Luyện tập Ứng dụng hình học của tích phân CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm giá trị tham số a
Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2} - ax$ với trục hoành ( $a eq 0$ ). Quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích $V = \frac{16\pi}{15}$ . Tìm $a$ ?
- A.
  $a = 1$
- B.
  $a = \pm 2$
- C.
  $a = \pm 1$
- D.
  $a = 2$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.$

Trường hợp 1: Với $a > 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2$

Trường hợp 2: Với $a < 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2$

Vậy $a = \pm 2$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng
Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và hai điểm $A;B$ thuộc $(P)$ sao cho $AB = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $AB$ .
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{3}{4}$
- C.
  $\frac{3}{2}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Gọi $A\left( a;a^{2} ight)$ và $(P):y = x^{2}$ là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
$(b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4$
$\Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4$
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là $y = (b + a)x - ab$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}$
$= \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}$
Mặt khác $(b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4$ nên $|b -a| \leq 2$ do $1 + (b + a)^{2} \geq1$
Suy ra $S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}$
Vậy $S_{\max} = \frac{4}{3}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Câu 3: Nhận biết
Tính thể tích tròn xoay
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}$ . Thể tích vật thể tròn xoay có được khi $(H)$ quay quanh trục $Ox$ bằng:
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\pi^{2}}{4}$
- C.
  $2\pi$
- D.
  $\frac{\pi}{4}$
Hướng dẫn:
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}$
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính $5m$ . Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được $100$ nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây $6m$ vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính $5m$ . Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được $100$ nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây $6m$ vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $(C)$ là đường cong như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ (phần tô đen) là:
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}$
- B.
  $\left| \int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|$
- C.
  $- \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$
- D.
  $\int_{0}^{2}{f(x)dx}$
Hướng dẫn:
Dựa vào hình vẽ ta thấy $x \in (0;1)$ thì $\left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in (0;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;2) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng D
Tính diện tích $S_{D}$ của hình phẳng $D$ được giới hạn bởi các đường $y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|$ , trục hoành và các đường thẳng $x = \frac{1}{e};x = 2$ ?
- A.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2ight)$
- B.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\ln^{2}x -\frac{1}{2}$
- C.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\left( 1 - \ln^{2}2ight)$
- D.
  $S_{D} = \frac{1}{2}(1 +\ln2)$
Hướng dẫn:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx}$

$= - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}$

$= - \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}$

$= \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)$
Câu 7: Nhận biết
Xác định thể tích khối tròn xoay
Cho hình $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = - x^{2} + 2x$ , trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $V = \frac{496\pi}{15}$
- B.
  $V = \frac{16\pi}{15}$
- C.
  $V = \frac{32\pi}{15}$
- D.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H);Ox$ là: $- x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng (H)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3} + 12x$ và đường thẳng $y = - x^{2}$ ?
- A.
  $S = \frac{397}{4}$
- B.
  $S = \frac{3943}{12}$
- C.
  $S = \frac{793}{4}$
- D.
  $S = \frac{937}{12}$
Hướng dẫn:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

$- x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích S của hình phẳng (H) là:

$S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x - \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}$

$= \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}$

$= \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{4}$

$= 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2} + \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} + \frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn công thức đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho vật thể $(H)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$ với $a < b$ . Gọi $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ . Biết hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ , khi đó thể tích $V$ của vật thể $(H)$ được cho bởi công thức:
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- C.
  $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$
- D.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
Hướng dẫn:
Vì $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ ta có: $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$ không phải là $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$ .
Câu 10: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
- A.
  $S = \int_{- 3}^{4}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{- 3}{f(x)dx} + \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
Hướng dẫn:
Dựa vào hình vẽ ta được: $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sin x;y = \cos x$ và các đường thẳng $x = 0;x = \pi$ ?
- A.
  $S = 2\sqrt{2}$
- B.
  $S = \sqrt{2}$
- C.
  $S = 3\sqrt{2}$
- D.
  $S = - 2\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Với $x \in \lbrack 0;\pibrack$ khi đó $\sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$

Diện tích hình phẳng $S = \int_{0}^{\pi}{\left| \sin x - \cos x ight|dx}$ ta được:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( \cos x - \sin x ight)dx} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}{\left( \sin x - \cos x ight)dx}$

$= \left. \ \left( \sin x - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \left( - \sin x - \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}$

$= \left( \sqrt{2} - 1 ight) + \left( 1 + \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn công thức thích hợp
Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x = a;x = b;a < b$ , có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(a \leq x \leq b)$ là $S(x)$ .
- A.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S^{2}(x)dx}$
- B.
  $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- C.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- D.
  $V = \int_{b}^{a}{S(x)dx}$
Hướng dẫn:
Thể tích của vật thể đã cho là: $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn công thức đúng
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ , trục Ox và hai đường thẳng $x = 1;x = 3$ có diện tích là:
- A.
  $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{3}^{1}{\left| f(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{3}^{1}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}$
Hướng dẫn:
Công thức tính diện tích cần tìm là: $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Câu 15: Vận dụng
Ghi đáp án vào ô trống
Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x + 3)^{2}$ , trục hoành và đường thẳng $x = 0$ . Gọi $A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0)$ . Tính giá trị của tham số $b$ để đoạn thẳng $AB$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
- A.
  $b = - \frac{1}{2}$
- B.
  $b = - 1$
- C.
  $b = - 2$
- D.
  $b = - \frac{3}{2}$
Gợi ý:
Ta có đồ thị hàm số $y = (x +3)^{2}$ tiếp xúc với trục hoành tại $x = - 3$ .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x +3)^{2}$ , trục hoành và đường thẳng $x= - 3,x = 0$ .
Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x + 3)^{2}$ , đoạn thẳng $AB$ và trục hoành.
Gọi S₂ là diện tích của tam giác $OAB$ .
Theo bài ra ta có:
$S_{1} = S_{2}$
$\Leftrightarrow S = 2S_{2}\Leftrightarrow \int_{- 3}^{0}{(x + 3)^{2}dx} =2.\frac{1}{2}.OA.OB$
$\Leftrightarrow - 9b = 9 \Leftrightarrowb = - 1$
Vậy $b = - 1$
Câu 16: Thông hiểu
Tính thể tích của vật thể
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = - 1;x = 1$ và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ là một hình tròn có diện tích bằng $3\pi$ . Thể tích của vật thể là?
- A.
  $V = 3\pi^{2}$
- B.
  $V = 2\pi$
- C.
  $V = 6$
- D.
  $V = 6\pi$
Hướng dẫn:
Ta có: $V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi$
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết luận chính xác
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^{2};y = 0$ . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- C.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Hướng dẫn:
Ta có: $2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

$V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích V
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?
- A.
  $V = \frac{1188\pi}{25}$
- B.
  $V = \frac{1416\pi}{25}$
- C.
  $V = 30\pi$
- D.
  $V = 60\pi$
Hướng dẫn:
Ta có: $\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}$ với $x \in \lbrack - 5;5brack$

Khi đó thể tích cần tìm là: $V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi$
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x);y = g(x)$ và các đường thẳng $x = a;x = b$ . Diện tích hình $(H)$ được tính theo công thức?
- A.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight|$
- B.
  $S = \int_{b}^{a}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} - \int_{a}^{b}{\left| g(x) ight|dx}$
- D.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Hướng dẫn:
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b,(a < b)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{f(x)dx} ight|$
- D.
  $S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} + \int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}$

$= - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$

Vậy đáp án cần tìm là: $S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$ .