2}} =30^{0}$

$\Rightarrow MI//AB$

Kết luận

(I) Tam giác $AMB$ đều. đúng

(ii) $I$ là tâm đường tròn qua bốn điểm $B;P;M;O$ . đúng

(iii) $MI//AB$ sai.

Vậy có 1 khẳng định sai.
Câu 19: Thông hiểu
Tính diện tích phần giấy cần dùng
Tính diện tích của phần giấy để làm một chiếc quạt giấy (như hình vẽ). Biết rằng $\widehat{AOB} = 160^{0}$ $;OM = 10cm;MB =20cm$ .
- A.
  $\frac{1200\pi}{9}\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $\frac{40\pi}{9}\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $\frac{3200\pi}{9}\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $\frac{400\pi}{9}\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Diện tích để làm cái quạt là:

$S = \frac{\pi.30^{2}.160}{360} - \frac{\pi.10^{2}.160}{360}$

$= \frac{4\pi}{9}(900 - 100) = \frac{3200\pi}{9}\left( cm^{2} ight)$
Câu 20: Vận dụng cao
Tính diện tích hình giới hạn bởi hai yếu tố
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $AB = R\sqrt{3}$ . Diện tích hình giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$ bằng:
- A.
  $\frac{R^{2}}{12}\left( 3\sqrt{3} - 4\pi ight)$
- B.
  $\frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - 3\sqrt{3} ight)$
- C.
  $\frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - \sqrt{3} ight)$
- D.
  $\frac{R^{2}}{12}(\pi - 3)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Kẻ $OH\bot AB$ tại H. Khi đó ta có:

$HB = \frac{R\sqrt{3}}{2};sin\widehat{HOB} = \frac{HB}{OB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{HOB} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{AOB} = 120^{0}$

Diện tích hình quạt tạo bởi cung nhỏ AB là:

$S_{1} = \frac{\pi R^{2}n}{360} = \frac{\pi R^{2}.120}{360} = \frac{\pi R^{2}}{3}$

$OH = \sqrt{OB^{2} - HB^{2}} = \frac{R}{2}$

Diện tích tam giác OAB là $S_{2} = \frac{1}{2}OH.AB = \frac{1}{2}.\frac{R}{2}.R\sqrt{3} = \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}$

Diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB là

$S = S_{1} - S_{2} = \frac{\pi R^{2}}{3} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - 3\sqrt{3} ight)$

Vậy diện tích cần tìm là $\frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - 3\sqrt{3} ight)$ (đơn vị diện tích).