Bài tập cuối chương 6 Hàm số y = ax², (a≠0) và Phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1: Thông hiểu

Chọn phương trình thích hợp

Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có nghiệm kép?

A.
$5x^{2} - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$
B.
$- 3x^{2} - 6x + 2 = 0$
C.
$5x^{2} - 7x - 6 = 0$
D.
$x^{2} - \left( 1 + \sqrt{3} ight)x + \sqrt{3} = 0$

Hướng dẫn:

Phương trình $5x^{2} - 7x - 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{7 + \sqrt{169}}{2.5} = 2 \\x_{2} = \dfrac{7 - \sqrt{169}}{2.5} = - \dfrac{3}{5} \\\end{matrix} ight.$

Phương trình $5x^{2} - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$ có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2.5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Phương trình $x^{2} - \left( 1 + \sqrt{3} ight)x + \sqrt{3} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{\left( 1 + \sqrt{3} ight) + \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1ight)^{2}}}{2.1} = \sqrt{3} \\x_{2} = \dfrac{\left( 1 + \sqrt{3} ight) - \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1ight)^{2}}}{2.1} = 1 \\\end{matrix} ight.$

Phương trình $- 3x^{2} - 6x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{3 + \sqrt{15}}{- 3} = \dfrac{- 3 - \sqrt{15}}{3} \\x_{2} = \dfrac{3 - \sqrt{15}}{- 3} = \dfrac{- 3 + \sqrt{15}}{3} \\\end{matrix} ight.$

Câu 2: Thông hiểu

Tìm giá trị của a

Tìm các giá trị của a để phương trình $2x^{2} + ax - 3a^{2} = 0$ có một nghiệm bằng $- 2$ ?

A.
$a = 2$ hoặc $a = \frac{4}{3}$
B.
$a = - 2$
C.
$a = \frac{4}{3}$
D.
$a = - 2$ hoặc $a = \frac{4}{3}$

Hướng dẫn:

Thay $x = 2$ vào phương trình $2x^{2} + ax - 3a^{2} = 0$ ta được:

$8 - 2a - 3a^{2} = 0$

$\Delta' = ( - 1)^{2} + 3.8 = 25$ phương trình có hai nghiệm

$a_{1} = \frac{1 - 5}{- 3} = \frac{4}{3};a_{2} = \frac{1 + 5}{- 3} = - 2$

Vậy các giá trị của a cần tìm là: $a = - 2$ hoặc $a = \frac{4}{3}$ .

Câu 3: Thông hiểu

Chọn đáp án chính xác nhất

Cho phương trình $mx^{2} - 3x + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm?

A.
$m \leq \frac{9}{4}$
B.
$m < \frac{9}{4}$
C.
$m \geq \frac{9}{4}$
D.
$m > \frac{9}{4}$

Hướng dẫn:

Xét $a = 0 \Leftrightarrow m = 0$ theo câu c ta có phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{3}(*)$

Xét $a eq 0 \Leftrightarrow m eq 0$ phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{9}{4}(**)$

Từ (*) và (**) ta có: $m \leq \frac{9}{4}$ thì phương trình có nghiệm.

Câu 4: Thông hiểu

Định giá trị m

Cho hàm số $y = (2m + 2)x^{2}$ . Tìm $m$ để đồ thị đi qua điểm $A(x;y)$ với $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ ?

A.
$m = \frac{1}{4}$
B.
$m = - \frac{7}{8}$
C.
$m = \frac{7}{4}$
D.
$m = \frac{7}{8}$

Hướng dẫn:

Ta có đồ thị đi qua điểm $A(x;y)$ với $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(2;1)$

Thay $x = 2;y = 1$ vào hàm số $y = (2m + 2)x^{2}$ ta được:

$1 = (2m + 2).(2)^{2} \Leftrightarrow 2m + 2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{8}$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = - \frac{7}{8}$ .

Câu 5: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một người thực hiện nhảy dù ở độ cao $325m$ so với mực nước biển. Quãng đường chuyển động $S$ (đơn vị: mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: giây) được xác định bởi công thức $S = 5t^{2}$ . Sau khoảng thời gian bao lâu thì người đó cách mặt đất $200m$ ?

Đáp án: 5 (giây)

Đáp án là:

Một người thực hiện nhảy dù ở độ cao $325m$ so với mực nước biển. Quãng đường chuyển động $S$ (đơn vị: mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: giây) được xác định bởi công thức $S = 5t^{2}$ . Sau khoảng thời gian bao lâu thì người đó cách mặt đất $200m$ ?

Đáp án: 5 (giây)

Khi người đó cách mặt đất $200m$ thì người đó rơi được quãng đường là:

$325 - 200 = 125(m)$

Ta có: $S = 5t^{2} = 125 \Leftrightarrow t^{2} = 25 \Leftrightarrow t = 5$

Vậy sau 5 giây người người đó cách mặt đất $200m$ .

Câu 6: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Cho hai số biết số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là:

A.
$x + 5$
B.
$\frac{5}{x}$
C.
$5x$
D.
$\frac{x}{5}$

Hướng dẫn:

Vì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng $\frac{1}{5}$ số thứ nhất. Khi đó số thứ hai là: $\frac{x}{5}$ .

Câu 7: Thông hiểu

Chọn kết quả đúng

Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y = \frac{m - 2}{m}x^{2}$ là hàm số bậc hai?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\{ \begin{matrix} m eq 2 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\{ \begin{matrix} m > 2 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\{ \begin{matrix} m eq 2 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho là hàm số bậc hai khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{m - 2}{m} eq 0 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 2 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Câu 8: Thông hiểu

Xác định số xe chở hàng

Một đội xe tải cần chở $150$ tấn hàng. Ngày làm việc có $5$ xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên các xe còn lại phải chở thêm $5$ tấn mỗi xe. Hỏi đội xe tải ban đầu có bao nhiêu chiếc xe? Biết rằng mỗi xe chở số hàng như sau.

A.
$15$ xe
B.
$20$ xe
C.
$25$ xe
D.
$10$ xe

Hướng dẫn:

Gọi số xe ban đầu là $x$ chiếc

Điều kiện $x\mathbb{\in N};x > 0$ .

Lúc đầu mỗi xe dự định chở $\frac{150}{x}$ (tấn hàng)

Theo đề bài, mỗi xe phải chở thêm $5$ tấn hàng nên ta có phương trình:

$\frac{150}{x - 5} - \frac{150}{x} = 5$

$\Leftrightarrow 5x^{2} - 25x - 750 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10(ktm) \\ x = 15(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ban đầu đội xe tải có $15$ chiếc xe.

Câu 9: Vận dụng

Tìm điều kiện tham số m

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = 2x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = - 2mx + m + 1$ . Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $x_{1};x_{2}$ sao cho $\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 2$ .

A.
$m = - 1$
B.
$m = 1$
C.
$m = 3$
D.
$m = - 2$

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$2x^{2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow 2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0(*)$

Ta có: $\Delta' = m^{2} - 2( - m - 1) = m^{2} + 2m + 2 = (m + 1)^{2} + 1 \geq 0\forall m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra $(d)$ và $(P)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A;B$

Ta thấy: $2\left( \frac{1}{2} ight)^{2} + 2m.\left( \frac{1}{2} ight) - m - 1 eq 0\forall m$ nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác $\frac{1}{2}$

Ta có:

$\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}}$

$= \left( \frac{1}{2x_{1} - 1} + \frac{1}{2x_{2} - 1} ight)^{2} - \frac{2}{\left( 2x_{1} - 1 ight)\left( 2x_{1} + 1 ight)}$

$= 4\left\lbrack \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{4x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} ightbrack - \frac{2}{4x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1}(**)$

Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m \\x_{1}x_{2} = - \dfrac{m + 1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Thay vào (**) ta được:

$\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 4\left\lbrack \frac{- m - 1}{- 2(m + 1) + 2m + 1} ightbrack = 4(m + 1)^{2} + 2$

Yêu cầu bài toán tương đương với

$4(m + 1)^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy $m = - 1$ là giá trị cần tìm

Câu 10: Nhận biết

Xác định phương trình bậc hai một ẩn

Chỉ ra phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A.
$2x^{2} - 3y - 1 = 0$
B.
$x^{2} - \frac{1}{5}\sqrt{x} + 0,16 = 0$
C.
$4x + \frac{1}{x} = 6$
D.
$6x^{2} - 1 = 7x$

Hướng dẫn:

Ta có: $6x^{2} - 1 = 7x$ là phương trình bậc nhất hai ẩn vì có dạng $ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0)$ với $a = 6;b = - 7;c = - 1$ .

Câu 11: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} + (5 - 2a)x + 4a - 14 = 0$ với $a$ là tham số. Hệ thức nào dưới đây không phụ thuộc vào tham số $a$ ?

A.
$2\left( x_{1} + x_{2} ight) + x_{1}.x_{2} = - 4$
B.
$x_{1} + x_{2} - x_{1}.x_{2} = 4$
C.
$2\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 4$
D.
$3\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 5$

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ thức Viète ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2a - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 4a - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 4$

Vậy hệ thức không phụ thuộc tham số là: $2\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 4$ .

Câu 12: Vận dụng cao

Chọn đáp án đúng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

A.
$15$ máy
B.
$16$ máy
C.
$12$ máy
D.
$18$ máy

Hướng dẫn:

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy)

Điều kiện $x > 0$

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là $\frac{8000}{30x}$ (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

$B = 200000x + \frac{8000}{30x}.192000 = 200000x + \frac{51200000}{x}$ (đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $200000x$ và $\frac{51200000}{x}$ , ta được:

$200000x + \frac{51200000}{x} \geq 2\sqrt{200000x.\frac{51200000}{x}} = 6400000$

Dấu bằng xảy ra khi

$200000x = \frac{{51200000}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 16\left( {tm} ight) \hfill \\ x = - 16\left( {ktm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Câu 13: Nhận biết

Chọn thứ tự đúng

Đồ thị hàm số y = ax², (a ≠ 0) là đường gì?

A.
Là một đường tròn
B.
Là một đường chéo
C.
Là một đường thẳng
D.
Là một đường cong

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số y = ax², (a ≠ 0) là đường cong.

Câu 14: Nhận biết

Xác định giá trị của m

Cho hàm số $y = f(x) = (2m - 1)x^{2}$ . Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;5)$ ?

A.
$m = 2$
B.
$m = 0$
C.
$m = 1$
D.
$m = 3$

Hướng dẫn:

Thay tọa độ điểm $A(1;5)$ vào hàm số $y = f(x) = (2m - 1)x^{2}$ ta được:

$5 = (2m - 1).(1)^{2} \Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3$

Vậy $m = 3$ là đáp án cần tìm.

Câu 15: Thông hiểu

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu

Cho hàm số $y = - \frac{2}{5}x^{2}$ có đồ thị $(P)$ . Điểm $M$ trên $(P)$ (khác gốc tọa độ) có tung độ gấp ba lần hoành độ. Hoành độ của điểm $M$ là:

A.
$\frac{2}{15}$
B.
$- \frac{2}{15}$
C.
$\frac{15}{2}$
D.
$- \frac{15}{2}$

Hướng dẫn:

Gọi $M(x;y)$ là điểm cần tìm.

Vì $M$ có có tung độ gấp ba lần hoành độ nên $M(x;3x)$ .

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta được:

$3x = - \frac{2}{5}x^{2} \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = 0 \\x = - \dfrac{15}{2} \Rightarrow y = \dfrac{- 45}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vì điểm $M$ trên $(P)$ (khác gốc tọa độ) nên $M\left( - \frac{15}{2}; - \frac{45}{2} ight)$

Đáp án cần tìm là: $- \frac{15}{2}$ .

Câu 16: Nhận biết

Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
$\sqrt{5}x^{2} - m = 1 \Leftrightarrow \sqrt{5}x^{2} - m - 1 = 0$ với $a = \sqrt{5};b = 0;c = - m - 1$
B.
$\sqrt{2}x = 4x^{2} + 1 \Leftrightarrow 4x^{2} - \sqrt{2}x + 1 = 0$ với $a = 4;b = - \sqrt{2};c = 1$
C.
$- x^{2} + 2 = 4x - 3 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 5 = 0$ với $a = 1;b = - 4;c = 5$
D.
$x^{2} - 3 = 4x \Leftrightarrow x^{2} - 4x - 3 = 0$ với $a = 1;b = - 4;c = - 3$

Hướng dẫn:

Câu sai là: “ $- x^{2} + 2 = 4x - 3 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 5 = 0$ với $a = 1;b = - 4;c = 5$ ”

Vì $- x^{2} + 2 = 4x - 3 \Leftrightarrow - x^{2} - 4x + 5 = 0$ với $a = - 1;b = - 4;c = 5$ .

Câu 17: Thông hiểu

Tìm số tự nhiên

Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119. Tìm số lớn hơn.

A.
12
B.
13
C.
33
D.
32

Hướng dẫn:

Gọi số thứ nhất là a; số thứ hai là b

Điều kiện: $a,b∈\mathbb{N}$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 nên ta có

$2a - 3b = 9 \Rightarrow b = \frac{{2a - 9}}{3}$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng 119 nên ta có phương trình:

$\begin{matrix} {a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} ight)^2} = 119 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{a^2} - {\left( {2a - 9} ight)^2} = 1071 \hfill \\ \Leftrightarrow 5{a^2} + 36a - 1152 = 0 \hfill \\ \Delta ' = 6084 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 78 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{ - 18 + 78}}{5} = 12\left( {tm} ight) \Rightarrow b = 5} \\ {a = \dfrac{{ - 18 - 78}}{5} = - \dfrac{{96}}{5}\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy số lớn hơn là 12.

Câu 18: Thông hiểu

Tìm chu vi hình chữ nhật

Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 3 cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng $135cm^2$ . Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu.

A.
32
B.
36
C.
16
D.
34

Hướng dẫn:

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu $(x>0)(cm)$

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: $2x(cm)$

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: $x+3(cm)$

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: $2x+3(cm)$

Theo đề bài ta có phương trình:

$\begin{matrix} \left( {x + 3} ight)\left( {2x + 3} ight) = 135 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x - 126 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 21x - 126 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 6} ight) + 21\left( {x - 6} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2x + 21} ight)\left( {x - 6} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + 21 = 0 \hfill \\ x - 6 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 6\left( {tm} ight) \hfill \\ x = - \dfrac{{21}}{2}\left( {ktm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 6cm và 12cm

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là $(12+6).2=36(cm)$

Câu 19: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Hai vận động viên Tuấn và Hưng cùng đi xe đạp từ địa điểm A đến trung tâm tập luyện với quãng đường $30km$ , khởi hành cùng một lúc. Vận tốc đi xe của Tuấn lớn hơn vận tốc của Hưng là $3km/h$ nên Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ. Kết luận nào sau đây đúng?