Bài tập cuối chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Viết phương trình (P)
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;1),B(3; - 1;5)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{3}{2}$ là
- A.
  $2x - 3y + 4z \pm 12 = 0$
- B.
  $2x - 3y + 4z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 3y + 4z - 3 = 0$
- D.
  $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0$

Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

Suy ra $M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)$

Ta có thể tích tứ diện $V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6$

Vậy đáp án cần tìm là: $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Câu 2: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt có phương trình là $x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $(P) \equiv (Q)$
- B.
  $(P)$ cắt $(Q)$
- C.
  $(R)//(Q)$
- D.
  $(P)$ cắt $(R)$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{p} = (1;0; - 4)$ và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{r} = (0;1;0)$

Do $\overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R}$ nên vectơ $\overrightarrow{p}$ không cùng phương với vectơ $\overrightarrow{r}$ .

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ có tọa độ tâm $I$ là:
- A.
  $I(3; - 1;1)$
- B.
  $I(3;1; - 1)$
- C.
  $I( - 3;1; - 1)$
- D.
  $I( - 3; - 1;1)$
Hướng dẫn:
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I( - 3; - 1;1)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x - 6y - 4z + 36 = 0$ . Gọi $A,B,C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.ABC$ .
- A.
  $V = 117$
- B.
  $V = 234$
- C.
  $V = 216$
- D.
  $V = 108$
Hướng dẫn:
Ta có: $(P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$

$(P)$ cắt các trục tọa độ tại $A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)$

Do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nên $V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm phương trình đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;1),B( - 1;2;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ .
- A.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 2; - 2;2)$ .

Suy ra đường thẳng ∆ có $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$ và đi qua I(0; 1; 1).

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Nhận biết
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2t \\ z = 3 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ . Vậy $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + y + 6z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;0),B( - 1;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ có độ dài bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{\frac{237}{41}}$
- B.
  $\sqrt{\frac{137}{41}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{155}{61}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{255}{61}}$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1)$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó: $\sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}$

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

$AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}$ $= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}$
Câu 8: Nhận biết
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0$ và $(\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

$\Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$ .
Câu 9: Vận dụng
Tìm mặt phẳng (P)
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
- A.
  $(P):x - z + 1 = 0$
- B.
  $(P):3x - 2y - 2z - 1 = 0$
- C.
  $(P): - \ x + 4y - z - 7 = 0$
- D.
  $(P):x - 4y + z - 7 = 0$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d,d^{'}$ có véc-tơ chỉ phương lần lượt là ${\overrightarrow{u}}_{1} = (2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1)$ .

Lấy điểm $A(1; - 1;2) \in d$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cắt trục hoành tại điểm $B(b;0;0)$ .

Khi đó $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{1}$ và $\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; - 2)$ , suy ra $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{P} = \left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 4;2b + 2;3 - b)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d^{'}$ và $(P)$ , suy ra

$sin\varphi = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2} ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot \sqrt{6}}$

Đặt $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \geq 0$ , suy ra $sin\varphi = \sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$ .

Nhận thấy, để góc $\varphi$ lớn nhất thì $sin\varphi$ lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với $y$ phải lớn nhất.

Xét $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) = 0$ .

Trường hợp $y = \frac{1}{5} \Rightarrow b = 3$ .

Trường hợp $y eq \frac{1}{5}$ .

Phương trình $(*)$ có nghiệm $b$ khi và chỉ khi

$\Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y - 1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0 \leq y \leq \frac{2}{9}$

Từ đó suy ra, để tồn tại $b$ suy ra $0 \leq y \leq \frac{2}{9}$ .

Vậy $y_{\max} = \frac{2}{9}$ khi đó $b = 7$ . Từ đó suy ra ${\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1; - 4;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình

$1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0$
Câu 10: Vận dụng
Tìm tọa độ đỉnh D
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2)$ . Điểm $D$ thuộc tia $Oz$ sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là
- A.
  $(0;0;4)$
- B.
  $(0;0;1)$
- C.
  $(0;0;3)$
- D.
  $(0;0;2)$
Hướng dẫn:
Ta có D thuộc tia $Oz$ nên $D(0; 0; d)$ với $d > 0$ .

Tính $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ : có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2)$ và đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ .

$\Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0$

Ta có $d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$

$\Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(0;0;3)$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Tính tổng các tham số
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 4$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = 9$
- D.
  $T = 5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$ , số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q):x - y - 11 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Vì $H(2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2; - 1; - 2)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 1;0)$ .

Gọi $\varphi$ là số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ , ta có:

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + ( - 2).0 ight|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 45^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm phương trình mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0$
- B.
  $x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình $x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0$ không có $y^{2}$ => Loại

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0$ có số hạng $2xy$ => Loại

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0$ loại vì

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 < 0$

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0$ thỏa mãn vì

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Tính thể tích tứ diện
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ , trong đó $a > 0, b > 0, c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7$ . Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = \frac{3}{8}$
- B.
  $V = \frac{2}{9}$
- C.
  $V = \frac{5}{6}$
- D.
  $V = \frac{1}{6}$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính $R = \sqrt{\frac{72}{7}}$ . Khi đó:

$d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

$49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49$

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

$a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}$

Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên $V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):ax + by + cz - 27 = 0$ đi qua hai điểm $A(3;2;1),B( - 3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = 2$
- B.
  $S = - 2$
- C.
  $S = - 12$
- D.
  $S = - 4$
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c - 27 = 0 \\ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0 \\ 3a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = a + b + c = - 12$
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $( - 3;4;5)$
- C.
  $(3; - 4; - 5)$
- D.
  $(1; - 2;3)$
Hướng dẫn:
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 17: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; −2; 6), B(0; 1; 0)$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ . Mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ (với $a, b, c$ là các số nguyên dương và $a, b, c, d$ nguyên tố cùng nhau) đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 2$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6)$ cùng phương với $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Xét mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ ⇒ I(1; 2; 3), R = 5.

Gọi $H(t; 1 − t; 2t)$ là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH

$\Rightarrow \overrightarrow{IH} = (t - 1; - t - 1;2t)$

Vì $AB ⊥ IH ⇒ t − 1 + t + 1 + 4t − 6 = 0 ⇒ t = 1$ $⇒ H(1; 0; 2)$ , $\overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)$

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) $⇒ IK ≤ IH$ .

Ta có $r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} \geq \sqrt{R^{2} - IH^{2}}$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)$ là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $H(1; 0; 2)$ là $2y + z − 2 = 0 ⇒ T = 3$
Câu 18: Vận dụng
Viết phương trình đường vuông góc chung
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},$ $d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}$ . Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 7}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 9}{- 1}$
- C.
  $\frac{x - 7}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 9}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)$

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và đi qua điểm $M(1; 1; 2)$ .

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Câu 19: Nhận biết
Tìm tham số m để hai đường thẳng vuông góc
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};$ $d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}$ . Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = - 5$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = 5$
Hướng dẫn:
Vectơ chỉ phương của $d_{1};d_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1)$ .

Để $d_{1}\bot d_{2}$ thì $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 20: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight.$ $\Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1}$ và điểm $M(0;3;0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ , cắt $\Delta_{1}$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;a;b)$ . Tính $T = a + b$
- A.
  $T = 2.$
- B.
  $T = - 2$
- C.
  $\ T = - 4.$
- D.
  $T = 4$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $\Delta_{1}$ .

Lấy $A(3;1;1) \in \Delta_{1}$ .

Mặt phẳng $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ $\overrightarrow{MA} = (3; - 2;1)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5)$ .

Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1)$ .

Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)$

Vậy $a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (35%):

2/3
Vận dụng (20%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

9 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Toán 12 CTST