Luyện tập Phương trình mặt phẳng KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Xác định phương trình (ABC)
Trong không gian $Oxyz$ . Cho $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ qua điểm $I(1;3;3)$ và thể tích tứ diện $O.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình $(ABC)$ :
- A.
  $x + 3y + 3z - 21 = 0$
- B.
  $3x + y + z + 9 = 0$
- C.
  $3x + y + z - 9 = 0$
- D.
  $3x + 3y + z - 15 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $I(1;3;3) \in (ABC) \Rightarrow (ABC):\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} \geq \sqrt[3]{\frac{3^{2}}{abc}} \Rightarrow abc \geq 9$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{3}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 \Rightarrow 3x + y + z - 9 = 0$
Câu 2: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng (R)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;1;1)$ và hai mặt phẳng $(Q):y = 0,(P):2x - y + 3z - 1 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ chứa $A$ , vuông góc với cả hai mặt phẳng $(Q),(P)$ ?
- A.
  $3x - y + 2z - 4 = 0$
- B.
  $3x - 2z - 1 = 0$
- C.
  $3x - 2z = 0$
- D.
  $3x + y - 2z - 2 = 0$
Hướng dẫn:
Gọi $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{p} = (2; - 1;3) \\ \overrightarrow{q} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Khi đó mặt phẳng $(R)$ nhận vectơ $\overrightarrow{\omega} = - \left\lbrack \overrightarrow{p};\overrightarrow{q} ightbrack = (3;0; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Do đó $(R)$ có phương trình $3x - 2z - 1 = 0$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 4;1)$ và chắn trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là $a;b;c$ . Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ khi $a;b;c$ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ là:
- A.
  $4x + 2y - z - 1 = 0$
- B.
  $4x + 2y + z - 1 = 0$
- C.
  $4x - 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $16x + 4y - 4z - 1 = 0$
Hướng dẫn:
Do giả thiết suy ra $\left\{ \begin{matrix} a,b,c eq 0\ \\ b = 2a,c = 2b \\ \end{matrix} ight.$ .

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ khi đó phương trình mặt phẳng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Do M thuộc (P) nên $\frac{2}{a} - \frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} - \frac{4}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$

Suy ra $b = \frac{1}{2};c = 1$ do đó phương trình mặt phẳng $(P):4x + 2y + z - 1 = 0$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm độ dài đường cao tứ diện
Cho tứ diện $ABCD$ có $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2),D(2;1;3)$ . Tính độ dài đường cao của tứ diện $ABCD$ kẻ từ đỉnh $D$ ?
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\frac{5}{9}$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{x}{- 2} = 1 \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 4 = 0$

Khoảng cách từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) là

$d = \frac{|2.2 + 1 - 2.3 - 4|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{3}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm điểm không thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 1 = 0$ ?
- A.
  $E(1;0;0)$
- B.
  $O(0;0;0)$
- C.
  $H(0;0;1)$
- D.
  $K(0;1;0)$
Hướng dẫn:
Dễ thấy điểm $O(0;0;0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 6: Nhận biết
Tìm vectơ pháp tuyến
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(2;0; - 1),B(1;1;0)$ và $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$
Hướng dẫn:
Do $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $(\alpha)$ nhận $\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $\overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Câu 7: Vận dụng
Tìm giá trị biểu thức S
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 3;8)$ và chắn trên tia $Oz$ một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia $Ox$ và $Oy$ . Giả sử $(P):ax + by + cz + d = 0$ , với $a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0$ . Tính $S = \frac{a + b + c}{d}$ .
- A.
  $S = - \frac{5}{4}$
- B.
  $S = \frac{5}{4}$
- C.
  $S = 3$
- D.
  $S = - 3$
Hướng dẫn:
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia $Ox, Oy, Oy$ lần lượt là $A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0$ .

Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1$ .

Do (α) đi qua M nên $a = 2$ .

Suy ra $(α): 2x + 2y + z − 4 = 0$ .

Từ đó, ta tính được: $S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Xác định số điểm M thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ . Có bao nhiêu điểm $M$ trên trục $Oy$ thỏa mãn $M$ cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Vì $M \in Oy$ nên $M(0;y;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}d\left( M;(P) ight) = \dfrac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \\d\left( M;(Q) ight) = \dfrac{| - y - 5|}{\sqrt{3}} \\\end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết:

$d\left( M;(P) ight) = d\left( M;(Q) ight) \Leftrightarrow \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - y - 5|}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 1 = - y - 5 \\ y + 1 = y + 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 3(TM) \\ 0y = 4(L) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M(0; - 3;0)$

Vậy có 1 điểm $M$ thỏa mãn bài.
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho $A( - 1;2;1)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0$ . Khi đó:
- A.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và không song song với mặt phẳng $(P)$ .
- B.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt phẳng $(P)$ .
- C.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- D.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
Hướng dẫn:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

Vì ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)}$ nên $(Q)//(P)$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm $A$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $A(1;2;3)$
- B.
  $A( - 1; - 2;3)$
- C.
  $A( - 1;2; - 3)$
- D.
  $A(1; - 2;3)$
Hướng dẫn:
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)$
Câu 11: Nhận biết
Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x - my - z + 7 = 0,(Q):6x + 5y - 2z - 4 = 0$ . Xác định $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = - 30$
- C.
  $m = \frac{5}{2}$
- D.
  $m = - \frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

Tập xác định $\frac{3}{6} = \frac{- m}{5} = \frac{- 1}{- 2} eq \frac{7}{- 4}$

Vậy $m = - \frac{5}{2}$ thì hai mặt phẳng $(P);(Q)$ song song với nhau.
Câu 12: Nhận biết
Chọn kết luận chính xác
Trong không gian $Oxyz$ , hãy tính $p$ và $q$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M(5; - 2;0)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ và mặt phẳng $(P):3x - 4z + 5 = 0$ ?
- A.
  $p = 2;q = 4$
- B.
  $p = - 2;q = 4$
- C.
  $p = 5;q = 4$
- D.
  $p = 2;q = 3$
Hướng dẫn:
Do mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình y = 0 nên

$p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2$

Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

$q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4$
Câu 13: Vận dụng cao
Xác định pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến mặt phẳng $(P)$ lớn nhất, biết rằng $(P)$ không cắt đoạn $BC$ . Khi đó pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ :
- A.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Lấy M là trung điểm của đoạn BC, suy ra $M(2; 0; −1)$ .

Gọi $BB’, CC’, MM’$ lần lượt là khoảng cách từ $B, C, M$ đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra $BB’ + CC’ = 2MM’$ .

Xét tam giác vuông $AMM’$ , ta có $MM' ≤ AM$ , từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM’ phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M’ trùng với A hay MA ⊥ (P).

Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{AM} = (1;0; - 2)$
Câu 14: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A;B;C$ là:
- A.
  $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1$
- B.
  $2x - y + 3z + 6 = 0$
- C.
  $\frac{x}{6} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- D.
  $- 2x + y - 3z + 6 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6$

$\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1)$ . Gọi $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$ . Biết $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15$ , tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{p}$ .
- A.
  $\overrightarrow{p} = (0;9; - 12)$
- B.
  $\overrightarrow{p} = (45; - 60;0)$
- C.
  $\overrightarrow{p} = (0;45; - 60)$
- D.
  $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$
Hướng dẫn:
Ta thấy $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$

Vì $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$ nên $\overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0$ .

Mặt khác $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3$

Vậy $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;1),C( - 2;0;1)$ . Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:
- A.
  $2x - y + 1 = 0$
- B.
  $2x - y - 1 = 0$
- C.
  $- y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $y + 2z - 5 = 0$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = ( - 2;1;0)$

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:

$- 2(x - 0) + 1(y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$
Câu 17: Vận dụng cao
Tìm tọa độ M
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $P(1;1;2)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $P$ cắt các trục $Ox,Oy$ , $Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ khác gốc tọa độ sao cho $T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} + \frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó $S_{1},S_{2},S_{3}$ lần lượt là diện tích các tam giác $OAB,OBC,OCA$ và $R_{1},R_{2},R_{3}$ lần lượt là diện tích các tam giác $PAB,PBC,PCA$ . Điểm $M$ nào dưới đây thuộc $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(2;1;4)$ .
- B.
  $M(5;0;2)$ .
- C.
  $M(4;0;1)$ .
- D.
  $M(2;0;5).$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{OP} = (1;1;2) \Rightarrow OP = \sqrt{6}$ . Lại có $d(P,(Oxy)) = 2$ , $d(P,(Oxz)) = 1$ và $d(P,(Oyz)) = 1$ .

Đặt $d = d(O,(ABC))$ , ta có

$V_{P.OAB} = V_{O.PAB}$

$\Leftrightarrow d(P,(Oxy)) \cdot S_{\bigtriangleup OAB} = d(O,(ABC)) \cdot S_{\bigtriangleup PAB}$

$\Leftrightarrow 2S_{1} = dR_{1}$

$\Leftrightarrow \frac{R_{1}}{S_{1}} = \frac{2}{d}$

Tương tự, ta có $\frac{R_{2}}{S_{2}} = \frac{1}{d}$ và $\frac{R_{3}}{S_{3}} = \frac{1}{d}$ .

Khi đó $T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} + \frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} = \frac{6}{d^{2}} \geq \frac{6}{OP^{2}} = 1$ .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $d = OP$ hay $OP\bot(ABC)$ .

Từ đó suy ra $(\alpha)$ nhận $\overrightarrow{OP} = (1;1;2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó $(\alpha)$ có phương trình $1(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 6 = 0$ .

Vậy $M(4;0;1)$ là điểm thuộc $(\alpha)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính tổng các tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):(2m - 1)x + m(1 - 2m)y + (2m - 4)z + 14 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tổng các giá trị của m để $(P)$ và $(Q)$ vuông góc nhau bằng bao nhiêu?
- A.
  $- \frac{1}{2}$
- B.
  $- \frac{7}{2}$
- C.
  $- \frac{5}{2}$
- D.
  $- \frac{3}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)$

$(Q)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left( 2m - 1;,m(1 - 2m);2m - 4 ight)$

(P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}}$

Điều này tương đương với

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 6m^{2} + 3m - 9 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1 + \left( - \frac{3}{2} ight)= - \dfrac{1}{2}$ .
Câu 19: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ sao cho $T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là:
- A.
  $6x + 3y + 2z - 18 = 0$
- B.
  $6x - 3y + 2z - 6 = 0$
- C.
  $3x + 2y + z - 10 = 0$
- D.
  $x + 2y + 3z - 14 = 0$
Hướng dẫn:
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c$ là các số thực dương do $OA, OB, OC$ khác 0.

Khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A, B, C$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mà $M ∈ (P)$ nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$ , do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

$T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}$

T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: $\left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $x + 2y + 3z - 14 = 0$ .
Câu 20: Nhận biết
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (2;1;0)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (0;2;1)$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

7 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Toán 12 KNTT