Luyện tập Góc ở tâm, góc nội tiếp Chân trời sáng tạo

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn phát biểu sai
Trong một đường tròn, phát biểu nào sau đây sai?
- A.
  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- B.
  Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- C.
  Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- D.
  Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Hướng dẫn:
Các góc nội tiếp bằng nhau có thể chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau.

Vậy khẳng định sai là: “Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau”.
Câu 2: Nhận biết
Tìm khẳng định sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
- B.
  Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- C.
  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- D.
  Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Hướng dẫn:
Các góc nội tiếp bằng nhau có thể chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau.

Vậy khẳng định sai là: “Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau”.
Câu 3: Nhận biết
Xác định khẳng định sai
Cho các khẳng định sau, xác định khẳng định sai?
- A.
  Hai cung bằng nhau căng hay dây bằng nhau.
- B.
  Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
- C.
  Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
- D.
  Góc có đỉnh nằm trong đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Hướng dẫn:
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

Vậy khẳng định sai là: “Góc có đỉnh nằm trong đường tròn được gọi là góc ở tâm”
Câu 4: Nhận biết
Xác định số phát biểu đúng
Cho các phát biểu sau:

(i) Số đo của cung bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

(ii) Số đo của nửa đường tròn bằng $180^{0}$ .

(iii) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Cả 3 phát biểu đã cho đều đúng.
Câu 5: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  Cung lớn có số đo lớn hơn hoặc bằng $180^{0}$ .
- B.
  Cung cả đường tròn có số đo bằng $360^{0}$ .
- C.
  Không có cung nào có số đo bằng $0^{0}$ .
- D.
  Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn hoặc bằng $180^{0}$ .
Hướng dẫn:
Khi hai đầu mút của cung trùng nhau ta có “cung không” có số đo bằng $0^{0}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính số đo góc ở tâm
Trong một ngày từ $13$ giờ đến $15$ giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $75^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
12 số trên mặt đồng hồ chia thành 12 cung đơn vị bằng nhau.

Số đo mỗi cung đơn vị là $\frac{360^{0}}{12} = 30^{0}$

Từ 13 giờ đến 15 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm chắn hai cung đơn vị.

Vậy góc ở tâm lúc đó có số đo là: $30^{0}.2 = 60^{0}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính số đo góc MAN
Quan sát hình vẽ sau:

Biết hai đường tròn có tâm $B;C$ và điểm $B$ nằm trên đường tròn tâm $C$ và $\widehat{PCQ} = 136^{0}$ . Tính số đo góc $\widehat{MAN}$ ?
- A.
  $28^{0}$
- B.
  $34^{0}$
- C.
  $36^{0}$
- D.
  $24^{0}$
Hướng dẫn:
Xét đường tròn tâm C ta có:

$\widehat{PCQ}$ là góc ở tâm và $\widehat{PBQ}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $PQ$

$\Rightarrow \widehat{PBQ} = \frac{1}{2}\widehat{PCQ} = 68^{0}$

Xét đường tròn tâm B ta có:

$\widehat{MBN}$ là góc ở tâm và $\widehat{MAN}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $MN$

$\Rightarrow \widehat{MAN} = \frac{1}{2}\widehat{MBN} = 34^{0}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AB
Cho tam giác $OAO'$ vuông cân tại $A$ . Vẽ các đường tròn $(O;OA)$ và $(O';O'A)$ cắt nhau tại điểm $B;(B eq A)$ . Xác định số đo cung nhỏ $AB$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $105^{0}$
- C.
  $75^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác OAO’ và OBO’ có

$OB = OA$

$O’B = O’A$

OO’ chung

Suy ra $\Delta OAO' = \Delta OBO'(c - c - c)$

$\Rightarrow \widehat{BOO'} = \widehat{AOO'} = 45^{0}$ (vì tam giác OAO’ vuông cân tại A)

Suy ra $sd\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 2\widehat{AOO'} = 2.45^{0} = 90^{0}$

Vậy số đo cung nhỏ AB bằng $90^{0}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AC
Cho đường tròn $(O;2cm)$ . Từ một điểm $A$ thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyến $Ax$ ( $A$ là tiếp điểm). Lấy điểm $B \in Ax$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}cm$ . Tia $OB$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ . Tính số đo cung nhỏ $AC$ của đường tròn $(O)$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $70^{0}$
- C.
  $75^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác OAB vuông tại A ta có:

$\tan\widehat{AOB} = \frac{AB}{OA} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{AOB} = 60^{0}$

Vậy $sd\widehat{AC} = \widehat{AOB} = 60^{0}$ (Tính chất góc ở tâm)
Câu 10: Thông hiểu
Xác định số đo góc nội tiếp chắn cung AB
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $AB = R\sqrt{2}$ . Số đo góc nội tiếp chắn cung lớn $AB$ bằng:
- A.
  $120^{0}$
- B.
  $270^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OA^{2} + OB^{2} = R^{2} + R^{2} = 2R^{2} \\ AB^{2} = \left( R\sqrt{2} ight)^{2} = 2R^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow OA^{2} + OB^{2} = AB^{2}$

Theo định lí Pythagore đảo ta suy ra tam giác OAB vuông cân tại O.

Khi đó $sd\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 90^{0}$

Suy ra cung lớn AB có số đo là $360^{0} - 90^{0} = 270^{0}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính góc nội tiếp chắn cung nhỏ CD
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $CD = R\sqrt{3}$ . Số đo góc nội tiếp chắn cung nhỏ $CD$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $240^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ OH vuông góc với CD

Tam giác OCD cân tại O có OH là đường cao suy ra OH cũng là trung tuyến, đường phân giác

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}HC = HD = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \\\widehat{COH} = \widehat{DOH} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:

$\sin\widehat{HOD} = \dfrac{HD}{OD} =\dfrac{\dfrac{R\sqrt{3}}{2}}{R} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{HOD} = 60^{0}$

$\Rightarrow \widehat{COD} = 2\widehat{HOD} = 2.60^{0} = 120^{0}$

$\Rightarrow sd\widehat{CD} = \frac{1}{2}\widehat{COD} = \frac{1}{2}.120^{0} = 60^{0}$

Vậy số đo cung nhỏ CD bằng $60^{0}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AM
Trên đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $A;B$ sao cho $\widehat{AOB} = 80^{0}$ . Vẽ dây $AM$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $H$ . Số đo cung nhỏ $AM$ bằng:
- A.
  $160^{0}$
- B.
  $80^{0}$
- C.
  $100^{0}$
- D.
  $140^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác OAM cân tại O nên đường cao OH cũng là đường phân giác của $\widehat{AOM}$

$\Rightarrow \widehat{O_{1}} = \widehat{O_{2}} = 80^{0}$ (vì $\widehat{AOB} = 80^{0}$ )

$\Rightarrow sd\widehat{AB} = sd\widehat{BM} = 80^{0}$

$\Rightarrow sd\widehat{AM} = 160^{0}$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trên đường tròn $(O;R)$ lấy cung $AB$ có số đo $100^{0}$ . Vẽ bán kính $OC$ song song và cùng chiều với dây $AB$ . Số đo của cung lớn $AC$ bằng:
- A.
  $85^{0}$
- B.
  $140^{0}$
- C.
  $220^{0}$
- D.
  $97^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//OC(gt) \Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{C}(slt)$

Tam giác OAC cân tại O nên $\widehat{A_{2}} = \widehat{C}(slt)$

Vậy AC là tia phân giác của góc $\widehat{OAB}$

Ta có: $sd\widehat{AB} = 100^{0} \Rightarrow \widehat{AOB} = 100^{0}$

Tam giác AOB cân tại O ta có:

$\widehat{A} = \widehat{B} = \frac{180^{0} - \widehat{O}}{2} = 40^{0}$

$\Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} = \frac{1}{2}\widehat{A} = 20^{0}$

Tam giác AOC cân tại O ta lại có:

$\widehat{AOC} = 180^{0} - 2\widehat{A_{2}} = 140^{0}$

Suy ra số đo cung nhỏ AC là $140^{0}$

Vậy số đo cung lớn AC bằng $360^{0} - 140^{0} = 220^{0}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ BC
Cho tam giác $ABC$ có góc $\widehat{A} = 60^{0}$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Số đo cung nhỏ $BC$ bằng:
- A.
  $140^{0}$
- B.
  $135^{0}$
- C.
  $68^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\widehat{O_{1}}$ góc ngoài tam giác OAB cân tại O nên $\widehat{O_{1}} = \widehat{A_{1}} + \widehat{B_{1}} = 2\widehat{A_{1}}(*)$

$\widehat{O_{2}}$ góc ngoài tam giác OAC cân tại O nên $\widehat{O_{2}} = \widehat{A_{2}} + \widehat{B_{2}} = 2\widehat{A_{2}}(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{O_{1}} + \widehat{O_{2}} = 2\left( \widehat{A_{1}} + \widehat{A_{2}} ight)$

$\Leftrightarrow \widehat{BOC} = 2\widehat{BAC}$

Hay $\widehat{BOC} = 2.60^{0} = 120^{0}$

Vậy số đo cung nhỏ BC là $120^{0}$ .
Câu 15: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $P$ sao cho $OP = 2R$ . Đường tròn tâm $I$ đường kính $OP$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A;B$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $\widehat{APB} > 60^{0}$ .
- B.
  Điểm $I$ thuộc đường tròn $(O)$ .
- C.
  Số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$ bằng $140^{0}$ .
- D.
  Số đo cung nhỏ $AB$ bằng $140^{0}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Vì I là tâm đường tròn đường kính OP = 2R

$\Rightarrow OI = IP = \frac{OP}{2} = R$

Vậy I là điểm thuộc đường tròn (O; R)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$\widehat{O_{1}} = \widehat{O_{2}} = \frac{1}{2}\widehat{AOB}$

Mà $\cos\widehat{O_{1}} = \frac{OA}{OP} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{O_{1}} = 60^{0}$

$\Rightarrow \widehat{AOB} = 2.60^{0} = 120^{0}$

$\Rightarrow sd\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 120^{0}$

Tam giác PAO vuông tại A ta có:

$\widehat{O_{1}} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{OPA} = 30^{0}$

$\Rightarrow \widehat{APB} = 2.30^{0} = 60^{0}$

Vậy khẳng định đúng là: “Điểm $I$ thuộc đường tròn $(O)$ .”
Câu 16: Vận dụng
Tìm số đo cung nhỏ BM
Cho nửa đường tròn $(O;6)$ đường kính $AB$ . Trên bán kính $OC$ vuông góc với $AB$ , lấy điểm $D$ sao cho $OD= 2\sqrt{3}cm$ . Tia $AD$ cắt $(O)$ tại $M$ . Số đo cung nhỏ $BM$ bằng:
- A.
  $50^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Từ tam giác $OAD$ vuông tại $O$ ta có:
$\tan\widehat{A} = \frac{OD}{OA} =\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \widehat{A} =30^{0}$
Tam giác OAM cân tại O $\Rightarrow\widehat{A} = \widehat{M}$
$\widehat{BOM}$ là góc ngoài của tam giác OAM
$\Rightarrow \widehat{BOM} = \widehat{A}+ \widehat{M} = 2\widehat{A} = 2.30^{0} = 60^{0}$
Suy ra số đo cung BM bằng $60^{0}$ (chắn góc ở tâm $\widehat{BOM}$ )
Câu 17: Nhận biết
Chọn đẳng thức sai
Cho hình vẽ:

Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\widehat{BOC} = sd\widehat{BnC}$
- B.
  $\widehat{BAD} = \frac{1}{2}sd\widehat{BpD}$
- C.
  $\widehat{AED} = \frac{1}{2}sd\left( \widehat{AmD} + \widehat{BnC} ight)$
- D.
  $\widehat{BEC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\widehat{BEC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$ sai vì $\widehat{BEC}$ không phải góc nội tiếp chắn cung $BnC$ .
Câu 18: Vận dụng
Xác định số khẳng định sai
Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ , vẽ dây $AM = R$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $M$ cắt nhau tại $P$ . Gọi $I$ là giao điểm của $OP$ và nửa đường tròn. Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định sau:

(i) Tam giác $AMB$ đều.

(ii) $I$ là tâm đường tròn qua bốn điểm $B;P;M;O$ .

(iii) $MI//AB$
- A.
  2
- B.
  3
- C.
  0
- D.
  1
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AM = R \Rightarrow sd\widehat{AM} = 60^{0} \Rightarrow sd\widehat{MB} = 120^{0}$

$PM = PB(*)$

$\widehat{PMB} = \frac{1}{2}sd\widehat{MB} = 60^{0}$

Từ (*) và (**) suy ra $\Delta PMB$ là tam giác đều.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{O_{2}} = \widehat{O_{3}} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{MB} \\\widehat{OBP} = 90^{0}(PB\bot OB) \\\end{matrix} ight.$

Do tam giác OBP là tam giác đều

Suy ra OP = 2R mà OI = R nên I là trung điểm của OP

Hai tam giác vuông OBP và OMP có chung cạnh huyền OP nên các điểm B, P, M, O cùng nằm trên đường tròn đường kính OP.

Mà I là trung điểm của OP

Suy ra bốn điểm B; P; O; M thuộc đường tròn tâm I bán kính IO.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\widehat{M_{1}} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{IN} = 30^{0} \\\widehat{B_{2}} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{AM} = 30^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \widehat{M_{1}} = \widehat{B_{2}} =30^{0}$

$\Rightarrow MI//AB$

Kết luận

(I) Tam giác $AMB$ đều. đúng

(ii) $I$ là tâm đường tròn qua bốn điểm $B;P;M;O$ . đúng

(iii) $MI//AB$ sai.

Vậy có 1 khẳng định sai.
Câu 19: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn (O)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AD$ . Tính bán kính đường tròn $(O)$ . Biết $AB = c;AC = b$ , đường cao $AH;(H \in BC)$ có độ dài bằng $h$ ?
- A.
  $R = \frac{b.c}{2h}$
- B.
  $R = \frac{b.h}{2c}$
- C.
  $R = \frac{hc}{2b}$
- D.
  $R = \frac{bhc}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

AD là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{ABD} = 90^{0}$

Ta có:

$\widehat{ABD} = \widehat{AHC} = 90^{0}$

$\widehat{ADB} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn cung $AB$ )

Do đó $\Delta ABD\sim\Delta AHC(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AH} = \frac{AD}{AC} \Rightarrow AD = \frac{AB.AC}{AH}$

Ta được: $AD = \frac{bc}{h}$

Vậy bán kính đường tròn (O) là: $R = \frac{bc}{2h}$
Câu 20: Nhận biết
Hoàn thành định nghĩa
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc:
- A.
  vuông
- B.
  bẹt
- C.
  tù
- D.
  nhọn
Hướng dẫn:
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{0}$ (hay góc vuông).