Luyện tập Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Vì là tia phân giác của góc .

Nên hay

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có

Hình vẽ minh họa

Trong ∆ABC, ta có

Vì BK, CH là các đường phân giác nên

Trong ∆IBC, ta có:

Vậy ta có

Đoạn thẳng là đường trung tuyến của tam giác .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác có vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

Suy ra tam giác cân tại K

Suy ra là đường phân giác của tam giác

Suy ra là giao của ba đường phân giác trong tam giác .

Suy ra

Xét vuông tại .

Theo định lý Pytago ta có  (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Hình vẽ minh họa

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Xét ∆AMB và ∆AMC có

AM là cạnh chung

AB = AC (giả thiết)

MA = MB (M là trung điểm của BC)

=> ∆AMB = ∆AMC

vì nên

Vì ∆AMB = ∆AMC nên (hai góc tương ứng)

Vậy đáp án sai là: .

Trong một tam giác ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và cách đều ba cạnh của tam giác.

Vì là tia phân giác của góc nên ta có: .

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

Ta tinh

Suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có

.

Ta tính được

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta xét khẳng định

Ta có . Suy ra GM .

Lại có là giao điểm của hai trung tuyến và .

Suy ra G là trọng tâm của .

Do đó (tính chất trọng tâm)

Nên

Vậy khẳng định này đúng.

Ta xét khẳng định

Chứng minh tương tự khẳng định i) ta được CG = GN

Xét tam giác GMN và tam giác GBC có

GM = GB (chứng minh trên)

CG = GN (chứng minh trên)

(hai góc đối đỉnh)

Suy ra

Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng)

Vậy khẳng định này đúng.

Ta xét khẳng định

Ta có:

(hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên .

Vậy khẳng định này đúng.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh họa

có đường trung tuyến nên là trumg điểm của

Do đó .

Xét và , có:

(chứng minh trên)

(hai góc đối đỉnh).

(hai góc so le trong của ).

Do đó (g.c.g).

Ta có (chứng minh trên).

Suy ra và .

có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

Mà nên G là tọng tâm của tam giác ABC.

Lại có đường thẳng BM đi qua G

Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

Khi đó M là trung điểm của AC suy ra MA = MC

Vậy đáp án cần tìm là:

Vì là trọng tâm tam giác nên .

Vì tam giác cân tại .

Suy ra

Suy ra

Ta tính được Suy ra

Xét tam giác có:

Hình vẽ minh họa

Ta có .

Mặt khác BE = BC nên ⇒ (1)

Ta có HA = HD nên EH là đường trung tuyến của ∆ADE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra B là trọng tâm của ADE.

Do đó đường thẳng AB là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác này.

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Đặt BD = x. Trong ∆ABD vuông tại A, ta có:

Vậy độ dài phân giác

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

Do đó E là trọng tâm tam giác ABC.

là tia phân giác của