Luyện tập Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm khoảng chứa tham số m theo yêu cầu
Biết đường thẳng $y = (3m - 1)x + 6m + 3$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi có $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
- A.
  $(0;1)$
- B.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$
- C.
  $( - 1;0)$
- D.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm là

$(2m - 1)x + 6m + 3 = x^{3} - 3x^{2} + 1$

$\Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} - (3m - 1)x - 6m - 2 = 0(*)$

Xét hàm số $g(x) = x^{3} - 3x^{2} - (3m - 1)x - 6m - 2\left( C_{m} ight)$

$g'(x) = 3x^{2} - 6x - 3m + 1 \Rightarrow g''(x) = 6x - 6$

$\Rightarrow g''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Đồ thị $\left( C_{m} ight)$ có điểm uốn là $I(1; - 9m - 3)$

Để đường thẳng $y = (3m - 1)x + 6m + 3$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta' = ( - 3)^{2} - 3( - 3m + 1) > 0 \\I \in Ox \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{2}{3} \\m = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in ( - 1;0)$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có ba nghiệm phân biệt
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) + 2m - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có: $f(x) + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = 1 - 2m$

Để phương trình có ba nghiệm ta phải có $- 2 < 1 - 2m < 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm đối xứng
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ là:
- A.
  $(0;2)$
- B.
  $( - 1;4)$
- C.
  $(1;0)$
- D.
  $(0;0)$
Hướng dẫn:
Ta có: $y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 3 \\ y'' = 6x \\ \end{matrix} ight.$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2$

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $(0;2)$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn hàm số tương ứng với hình vẽ
Cho hình vẽ:

Biết rằng đường trong trong hình vẽ trên là đồ thị của một trong các hàm số nào dưới đây, đó là hàm số nào?
- A.
  $y = x^{3} - 2x^{2}$
- B.
  $y = x^{3} - 5x^{2} + 6x$
- C.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} - 6x$
- D.
  $y = - x^{3} + 2x^{2}$
Hướng dẫn:
Đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với hệ số $a > 0$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $(3;0)$ nên hàm số thích hợp là $y = x^{3} - 5x^{2} + 6x$ .
Câu 5: Thông hiểu
Định điều kiện tham số m
Cho hàm số $y = x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m$ có đồ thị $\left( C_{m} ight)$ . Xác định tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\left( C_{m} ight)$ cắt đường thẳng $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt?
- A.
  $m > - \frac{1}{3}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m > - \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m < - \frac{1}{3}$
- D.
  $m eq 0$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m = - 1$

$\Leftrightarrow x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)^{2} - 3m\left( x^{2} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 3m - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 3m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x^{2} = 3m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $\left( C_{m} ight)$ cắt $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $x^{2} = 3m + 1$ có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}3m + 1 > 0 \\3m + 1 eq 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{3} \\m eq 0 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:
- A.
  $y = - x^{3} +3x$
- B.
  $y = 3x^{4} - 2x^{2}$
- C.
  $y = x^{3} - 3x$
- D.
  $y = - x^{4} +3x^{2}$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a < 0$ nên hàm số tương ứng là $y = - x^{3} + 3x$ .
Câu 7: Thông hiểu
Định m để phương trình có ba nghiệm
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(x) - m + 2 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2f(x) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow 2f(x) = m - 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{m - 2}{2}$

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = - 1 \\f(x) = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m - 2}{2} = - 1 \\\dfrac{m - 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = 5 \\\end{matrix} ight.$

Vậy có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Đồ thị của hàm số $y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1$ (với $m$ là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $m \in (2;6)$
- B.
  $m \in (6;9)$
- C.
  $m \in ( - 3;2)$
- D.
  $m \in ( - 6; - 3)$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm $y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 = 0\ \ (1)$

Đặt $t = x^{2};t \geq 0$ . Phương trình trở thành $t^{2} - 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0\ \ \ (2)$

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - (2m + 1) > 0 \\ m + 1 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - 1 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Gọi $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ ; $\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} ight)$ là nghiệm cỉa phương trình (1) và $t_{1};t_{2};\left( t_{1} < t_{2} ight)$ là nghiệm của phương trình (2)

Theo giả thiết ta có:

$x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2} = x_{2} - x_{1}$

$\Leftrightarrow x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}} = \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow t_{2} = 9t_{1} > 0$

Ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix}t_{1} + t_{2} = 2(m + 1) \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\t_{1} = 9t_{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{m}{5} + \dfrac{1}{5} \\t_{2} = \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left( \dfrac{m}{5} +\dfrac{1}{5} ight)\left( \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} ight) = 2m + 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 4 \\m = - \dfrac{4}{9} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m \in (2;6)$
Câu 9: Nhận biết
Xác định hàm số tương ứng với hình vẽ
Đồ thị hàm số nào có dạng đường trong như trong hình vẽ dưới đây?
- A.
  $y = - 2x^{3} + 3x^{2} + 1$
- B.
  $y = 2x^{3} - 3x^{2} + 1$
- C.
  $y = 2x^{4} - 4x^{2} + 1$
- D.
  $y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$
Hướng dẫn:
Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$ .
Câu 10: Nhận biết
Xác định giao điểm
Đồ thị hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 2$ cắt trục tung tại điểm:
- A.
  $( - 2;0)$
- B.
  $\left( 0; - \sqrt{2} ight)$
- C.
  $\left( 0;\sqrt{2} ight)$
- D.
  $(0; - 2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $x = 0 \Rightarrow y = 0^{4} - 0^{2} - 2 = - 2$

Vậy đồ thị hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 2$ cắt trục tung tại điểm $(0; - 2)$ .
Câu 11: Nhận biết
Xác định hàm số
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây?
- A.
  $y = - x^{4} +2x^{2}$
- B.
  $y = x^{3} - 2x^{2}$
- C.
  $y = x^{4} -2x^{2}$
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} -3$
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương và nhánh cuối của đồ thị hàm số đi lên nên hệ số $a > 0$ .
Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại gốc tọa độ nên $c = 0$
Vậy hàm số tương ứng đồ thị đã cho là $y =x^{4} - 2x^{2}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Xác định hàm phân thức
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị được cho trong hình vẽ sau?
- A.
  $y = \frac{- 2x + 1}{2x + 1}$
- B.
  $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$
- C.
  $y = \frac{- x}{x + 1}$
- D.
  $y = \frac{- x + 3}{x + 1}$
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị đã cho trong hình vẽ ta thấy đường tiệm cận ngang của đồ thị là $y = - 1$ và đường tiệm cận đứng của đồ thị là $x = - 1$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1;1)$ nên hàm số cần tìm là $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm tất cả đường thẳng thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số $y = \frac{3x - 2}{x}$ có đồ thị $(C)$ . Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt mà hoành độ và tung độ của giao điểm này đều là các số nguyên?
- A.
  $8$
- B.
  $2$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Ta có: $y = 3 - \frac{2}{x}$ . Vì $M \in (C)$ có tọa độ nguyên khi $x \in U(2) \Rightarrow x \in \left\{ - 2; - 1;1;2 ight\}$

Các điểm thuộc $(C)$ có tọa độ nguyên thuộc tập $B = \left\{ ( - 1;5),(1;1),(2;2),( - 2;4) ight\}$

Mỗi cặp hai điểm thuộc tập B xác định một đường thẳng cắt $(C)$ tại hai điểm có tọa độ nguyên do đó số đường thẳng cần tìm là $C_{4}^{2} = 6$ (đường thẳng)
Câu 14: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục $Oy$ lên hai đơn vị và theo trục $Ox$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g(x)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục $Oy$ lên hai đơn vị và theo trục $Ox$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g(x)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
- A.
  $y = \frac{x - 1}{x + 1}$
- B.
  $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$
- C.
  $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$
- D.
  $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$ và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $x = - 1$ .

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0;1)$

Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Xác định số nghiệm của phương trình
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình $\left| f\left( 2x^{2} + 3 ight) - 2 ight| = 5$ có bao nhiêu nghiệm?
- A.
  $4$
- B.
  $6$
- C.
  $3$
- D.
  $5$
Hướng dẫn:
Gọi $g(x) = f\left( 2x^{2} + 3 ight) - 2$ ta có: $g'(x) = 4x.f'\left( 2x^{2} + 3 ight)$

Suy ra $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2x^{2} + 3 = - 1 \\ 2x^{2} + 3 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng biến thiên

Mà $\left| g(x) ight| = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} g(x) = 5 \\ g(x) = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có ba nghiệm.
Câu 17: Nhận biết
Xác định số nghiệm của phương trình
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình $2f(x) - 3 = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có: $2f(x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{3}{2}$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.
Câu 18: Thông hiểu
Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Biết rằng đồ thị hàm số $y = f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c$ có hai điểm cực trị là $A(0;2)$ và $B(2; - 14)$ . Khi đó giá trị của hàm số $y = f(x)$ tại $x = 3$ bằng:
- A.
  $155$
- B.
  $60$
- C.
  $- 28$
- D.
  $11$
Hướng dẫn:
Ta có: $y = f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c \Rightarrow y' = 4ax^{3} + 2bx$

Đồ thị hàm số $y = f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c$ có hai điểm cực trị là $A(0;2)$ và $B(2; - 14)$ nên ta có

$\left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(2) = - 14 \\ y'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 2 \\ 16a + 4b + c = - 14 \\ 32a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 2 \\ b = - 8 \\ a = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $y = f(x) = x^{4} - 8x^{2} + 2 \Rightarrow f(3) = 11$ .
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm của phương trình $2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0$ trên đoạn $\left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm của phương trình $2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0$ trên đoạn $\left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Vận dụng
Xác định số cặp điểm thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số $y = x^{3} + x^{2} - 4$ có đồ thị $(C)$ . Hỏi có bao nhiêu cặp điểm $A;B \in (C)$ sao cho ba điểm $O;A;B$ thẳng hàng và $OA - 2OB = 0$ với $O$ là gốc tọa độ?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua ba điểm O, A, B khi đó d có phương trình $y = k.x$

Khi đó hoành độ của O, A, B là nghiệm của phương trình $x^{3} + x^{2} - 4 = kx$

Giả sử $A\left( x_{1};kx_{1} ight),B\left( x_{2};kx_{2} ight)$ khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} {x_{1}}^{3} + {x_{1}}^{2} - 4 = kx_{1} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.$

Do $OA - 2OB = 0$ nên $\overrightarrow{OA} = \pm 2\overrightarrow{OB} \Rightarrow x_{1} = \pm 2kx_{2}$

TH1: $x_{1} = 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow 6{x_{2}}^{3} + 2{x_{2}}^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1$

Khi đó $A( - 2; - 8),B( - 1; - 4)$ .

TH2: $x_{1} = - 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = - 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow - 6{x_{2}}^{3} + 6{x_{2}}^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1$

Khi đó $A(2;8),B( - 1; - 4)$ .

Vậy có 2 cặp A; B thỏa mãn.