Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài tập cuối chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Xác định khoảng biến thiên
Cho bảng thống kê quãng đường đi bộ của bác A mỗi ngày (đơn vị: km) như sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3)

[3; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
- A.
  $0,3$
- B.
  $0,6$
- C.
  $1$
- D.
  $1,5$
Hướng dẫn:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $R = 4,2 - 2,7 = 1,5$ .
Câu 2: Thông hiểu
Xác định khoảng tứ phân vị
Cho bảng thống kê quãng đường đi bộ của bác A mỗi ngày (đơn vị: km) như sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3)

[3; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
- A.
  $0,975$
- B.
  $0,575$
- C.
  $0,521$
- D.
  $0,9$
Hướng dẫn:
Ta có:

Quãng đường (km)

[2,7; 3)

[3; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Tần số tích lũy

3

9

14

18

20

Ta có: $N = 20 \Rightarrow \frac{N}{4} = 5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [3; 3,3)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 3;m = 3,f = 6;c = 3,3 - 3,0 = 0,3$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 3 + \dfrac{5 - 3}{6}.0,3 = 3,1$

Cỡ mẫu $N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 15$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [3,6; 3,9)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 3,6;m = 14,f = 4;c = 3,9 - 3,6 = 0,3$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 3,6 + \dfrac{15 - 14}{4}.0,3 =3,675$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 0,575$
Câu 3: Thông hiểu
Xác định phương sai của mẫu số liệu
Cho bảng thống kê quãng đường đi bộ của bác A mỗi ngày (đơn vị: km) như sau:
Quãng đường (km)
[2,7; 3)
[3; 3,3)
[3,3; 3,6)
[3,6; 3,9)
[3,9; 4,2)
Số ngày
3
6
5
4
2
Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho?
- A.
  $0,264$
- B.
  $0,540$
- C.
  $0,38$
- D.
  $0,1314$
Hướng dẫn:
Ta có:
Quãng đường (km)
[2,7; 3)
[3; 3,3)
[3,3; 3,6)
[3,6; 3,9)
[3,9; 4,2)
Giá trị đại diện
2,85
3,15
3,45
3,75
4,05
Số ngày
3
6
5
4
2
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 +4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{1}{20}\left(3.2,85^{2} + 6.3,15^{2} + 5.3,45^{2} + 4.3,75^{2} + 2.4,05^{2} ight) -3,39^{2} = 0,1314$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu
Cho bảng thống kê quãng đường đi bộ của bác A mỗi ngày (đơn vị: km) như sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3)

[3; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $11,62$
- B.
  $0,07$
- C.
  $3,41$
- D.
  $0,36$
Hướng dẫn:
Ta có:

Quãng đường (km)

[2,7; 3)

[3; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Giá trị đại diện

2,85

3,15

3,45

3,75

4,05

Số ngày

3

6

5

4

2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{1}{20}\left( 3.2,85^{2} + 6.3,15^{2} + 5.3,45^{2} + 4.3,75^{2} + 2.4,05^{2} ight) - 3,39^{2} = 0,1314$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S = \sqrt{S^{2}} \approx 0,36$ .
Câu 5: Nhận biết
Xác định khoảng biến thiên của mẫu số liệu
Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
- A.
  $20$
- B.
  $30$
- C.
  $15$
- D.
  $25$
Hướng dẫn:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 45 – 20 = 25.
Câu 6: Thông hiểu
Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
- A.
  $27,5$
- B.
  $31,88$
- C.
  $23,75$
- D.
  $8,125$
Hướng dẫn:
Ta có:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

Tần số tích lũy

6

12

16

17

18

Ta có: $N = 18 \Rightarrow \frac{N}{4} = 4,5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [20; 25)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 20;m = 0,f = 6;c = 25 - 20 = 5$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 20 + \frac{4,5 - 0}{6}.5 =23,75$

Cỡ mẫu $N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 13,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [30; 35)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 30,6;m = 12,f = 4;c = 35 - 30 = 5$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 30 + \dfrac{13,5 - 12}{4}.5 =31,875$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 8,125$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm phương sai của mẫu số liệu
Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $32$
- B.
  $31,44$
- C.
  $32,63$
- D.
  $31$
Hướng dẫn:
Ta có:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Giá trị đại diện

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

Số ngày

6

6

4

1

1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{6.22,5 + 6.27,5 + 4.32,5 + 1.37,5 + 1.42,5}{18} = \frac{85}{3}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{18}\left( 6.22,5^{2} + 6.27,5^{2} + 4.32,5^{2} + 1.37,5^{2} + 1.42,5^{2} ight) - \left( \frac{85}{3} ight)^{2} = 31,25$

Do đó phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị
Câu 8: Nhận biết
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu
Thống kê kết quả giải rubik của một bạn học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Số lần

4

6

8

4

3

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho nhận giá trị nào sau đây?
- A.
  $10$
- B.
  $12$
- C.
  $6$
- D.
  $8$
Hướng dẫn:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là R = 18 – 8 = 10.
Câu 9: Thông hiểu
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
Thống kê kết quả giải rubik của một bạn học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Số lần

4

6

8

4

3

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:
- A.
  $13,48$
- B.
  $3,63$
- C.
  $10,75$
- D.
  $1,75$
Hướng dẫn:
Ta có:

Thời gian (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Số lần

4

6

8

4

3

Tần số tích lũy

4

10

18

22

25

Ta có: $N = 25 \Rightarrow \frac{N}{4} = \frac{25}{4}$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [10; 12)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 10;m = 4,f = 6;c = 12 - 10 = 2$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 10 + \dfrac{\dfrac{25}{4} - 4}{6}.2 =10,75$

Cỡ mẫu $N = 25 \Rightarrow \frac{3N}{4} = \frac{75}{4}$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [14; 16)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 14;m = 18,f = 4;c = 16 - 14 = 2$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 10 + \dfrac{\dfrac{75}{4} - 18}{4}.2 =14,375$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 3,625$
Câu 10: Thông hiểu
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu
Thống kê kết quả giải rubik của một bạn học sinh được ghi lại như sau:
Thời gian (giây)
[8; 10)
[10; 12)
[12; 14)
[14; 16)
[16; 18)
Số lần
4
6
8
4
3
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $6$
- B.
  $5,98$
- C.
  $2,44$
- D.
  $2,5$
Hướng dẫn:
Ta có:
Thời gian (giây)
[8; 10)
[10; 12)
[12; 14)
[14; 16)
[16; 18)
Giá trị đại diện
9
11
13
15
17
Số lần
4
6
8
4
3
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{4.9 + 6.11 + 8..13+ 4.15 + 3.17}{25} = 12,68$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$S^{2} = \frac{1}{25}\left( 4.9^{2} +6.11^{2} + 8.13^{2} + 4.15^{2} + 3.17^{2} ight) - (12,68)^{2} =5,9776$
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho là:
$S = \sqrt{S^{2}} \approx2,44$ .

Câu 11: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các khẳng định

Thống kê quãng đường một xe taxi công nghệ đi mỗi ngày (đơn vị: km) như sau:

Quãng đường ((km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Số ngày	5	10	9	4	2

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250km. Đúng||Sai

(ii) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17. Đúng||Sai

(iii) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145. Sai||Đúng

(iv) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55, 68. Đúng||Sai

Đáp án là:

Thống kê quãng đường một xe taxi công nghệ đi mỗi ngày (đơn vị: km) như sau:

Quãng đường ((km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Số ngày	5	10	9	4	2

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250km. Đúng||Sai

(ii) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 79,17. Đúng||Sai

(iii) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 145. Sai||Đúng

(iv) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng 55, 68. Đúng||Sai

Ta có:

Quãng đường ((km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Giá trị đại diện	75	125	175	225	275
Số ngày	5	10	9	4	2
Tần số tích lũy	5	15	24	28	30

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 300 – 50 = 250.

Vậy khẳng định (i) đúng.

Ta có: $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = \frac{15}{2}$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [100; 150)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 100;m = 5,f = 10;c = 150 - 100 = 50$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 100 + \dfrac{\dfrac{15}{2} - 5}{10}.50 =112,5$

Cỡ mẫu $N = 30 \Rightarrow \frac{3N}{4} = \frac{45}{2}$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [150; 200)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 150;m = 15,f = 9;c = 200 - 150 = 50$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 150 + \dfrac{\dfrac{45}{2} - 15}{9}.50 =\frac{575}{3}$ .

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 79,17$

Vậy khẳng định (ii) đúng.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\overline{x} = \frac{5.75 + 10.125 + 9.175 + 4.225 + 2.275}{30} = 155$

Vậy khẳng định (iii) sai.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{30}\left( 5.75^{2} + 10.125^{2} + 9.175^{2} + 4.225^{2} + 2.275^{2} ight) - 155^{2} = 3100$

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S = \sqrt{S^{2}} \approx 55,68$

Vậy khẳng định (iv) đúng.

Câu 12: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của khẳng định

Năng suất lúa (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được ghi lại trong bảng sau:

Năng suất	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Có 25 thửa ruộng được khảo sát. Đúng||Sai

(ii) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 1,2 (tấn/ha). Đúng||Sai

(iii) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,4675. Đúng||Sai

(iv) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,086656. Đúng||Sai

Đáp án là:

Năng suất lúa (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được ghi lại trong bảng sau:

Năng suất	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Có 25 thửa ruộng được khảo sát. Đúng||Sai

(ii) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 1,2 (tấn/ha). Đúng||Sai

(iii) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,4675. Đúng||Sai

(iv) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 0,086656. Đúng||Sai

Ta có: $N = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 +2 = 25$

Vậy khẳng định (i) đúng.

Năng suất	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Giá trị đại diện	5,6	5,8	6,0	6,2	6,4	6,6
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2
Tần số tích lũy	3	7	13	18	23	25

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha)

Vậy khẳng định (ii) đúng.

Ta có: $N = 25 \Rightarrow \frac{N}{4} = \frac{25}{4}$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [5,7; 5,9)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 5,7;m = 3,f = 4;c = 5,9 - 5,7 = 0,2$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 5,7 + \dfrac{\dfrac{25}{4} - 3}{4}.0,2 =5,8625$

Cỡ mẫu $N = 25 \Rightarrow \frac{3N}{4} = \frac{75}{4}$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [6,3; 6,5)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 6,3;m = 18,f = 5;c = 6,5 - 6,3 = 0,2$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 6,3 + \dfrac{\dfrac{75}{4} - 18}{5}.0,2 =6,33$ .

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 0,4675$

Vậy khẳng định (iii) đúng

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\overline{x} = \frac{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,0 + 5.6,2 + 5.6,4 + 2,6,6}{25} = 6,088$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{25}\left( 3.5,6^{2} + 4.5,8^{2} + 6.6,0^{2} + 5.6,2^{2} + 5.6,4^{2} + 2,6,6^{2} ight) - 6,088^{2} \approx 0,086656$

Vậy khẳng định (iv) đúng.

Câu 13: Vận dụng

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau

Thống kê thời gian làm bài test ngắn của học sinh hai lớp 12A và 12B ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Học sinh lớp 12A
8
10
13
10
9
Học sinh lớp 12B
4
12
17
14
3
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?
(i) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh lớp 12B làm nhanh hơn. Đúng||Sai
(ii) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh lớp 12B có thời gian làm bài đồng đều hơn. Đúng||Sai
(iii) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A và lớp 12B lần lượt là 1,08 và 1,7584. Sai||Đúng
(iv) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 12B có tốc độ làm bài đồng đều hơn. Đúng||Sai

Đáp án là:

Thống kê thời gian làm bài test ngắn của học sinh hai lớp 12A và 12B ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Học sinh lớp 12A
8
10
13
10
9
Học sinh lớp 12B
4
12
17
14
3
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?
(i) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh lớp 12B làm nhanh hơn. Đúng||Sai
(ii) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh lớp 12B có thời gian làm bài đồng đều hơn. Đúng||Sai
(iii) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A và lớp 12B lần lượt là 1,08 và 1,7584. Sai||Đúng
(iv) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 12B có tốc độ làm bài đồng đều hơn. Đúng||Sai

Ta có:
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Giá trị đại diện
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
Học sinh lớp 12A
8
10
13
10
9
Học sinh lớp 12B
4
12
17
14
3
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A:
$\overline{x_{A}} = \frac{6.6,5 + 10.7,5+ 13.8,5 + 10.9,5 + 9.10,5}{50} = 8,54$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B:
$\overline{x_{B}} = \frac{4.6,5 + 12.7,5+ 17.8,5 + 14.9,5 + 3.10,5}{50} = 8,5$
Vì $\overline{x_{A}} >\overline{x_{B}}$ nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh lớp 12B làm nhanh hơn.
Vậy khẳng định (i) đúng.
Xét lớp 12A
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Học sinh lớp 12A
8
10
13
10
9
Tần số tích lũy
8
18
31
41
50
Ta có: $N = 50 \Rightarrow \frac{N}{4} =12,5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 8)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 7;m = 8,f = 10;c = 8 - 7= 1$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\frac{\frac{N}{4} - m}{f}.c = 7 + \frac{12,5 - 8}{10}.1 =7,45$
Cỡ mẫu $N = 50 \Rightarrow \frac{3N}{4} =37,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [9; 10)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 9;m = 31,f = 10;c = 10 -9 = 1$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 9 + \dfrac{37,5 - 31}{10}.1 =9,65$ .
Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q_{A}} = Q_{3} - Q_{1} = 2,2$
Xét lớp 12B
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Học sinh lớp 12B
4
12
17
14
3
Tần số tích lũy
4
16
33
47
50
Ta có: $N = 50 \Rightarrow \frac{N}{4} =12,5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 8)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 7;m = 4,f = 12;c = 8 - 7= 1$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\frac{\frac{N}{4} - m}{f}.c = 7 + \frac{12,5 - 4}{12}.1 =\frac{185}{24}$
Cỡ mẫu $N = 50 \Rightarrow \frac{3N}{4} =37,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [9; 10)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 9;m = 33,f = 14;c = 10 -9 = 1$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 9 + \frac{37,5 - 33}{14}.1 =\frac{261}{28}$ .
Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q_{B}} = Q_{3} - Q_{1} \approx1,61$
Vì $\Delta_{Q_{A}} >\Delta_{Q_{B}}$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh lớp 12B có tốc độ làm bài đồng đều hơn.
Vậy khẳng định (ii) đúng
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A là:
${S_{A}}^{2} = \frac{1}{50}\left(6.6,5^{2} + 10.7,5^{2} + 13.8,5^{2} + 10.9,5^{2} + 9.10,5^{2} ight) -8,54^{2} = 1,7584$
Suy ra độ lệch chuẩn của nhóm dữ liệu lớp 12A là: $S_{A} = \sqrt{1,7584} \approx 1,33$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B là:
${S_{B}}^{2} = \frac{1}{50}\left( 4.6,5^{2} +12.7,5^{2} + 17.8,5^{2} + 14.9,5^{2} + 3.10,5^{2} ight) - 8,5^{2} =1,08$
Suy ra độ lệch chuẩn của nhóm dữ liệu lớp 12B là: $S_{B} = \sqrt{1,08} \approx 1,04$
Vậy khẳng định (iii) sai.
Lại có $S_{A} > S_{B}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 12B có tốc độ làm bài đồng đều hơn.
Vậy khẳng định (iv) đúng.

Câu 14: Vận dụng

Xét sự đúng sai của các khẳng định

Kết quả thống kê số giờ nắng trong tháng 5 từ năm 2022 đến năm 2021 tại hai địa điểm A và B:

Số giờ	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Số năm tại A	1	1	1	8	7	2
Số năm tại B	0	1	2	4	10	3

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại địa điểm A bằng 45. Sai||Đúng

(ii) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A. Đúng||Sai

(iii) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại B bằng 242,5. Sai||Đúng

(iv) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả thống kê số giờ nắng trong tháng 5 từ năm 2022 đến năm 2021 tại hai địa điểm A và B:

Số giờ	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Số năm tại A	1	1	1	8	7	2
Số năm tại B	0	1	2	4	10	3

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại địa điểm A bằng 45. Sai||Đúng

(ii) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A. Đúng||Sai

(iii) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại B bằng 242,5. Sai||Đúng

(iv) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A. Đúng||Sai

Ta có:

Số giờ	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Số năm tại A	1	1	1	8	7	2
Tần số tích lũy	1	2	3	11	18	20

Ta có: $N = 20 \Rightarrow \frac{N}{4} = 5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [220; 250)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 220;m = 3,f = 8;c = 250 - 220 = 30$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 220 + \frac{5 - 3}{8}.30 =217,5$

Cỡ mẫu $N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 15$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [250; 280)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 250;m = 11,f = 7;c = 280 - 250 = 30$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 250 + \frac{15 - 11}{7}.30 =\frac{1870}{7}$ .

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là $\Delta_{Q_{A}} = Q_{3} - Q_{1} \approx 39,64$

Vậy khẳng định (i) sai.

Số giờ	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Số năm tại B	0	1	2	4	10	3
Tần số tích lũy	0	1	3	7	17	20

Ta có: $N = 20 \Rightarrow \frac{N}{4} = 5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [220; 250)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 220;m = 3,f = 4;c = 250 - 220 = 30$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 220 + \frac{5 - 3}{4}.30 =235$

Cỡ mẫu $N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 15$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [250; 280)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 250;m = 7,f = 10;c = 280 - 250 = 30$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 250 + \frac{15 - 7}{10}.30 =274$ .

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là $\Delta_{Q_{B}} = Q_{3} - Q_{1} = 39$

Vì $\Delta_{Q_{A}} > \Delta_{Q_{B}}$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 5 của B đồng đều hơn A.

Vậy khẳng định (ii) đúng

Ta có:

Số giờ	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Giá trị đại diện	145	175	205	235	265	295
Số năm tại A	1	1	1	8	7	2
Số năm tại B	0	1	2	4	10	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

$\overline{x_{A}} = \frac{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242,5$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

${S_{A}}^{2} = \frac{1}{20}\left( 1.145^{2} + 1.175^{2} + 1.205^{2} + 8.235^{2} + 7.265^{2} + 2.295^{2} ight) - 242,5^{2} = 1248,75$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

$S_{A} = \sqrt{1248,75} \approx 35,34$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

$\overline{x_{B}} = \frac{0.145 + 2.175 + 4.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}{20} = 253$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

${S_{B}}^{2} = \frac{1}{20}\left( 0.145^{2} + 2.175^{2} + 4.205^{2} + 4.235^{2} + 10.265^{2} + 3.295^{2} ight) - 253^{2} = 936$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

$S_{B} = \sqrt{936} \approx 30,59$

Vậy khẳng định (iii) sai và khẳng định (iv) đúng.

Câu 15: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Kết quả thống kê điểm trung bình năm học của hai lớp 12C và 12D như sau:
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Số học sinh lớp 12C
4
5
3
4
2
Số học sinh lớp 12D
2
5
4
3
1
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?
(i) Điểm trung bình của lớp 12C nhỏ hơn điểm trung bình của lớp 12D. Đúng||Sai
(ii) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12C là 2,275. Đúng||Sai
(iii) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh 12C có điểm đồng đều hơn học sinh 12D. Sai||Đúng
(iv) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh lớp 12D có điểm đồng đều hơn học sinh lớp 12C. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả thống kê điểm trung bình năm học của hai lớp 12C và 12D như sau:
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Số học sinh lớp 12C
4
5
3
4
2
Số học sinh lớp 12D
2
5
4
3
1
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?
(i) Điểm trung bình của lớp 12C nhỏ hơn điểm trung bình của lớp 12D. Đúng||Sai
(ii) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12C là 2,275. Đúng||Sai
(iii) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh 12C có điểm đồng đều hơn học sinh 12D. Sai||Đúng
(iv) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh lớp 12D có điểm đồng đều hơn học sinh lớp 12C. Đúng||Sai

Ta có:
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Giá trị đại diện
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
Số học sinh lớp 12C
4
5
3
4
2
Số học sinh lớp 12D
2
5
4
3
1
Điểm trung bình của lớp 12C:
$\overline{x_{C}} = \frac{4.5,5 + 5.6,5 +3.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}{18} = \frac{65}{9}$ .
Điểm trung bình của lớp 12D:
$\overline{x_{D}} = \frac{2.5,5 + 5.6,5 +4.7,5 + 3.8,5 + 1.9,5}{15} = \frac{217}{30}$
Suy ra khẳng định (i) đúng.
Xét lớp 12C
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Số học sinh lớp 12C
4
5
3
4
2
Tần số tích lũy
4
9
12
16
18
Ta có: $N = 18 \Rightarrow \frac{N}{4} =4,5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [6; 7)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 6;m = 4,f = 5;c = 7 - 6= 1$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 6 + \frac{4,5 - 4}{5}.1 = 6,1$
Cỡ mẫu $N = 18 \Rightarrow \frac{3N}{4} =13,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [8; 9)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 8;m = 12,f = 4;c = 9 - 8= 1$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 8 + \frac{13,5 - 12}{4}.1 =8,375$ .
Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12C là $\Delta_{Q_{C}} = Q_{3} - Q_{1} =2,275$
Khẳng định (ii) đúng
Xét lớp 12D
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Số học sinh lớp 12D
2
5
4
3
1
Tần số tích lũy
2
7
11
14
15
Ta có: $N = 15 \Rightarrow \frac{N}{4} =\frac{15}{4} = 3,75$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [6; 7)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 6;m = 2,f = 5;c = 7 - 6= 1$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 6 + \dfrac{3,75 - 2}{5}.1 =6,35$
Cỡ mẫu $N = 15 \Rightarrow \frac{3N}{4} =11,25$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [8; 9)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 8;m = 11,f = 3;c = 9 - 8= 1$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 8 + \dfrac{11,25 - 11}{3}.1 =\dfrac{97}{12}$ .
Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12D là $\Delta_{Q_{D}} = Q_{3} - Q_{1} \approx1,73$
Vì $\Delta_{Q_{C}} >\Delta_{Q_{D}}$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh lớp 12D có điểm đồng đều hơn.
Vậy khẳng định (iii) sai.
Ta có:
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12C:
${S_{C}}^{2} = \frac{1}{18}\left(4.5,5^{2} + 5.6,5^{2} + 3.7,5^{2} + 4.8,5^{2} + 2.9,5^{2} ight) -\left( \frac{65}{9} ight)^{2} = \frac{569}{324}$
Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12C là: $S_{C} = \sqrt{{S_{C}}^{2}} =\sqrt{\frac{569}{324}} \approx 1,33$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D:
${S_{D}}^{2} = \frac{1}{15}\left(2.5,5^{2} + 5.6,5^{2} + 4.7,5^{2} + 3.8,5^{2} + 1.9,5^{2} ight) -\left( \frac{217}{30} ight)^{2} = \frac{284}{225}$
Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12D là: $S_{D} = \sqrt{{S_{D}}^{2}} =\sqrt{\frac{284}{225}} \approx 1,12$
Ta có: $S_{C} > S_{D}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh lớp 12D có điểm đồng đều hơn lớp 12C.
Vậy khẳng định (iv) đúng.