Luyện tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác CTST

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên .

Hình vẽ minh họa

Ta xét khẳng định

Ta có . Suy ra GM .

Lại có là giao điểm của hai trung tuyến và .

Suy ra G là trọng tâm của .

Do đó (tính chất trọng tâm)

Nên

Vậy khẳng định này đúng.

Ta xét khẳng định

Chứng minh tương tự khẳng định i) ta được CG = GN

Xét tam giác GMN và tam giác GBC có

GM = GB (chứng minh trên)

CG = GN (chứng minh trên)

(hai góc đối đỉnh)

Suy ra

Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng)

Vậy khẳng định này đúng.

Ta xét khẳng định

Ta có:

(hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên .

Vậy khẳng định này đúng.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh họa

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên .

Hình vẽ minh họa

Vì trọng tâm của tam giác chia đường trung tuyến thành ba đoạn thẳng bằng nhau nên .

Hình vẽ minh họa

Xét đáp án: G là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có GB = 2GC

Suy ra BG = 2(BC – BG)

Do đó BG = 2BC – 2GB

Khi đó 3GB = 2BC

Vậy

Tam giác ABD có C là trung điểm của AD

Suy ra BC là đường trung tuyến của tam giác ABD.

Mà

Nên G là trọng tâm của tam giác ABD

Vậy đáp án đúng.

Xét đáp án: G là trung điểm của AE.

Ta có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD do đó

Suy ra G không là trung điểm của AE

Do đó đáp án này sai.

Xét đáp án: Ba điểm A; G; E thẳng hàng.

Ta đã chứng minh được nên ba điểm A; E; G thẳng hàng.

Vậy đáp án đúng

Xét đáp án: Đường thẳng DG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta có G là trọng tâm tam giã ABD (chứng minh trên)

Suy ra DG là đường trung tuyến của tam giác ABD

Khi đó GD đi qua trung điểm của AB.

Vậy đáp án này đúng.

Hình vẽ minh họa

Nối CK

Xét tam giác ABO và tam giác CKO có:

BO = CO (AO là đường trung tuyến)

AO = OK (giả thiết)

(hai góc đối đỉnh)

Do đó

Suy ra AB = CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 6,3cm nên CK = 6,3cm.

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G nên

Hình vẽ minh họa

Vì là trọng tâm của nên

Xét vuông tại ta có:

Xét vuông tại A ta có:

Từ (1) và (2), suy ra .

Mặt khác .

Suy ra .

Ta viết (3) thành .

Mà theo (1) thì .

So sánh và ta được:

.

.

Từ đó ta tính được

.

Vậy chu vi là:  .

Đoạn thẳng là đường trung tuyến của tam giác .

Hình vẽ minh họa

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Xét ∆AMB và ∆AMC có

AM là cạnh chung

AB = AC (giả thiết)

MA = MB (M là trung điểm của BC)

=> ∆AMB = ∆AMC

vì nên

Vì ∆AMB = ∆AMC nên (hai góc tương ứng)

Vậy đáp án sai là: .

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có

Ta có O là giao điểm của hai đường trung tuyến MI, NS của tam giác MNP nên O là trọng tâm của tam giác MNP.

Mà PK đi qua O nên PK cũng là đường trung tuyến của tam giác MNP.

K là trung điểm của MN nên .

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết, dễ thấy G là trọng tâm của tam giác ABC nên

Hình vẽ minh họa

có đường trung tuyến nên là trumg điểm của

Do đó .

Xét và , có:

(chứng minh trên)

(hai góc đối đỉnh).

(hai góc so le trong của ).

Do đó (g.c.g).

Ta có (chứng minh trên).

Suy ra và .

có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

Mà nên G là tọng tâm của tam giác ABC.

Lại có đường thẳng BM đi qua G

Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

Khi đó M là trung điểm của AC suy ra MA = MC

Vậy đáp án cần tìm là:

Vì là trọng tâm tam giác nên .

Hình vẽ minh họa

Vẽ các đường trung tuyến AD, BM cắt nhau tại G.

Ta có:

Suy ra

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại D ta được:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác GBD vuông tại D ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:

Mà suy ra .