Bài tập cuối chương 8 Tam giác CTST

Hình vẽ minh họa

Vì D là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên D là giao của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Mà M là trung điểm của BC nên AM là trung tuyến của tam giác ABC cân tại A.

Do đó AM là đường trung trực của tam giác ABC (trong tam giác cân, trung tuyến tại đỉnh đồng thời cũng là đường trung trực ứng với đáy) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; D; M thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Vì AE // HF nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF // HE nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét tam giác AEH và HFA có

AH chung

(hai cạnh tương ứng)

Vì

Ta có: CE; CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến EH nên CE > CH (quan hệ đường xiên – đường vuông góc)

Xét tam giác AEH có (bất đẳng thức trong tam giác)

Ta có:

(vì )

Trung trực của đoạn thẳng MN cắt MN tại H nên

Hình vẽ minh họa

có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của .

Do đo .

Khi đó .

Do đó

Hay

Hình vẽ minh họa

Ta có: MQ = MP (giả thiết)

Suy ra M là trung điểm của PQ. (1)

Lại có tam giác MNP vuông tại M

Suy ra hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực ủa PQ

Do đó NQ = NP (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Suy ra tam giác PQN cân tại N

Khi đó (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác PQN có:

(định lí tổng ba góc của tam giác)

Hình vẽ minh họa

Vì MB là đường vuông góc và MA, MC là đường xiên nên MA> MB; MC > MB; (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Hình vẽ minh họa

Xét và có

(cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

(hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác suy ra

AB – BC < AC < AB + BC

Câu sai là: “tổng số đo hai góc nhọn trong một tam giác tù lớn hơn 90°”.

Vì thuộc đường trung trực của nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)

Vì thuộc đường trung trực của nên tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)

Trong ta có

Mà

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác ta có:

Theo bài ra ta có:

Thay (*) vào (**) ta được:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Có M thuộc đường trung trực của BC Suy ra BM = CM (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác BMC cân tại M

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

hay BM là phân giác góc .

Hình vẽ minh họa

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC cân tại A mà AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC. Do tam giác AMB vuông tại M, áp dụng định lí Pythagore ta có:

Vậy .

Vì 27 < 17 + 13 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác và tam giác có:

là cạnh chung

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác và tam giác có:

cạnh chung

(hai cạnh tương ứng)

Khi đó tam giác HBC cân tại H.

Hình vẽ minh họa

Đáp án sai là: AK = KC

Hình vẽ minh họa

Xét ∆AMB và ∆AMC có

AM là cạnh chung

AB = AC (giả thiết)

MA = MB (M là trung điểm của BC)

=> ∆AMB = ∆AMC

vì nên

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AMB vuông tại M

có hai góc ở đáy bằng nhau nên là tam giác cân.

có hai cạnh bên bằng nhau nên là tam giác cân.