Bài tập cuối chương 9 Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Nhận định đúng: “Điểm O cách đều ba đỉnh của ∆ABC”.

Hình vẽ minh họa

Ta có: (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là .

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác AKC có CH, KE là hai đường cao

Mà AH cắt kE tại D

Suy ra D là trực tâm của tam giác AKC

Do đó AD vuông góc với CK.

Hình vẽ minh họa

Nối CK

Xét tam giác ABO và tam giác CKO có:

BO = CO (AO là đường trung tuyến)

AO = OK (giả thiết)

(hai góc đối đỉnh)

Do đó

Suy ra AB = CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 6,3cm nên CK = 6,3cm.

Hình vẽ minh hạ

Xét tam giác ABC theo định lí tổng ba góc trong tam giác ta có:

Mà (vì cùng phụ với )

Hình vẽ minh họa

i)

Xét tam giác OAK và tam giác BAK có:

AK là cạnh chung

(vì KA là đường phân giác của

Do đó

ii)

Tam giác OKB có hai đường phân giác OH, KH cắt nhau tại H.

Suy ra H cách đều OK và OB (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Do đó HA = HI (do )

iii) A là trung điểm của OB.

Ta có:

Suy ra OA = AB (cặp cạnh tương ứng)

Khi đó A là trung điểm của OB.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác có vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

Suy ra tam giác cân tại K

Suy ra là đường phân giác của tam giác

Suy ra là giao của ba đường phân giác trong tam giác .

Suy ra

Xét vuông tại .

Theo định lý Pytago ta có  (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác nên

là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên

Do đó

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: (hai góc đối đỉnh) nên

Do đó AC là phân giác của

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF.

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên EF = EI

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên EF = FI

Suy ra EF = EI = FI

Do đó tam giác IEF là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:

Mà suy ra .

Tam giác ABC có trọng tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách đều ba cạnh trùng nhau thì tam giác này có đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ cùng đỉnh A, B, C trùng nhau. Theo tính chất tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều.

Ta có: vì AF là phân giác của góc .

Vì có nên

Suy ra .

Hoàn thành câu như sau: “Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn".

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có cân tại A nên

Trong ta có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vi thuộc đường trung trực của   (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lý tổng ba góc của một tam giác cho ∆ABC ta được:

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Quan sát hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó

Khẳng định đúng là: .

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà