Lớp 7 Toán 7 - Chân trời sáng tạo

Luyện tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD;CE cắt nhau tại điểm G. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DG. Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho EN = EG. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    i) BG = GM

    ii) MN = BC

    iii) MN//BC

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta xét khẳng định BG = GM

    Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.

    Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

    Suy ra G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC.

    Do đó \frac{GD}{GB} = \frac{1}{2} (tính chất trọng tâm)

    Nên BG = 2GD \Rightarrow BG = 2GD = GM

    Vậy khẳng định này đúng.

    Ta xét khẳng định MN = BC

    Chứng minh tương tự khẳng định i) ta được CG = GN

    Xét tam giác GMN và tam giác GBC có

    GM = GB (chứng minh trên)

    CG = GN (chứng minh trên)

    \widehat{MGN} = \widehat{BGC} (hai góc đối đỉnh)

    Suy ra \Delta GMN = \Delta GBC(c - g - c)

    Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng)

    Vậy khẳng định này đúng.

    Ta xét khẳng định MN//BC

    Ta có: \Delta GMN = \Delta GBC(cmt)

    \Rightarrow \widehat{GMN} = \widehat{GBC} (hai góc tương ứng)

    Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên MN//BC.

    Vậy khẳng định này đúng.

    Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

  • Câu 2: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK = \frac{1}{3}AD. Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK, cắt AC tại M. Gọi G là giao điểm của BM;AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \bigtriangleup ABC có đường trung tuyến AD nên D là trumg điểm của B

    Do đó DB = DC.

    Xét \bigtriangleup BDG và \bigtriangleup CDK, có:

    BD = CD (chứng minh trên)

    BDG = CDK (hai góc đối đỉnh).

    \bigtriangleup BD = KD (hai góc so le trong của BM//CK ).

    Do đó \bigtriangleup BDG = \Delta CDK (g.c.g).

    Ta có \Delta BDG = \Delta CDK (chứng minh trên).

    Suy ra BG = CK và DG = DK = \frac{1}{3}AD eq \frac{1}{2}AD.

    \bigtriangleup ABC có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

    Mà GD = \frac{1}{3}AD nên G là tọng tâm của tam giác ABC.

    Lại có đường thẳng BM đi qua G

    Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

    Khi đó M là trung điểm của AC suy ra MA = MC

    Vậy đáp án cần tìm là: \Delta BDG = \Delta CDK

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình vẽ sau:

    Biết rằng AO là đường trung tuyến của tam giác ABC và AO = AK; AB = 6,3cm; BC = 6,5cm; AC = 6,7cm. Độ dài CK bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Nối CK

    Xét tam giác ABO và tam giác CKO có:

    BO = CO (AO là đường trung tuyến)

    AO = OK (giả thiết)

    \widehat{AOB} = \widehat{KOC} (hai góc đối đỉnh)

    Do đó \Delta AOB = \Delta CKO(c - g - c)

    Suy ra AB = CK (hai cạnh tương ứng)

    Mà AB = 6,3cm nên CK = 6,3cm.

  • Câu 4: Nhận biết
    Chọn phương án đúng

    Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn thẳng AG là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G nên AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.9 = 6(cm)

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến BE,CF cắt nhau tại G. Biết GB = 4\sqrt{61}cm,GC = 2\sqrt{601}cm. Tính chu vi tam giác ABC.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC nên

    BE = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2} \cdot4\sqrt{61} = 6\sqrt{61}(cm)

    CF = \frac{3}{2}CG = \frac{3}{2} \cdot2\sqrt{601} = 3\sqrt{601}(cm)

    Xét \bigtriangleup ABE vuông tại A ta có:

    BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} = AB^{2} + \frac{AC^{2}}{4} = (6\sqrt{61})^{2} = 2196

    Xét \bigtriangleup ACF vuông tại A ta có:

    CF^{2} = AF^{2} + AC^{2} = \frac{AB^{2}}{4} + AC^{2} = (3\sqrt{601})^{2} = 5409.

    Từ (1) và (2), suy ra \frac{5}{4}\left( AB^{2} + AC^{2} ight) = 7605.

    Mặt khác AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}.

    Suy ra \frac{5}{4}{BC}^{2} = 7605\Rightarrow {BC}^{2} = 6084 \Rightarrow BC = 78(cm).

    Ta viết (3) thành AB^{2} + \frac{AC^{2}}{4} + \frac{3AC^{2}}{4} = 6084.

    Mà theo (1) thì AB^{2} + \frac{AC^{2}}{4} = 2196.

    So sánh \left( \ ^{*} ight) và \left( \ ^{**} ight) ta được:

    \frac{3}{4}AC^{2} = 6084 - 2196 = 3888 .

    \Rightarrow {AC}^{2} = 5184 \Rightarrow AC = 72(cm) .

    Từ đó ta tính được AB^{2} = BC^{2} - AC^{2} = 6084 - 5184 = 900

    \Rightarrow AB = 30cm .

    Vậy chu vi \bigtriangleup ABC là: 78 + 72 + 30 = 180(cm) .

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm, trung tuyến BE = 9cm, trung tuyến CF = 15cm. Tính độ dài cạnh BC (chính xác đến 0,1cm ).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của tam giác.

    Vẽ K sao cho D là trung điểm của GK.Ta có:

    BG = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \cdot 9= 6(cm)

    CG = \frac{2}{3}CF = \frac{2}{3} \cdot15 = 10(cm)

    DG = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3} \cdot12 = 4(cm)

    GK = 8(cm)

    Xét \bigtriangleup BDK và \bigtriangleup CDG có:

    DB = DC ( AD là đường trung tuyến);

    GD = GK (giả thiết);

    \widehat{KDB} = \widehat{GDC} (hai góc đối đỉnh).

    Do đó: \bigtriangleup BDK = \bigtriangleup CDG(c - g - c).

    Suy ra: BK = CG (hai cạnh tương ứng).

    Mà CG = 10(cm) nên BK = 10(cm).

    \bigtriangleup BGK có:

    \begin{matrix} & BG^{2} = 6^{2} = 36 \\ & GK^{2} = 8^{2} = 64 \\ & BK^{2} = 10^{2} = 100 \\ \end{matrix} nên theo định lý pytago đảo \bigtriangleup BGK vuông tại G.

    \bigtriangleup BGD vuông tại G, theo định lý pytago ta có:

    BD^{2} = BG^{2} + GD^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 52

    \Rightarrow BD = \sqrt{52}(cm)

  • Câu 7: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình vẽ bên, hay điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau: (Kết quả có thể ghi dưới dạng phân số tối giản a/b (nếu có), ví dụ: 2/3)

    a) GK = 1/3 CK; AG = 2 MR

    b) GK = 1/2 CG; AM = 3/2 AG

    c) AM = 3GM

    Đáp án là:

    Cho hình vẽ bên, hay điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau: (Kết quả có thể ghi dưới dạng phân số tối giản a/b (nếu có), ví dụ: 2/3)

    a) GK = 1/3 CK; AG = 2 MR

    b) GK = 1/2 CG; AM = 3/2 AG

    c) AM = 3GM

    Kết quả:

    a) GK = \frac{1}{3}CK;AG = 2MR

    b) GK = \frac{1}{2}CG;AM = \frac{3}{2}AG

    c) AM = 3GM

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình vẽ dưới đây

    Tính tỉ số \frac{KM}{MN}?

    Hướng dẫn:

    Ta có O là giao điểm của hai đường trung tuyến MI, NS của tam giác MNP nên O là trọng tâm của tam giác MNP.

    Mà PK đi qua O nên PK cũng là đường trung tuyến của tam giác MNP.

    K là trung điểm của MN nên \frac{KM}{MN} = \frac{1}{2}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính độ dài đường trung tuyến

    Cho ∆ABC cân tại A có AB = 3\sqrt{41}cm;BC = 24cm. Tính độ dài đường trung tuyến BM.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vẽ các đường trung tuyến AD, BM cắt nhau tại G.

    Ta có: \Delta ADB = \Delta ADC(c - c - c)

    Suy ra DB = DC = 12cm;\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 180^{0}:2 = 90^{0}

    Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại D ta được:

    AD^{2} = AB^{2} - BD^{2} = \left( 3\sqrt{41} ight)^{2} - 12^{2} = 225

    \Rightarrow AD = 15(cm)

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GD = \frac{1}{3}AD = 5(cm)

    Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác GBD vuông tại D ta có:

    GB^{2} = GD^{2} + BD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169

    \Rightarrow GB = 13(cm)

    \Rightarrow BM = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2}.13 = 19,5(cm)

  • Câu 10: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

    Xét ∆AMB và ∆AMC có

    AM là cạnh chung

    AB = AC (giả thiết)

    MA = MB (M là trung điểm của BC)

    => ∆AMB = ∆AMC

    \Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AMC} vì \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = \widehat{BMC} = 180^{0} nên \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^{0}

    \Rightarrow AM\bot BC

    Vì ∆AMB = ∆AMC nên \widehat{BAM} = \widehat{CAM} (hai góc tương ứng)

    Vậy đáp án sai là: \widehat{BAM} < \widehat{CAM}.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm câu sai

    Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét đáp án: G là trọng tâm tam giác ABD.

    Ta có GB = 2GC

    Suy ra BG = 2(BC – BG)

    Do đó BG = 2BC – 2GB

    Khi đó 3GB = 2BC

    Vậy GB = \frac{2}{3}BC

    Tam giác ABD có C là trung điểm của AD

    Suy ra BC là đường trung tuyến của tam giác ABD.

    Mà G \in BC;GB = \frac{2}{3}BC

    Nên G là trọng tâm của tam giác ABD

    Vậy đáp án đúng.

    Xét đáp án: G là trung điểm của AE.

    Ta có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD do đó G \in AE;AG = \frac{2}{3}AE

    Suy ra G không là trung điểm của AE

    Do đó đáp án này sai.

    Xét đáp án: Ba điểm A; G; E thẳng hàng.

    Ta đã chứng minh được G \in AE nên ba điểm A; E; G thẳng hàng.

    Vậy đáp án đúng

    Xét đáp án: Đường thẳng DG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

    Ta có G là trọng tâm tam giã ABD (chứng minh trên)

    Suy ra DG là đường trung tuyến của tam giác ABD

    Khi đó GD đi qua trung điểm của AB.

    Vậy đáp án này đúng.

  • Câu 12: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến CE và BD cắt nhau tại G. Tính tỉ số \frac{BD}{BG}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Từ giả thiết, dễ thấy G là trọng tâm của tam giác ABC nên \frac{BD}{BG} = \frac{2}{3}

  • Câu 13: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có AM;BM là hai đường trung tuyến, G là trọng tâm. Nhận định nào sau đây đúng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì trọng tâm của tam giác chia đường trung tuyến thành ba đoạn thẳng bằng nhau nên AG = 2GM.

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn kết luận đúng

    Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”.

    Hướng dẫn:

    Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \frac{2}{3} độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

  • Câu 15: Nhận biết
    Xác định trung tuyến của tam giác

    Trong hình vẽ sau, đoạn thẳng nào là đường trung tuyến của tam giác ABC?

    Hướng dẫn:

    Đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm x

    Trong hình sau, G là trọng tâm tam giác ABC.

    Tìm x biết CG = 5x,GN = 3x - 2?

    Hướng dẫn:

    Áp dụng tính chất trọng tâm ta có

    CG = 2GN

    \Rightarrow 5x = 2(3x - 2)

    \Rightarrow 5x = 6x - 4

    \Rightarrow x = 4

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác, N là trung điểm của AC. Khi đó BG = … BN. Số thích hợp điền vào chỗ chấm là:

    Hướng dẫn:

    Kí hiệu hình vẽ như sau:

    Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = \frac{2}{3}BN.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho ABC có ba đường trung tuyến AX;BY;CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:

    \frac{GX}{GA} = \frac{1}{2};\frac{GY}{GB} = \frac{1}{2};\frac{GZ}{GC} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow GX = \frac{1}{2}GA;GY = \frac{1}{2}GB;GZ = \frac{1}{2}GC

    Mà GA = GB = GC suy ra GX = GY = GZ.

  • Câu 19: Nhận biết
    Tính độ dài cạnh

    Trong hình sau, G là trọng tâm tam giác ABC.

    Tính độ dài cạnh AG biết AM = 15cm.

    Hướng dẫn:

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.15 = 10(cm).

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn kết quả đúng

    Cho G là trọng tâm của tam giác MNP với đường trung tuyến MI. Câu nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \frac{MG}{MI} = \frac{2}{3};\frac{GI}{MI} = \frac{1}{3};\frac{GI}{MG} = \frac{1}{2}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (40%):
    2/3
  • Thông hiểu (30%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Vận dụng cao (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 7 CTST

Đăng nhập