Luyện tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Câu 1: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân $G(x) = 0,025x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là số miligam thuộc được tiêm cho bệnh nhân $(0 < x < 30)$ . Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là:

A.
$x = 15(mg)$
B.
$x = 20(mg)$
C.
$x = 25(mg)$
D.
$x = 10(mg)$

Hướng dẫn:

Ta có: $G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) \Rightarrow G'(x) = 1,5x - 0,075x^{2}$

$\Rightarrow G'(x) = 0 \Leftrightarrow 1,5x - 0,075x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì lượng thuốc cần tiêm vào là $x = 20(mg)$ .

Câu 2: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 3: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một sợi dây kim loại dài $60cm$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một sợi dây kim loại dài $60cm$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 4: Thông hiểu

Tìm thời điểm vận tốc lớn nhất

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S(t) = - t^{3} + 12t^{2} - 30t + 10$ trong đó $t$ được tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 5s$
B.
$t = 2s$
C.
$t = 6s$
D.
$t = 4s$

Hướng dẫn:

Ta có: $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 24t - 30 = - 3(t - 4)^{2} + 18 \leq 18$

Khi đó $\max v(t) = 18 \Leftrightarrow t = 4(s)$

Câu 5: Vận dụng

Tìm giá trị của V

Một khối gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng $r = 2m$ , chiều cao $h = 6m$ . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ:

Gọi $V$ là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Xác định giá trị của $V$

A.
$V = \frac{32\pi}{27}\left( m^{3} ight)$
B.
$V = \frac{32\pi}{3}\left( m^{3} ight)$
C.
$V = \frac{32\pi}{9}\left( m^{3} ight)$
D.
$V = \frac{32\pi}{5}\left( m^{3} ight)$

Hướng dẫn:

Gọi $r_{t};h_{t}$ lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.

Ta có: $\frac{r_{t}}{2} = \frac{6 - h_{t}}{6} \Rightarrow 2\left( 6 - h_{t} ight) = 6r_{t} \Leftrightarrow h_{t} = 6 - 3r_{t}$

Ta lại có: $V = \pi{r_{t}}^{2}.h_{t} = \pi{r_{t}}^{2}.\left( 6 - 3r_{t} ight) = \pi.\left( 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3} ight)$

Xét hàm số $f\left( r_{t} ight) = 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3}$ với $r_{t} \in (0;2)$ có:

$f'\left( r_{t} ight) = 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2}$

$f'\left( r_{t} ight) = 0 \Leftrightarrow 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2} = 0 \Leftrightarrow r_{t} = \frac{4}{3}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\max f\left( r_{t} ight) = \frac{32}{9}$ đạt tại $r_{t} = \frac{4}{3}$

Vậy $V = \frac{32\pi}{9}\left( m^{3} ight)$ là giá trị cần tìm.

Câu 6: Thông hiểu

Tìm chi phí thấp nhất để xây dựng

Gia đình bác T muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích $75m^{3}$ . Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m², thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m², nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m². Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

A.
$\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{\pi}}(m)$
B.
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi}}(m)$
C.
$\frac{2}{\sqrt[3]{\pi}}(m)$
D.
$\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}(m)$

Hướng dẫn:

Gọi $x(m);(x > 0)$ là bán kính đáy của bình chứa hình trụ

Khi đó tổng số tiền phải trả là $14.10^{4}.\pi x^{2} + 10^{5}.\pi x^{2} +\frac{144.9.10^{4}}{x}$

Đặt $f(x) = 14.10^{4}.\pi x^{2} +10^{5}.\pi x^{2} + \frac{144.9.10^{4}}{x}$

$\Rightarrow f'(x) = 48.10^{4}\pi x -\frac{1296.10^{4}}{x}$

$\Rightarrow f'(x) = 0\Leftrightarrow 48.10^{4}\pi x - \frac{1296.10^{4}}{x} = 0\Leftrightarrow x = \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}$

Vậy để chi phí xây dựng là thấp nhất thì bán kính đáy bằng $\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}m$ .

Câu 7: Thông hiểu

Xác định vận tốc của chuyển động

Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức $v(t) = t^{3} - 10t^{2} + 29t - 20$ (với $v$ được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:

A.
$2,61$
B.
$- 0,88$
C.
$6,06$
D.
$2,59$

Hướng dẫn:

Gia tốc của chất điểm $a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 20t + 29$ gia tốc là hàm số bậc hai ẩn $t$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = \frac{10}{3}$

Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng $v\left( \frac{10}{3} ight) = \frac{70}{27} \approx 2,59$ .

Câu 8: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Một loại thuốc được dùng cho bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong $t$ giờ được cho bởi công thức $c(t) = \frac{t}{t^{2} + 1}(mg/L)$ . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A.
$3$ giờ
B.
$1$ giờ
C.
$4$ giờ
D.
$2$ giờ

Hướng dẫn:

Ta có: $c'(t) = \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 ight)^{2}};\forall t \in (0; + \infty)$ . Cho $c'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Vậy sau khi tiêm 1 giờ, nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân cao nhất.

Câu 9: Thông hiểu

Xác định thời điểm số lượng cá thể giảm

Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại thuốc với cá thể $X$ được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số $P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}$ , trong đó $P(t)$ là số lượng cá thể sau $t$ giờ sử dụng thuốc. Vào thời điểm nào thì số lượng cá thể $X$ bắt đầu giảm?

A.
Sau $1$ giờ.
B.
Sau $1,5$ giờ.
C.
Sau $2$ giờ.
D.
Sau $3$ giờ.

Hướng dẫn:

Xét $P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}$ ta có: $P'(t) = \frac{- t^{2} - 2t + 3}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}}$

$P'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 3 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = 1$ và $P'(t) < 0;\forall t \in (1; + \infty)$ nên sau $1$ giờ thì cá thể bắt đầu giảm.

Câu 10: Thông hiểu

Xác định thời điểm vận tốc lớn nhất

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 8$
B.
$t = 6$
C.
$t = 2$
D.
$t = 12$

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 11: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $200m^{2}$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m². Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $200m^{2}$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m². Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 12: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 13: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 14: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Để uốn $4m$ thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi $r$ bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r(m)$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Để uốn $4m$ thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi $r$ bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r(m)$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 15: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Một công ty bất động sản có $50$ căn hộ cho thuê. Nếu giá cho thuê mỗi căn là $3000000$ đồng/tháng thì không có phòng trống, còn nếu cho thuê mỗi căn hộ thêm $200000$ đồng/tháng thì sẽ có 2 căn bị bỏ trống. Hỏi công ty phải niêm yếu bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

A.
$5$ triệu đồng
B.
$4$ triệu đồng
C.
$3,4$ triệu đồng
D.
$3$ triệu đồng

Hướng dẫn:

Đặt số tiền tăng thêm là $200000x$ (đồng)

Giá tiền mỗi căn hộ một tháng là $3000000 + 200000x$ (đồng)

Số căn hộ bị trống là $50 - 2x$ (phòng)

Số tiền thu được mỗi tháng là: $\left( 3.10^{6} + 2.10^{5}x ight)(50 - 2x)$ (đồng)

Đặt $f(x) = \left( 3.10^{6} + 2.10^{5}x ight)(50 - 2x)$

Để doanh thu là lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ , giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ tại đỉnh của parabol.

Hay:

$f'(x) = 2.10^{5}(50 - 2x) - 2\left( 3.10^{6} + 2.10^{5}x ight) = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Vậy công ty niêm yết giá tiền là: $3.10^{6} + 2.10^{5}.5 = 4.10^{6}$ đồng để được doanh thu là lớn nhất.

Luyện tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 12 KNTT

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Luyện tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Luyện tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Luyện tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Luyện tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Luyện tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài tập cuối chương 1

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Đề thi giữa kì 1

Đề thi giữa kì 1 Đề 1

Đề thi giữa kì 1 Đề 2

Đề thi giữa kì 1 Đề 3

Đề thi giữa kì 1 Đề 4

Đề thi giữa kì 1 Đề 5

Chương II. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Bài 6. Vectơ trong không gian

Luyện tập Vectơ trong không gian

Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Luyện tập Hệ trục tọa độ trong không gian

Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Luyện tập Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Luyện tập Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Luyện tập Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài tập cuối chương 3

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Đề thi học kì 1

Đề thi HK1 Đề 1

Đề thi HK1 - Đề 2

Đề thi HK1 - Đề 3

Đề thi HK1 - Đề 4

Đề thi HK1 - Đề 5

Đề thi HK1 - Đề 6

Đề thi HK1 - Đề 7

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 11. Nguyên hàm

Luyện tập Nguyên hàm

Bài 12. Tích phân

Luyện tập Tích phân

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Luyện tập Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Luyện tập Phương trình mặt phẳng

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Luyện tập Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Luyện tập Công thức tính góc trong không gian

Bài 17. Phương trình mặt cầu

Luyện tập Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện

Luyện tập Xác suất có điều kiện

Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Luyện tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút