Luyện tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm hàm số thích hợp với yêu cầu đề bài
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?
- A.
  $y = \frac{x - 2}{2x - 3}$
- B.
  $y = x^{4} - x^{2} + 3$
- C.
  $y = \frac{3 - x}{x + 1}$
- D.
  $y = - x^{3} + x - 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = - x^{3} + x - 1$ sai vì $2 < 3$ nhưng $f(2) = - 7 > f(3) = - 25$

$y = \frac{3 - x}{x + 1}$ sai vì $2 < 3$ nhưng $f(2) = \frac{1}{3} > f(3) = - 0$

$y = \frac{x - 2}{2x - 3}$ sai vì $1,1 < 2$ nhưng $f(1,1) = \frac{9}{8} > f(2) = 0$

$y = x^{4} - x^{2} + 3$ đúng vì $y' = 4x^{3} - 2x = 2x\left( 2x^{2} - 1 ight) > 0;\forall x > 1$ nên hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 3$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 8x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x} + m}$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ là:
- A.
  $( - 4; - 3brack \cup \lbrack 0; + \infty)$
- B.
  $( - \infty;4)$
- C.
  $( - 4; - 3) \cup (0; + \infty)$
- D.
  $( - 4; + \infty)$
Hướng dẫn:
Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 8x}$

Điều kiện xác định $x^{2} - 8x \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq 0 \\ x \geq 8 \\ \end{matrix} ight.$

Xét hàm $t = \sqrt{x^{2} - 8x};x \in ( - 1;0)$ ta có:

$t' = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^{2} - 8x}} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x}} < 0;\forall x \in ( - 1;0)$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $t = \sqrt{x^{2} - 8x}$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;0)$ và $t \in (0;3)$

Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y = \frac{t - 4}{t + m}$ đồng biến trên $(0;3)$

Điều kiện xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{m + 4}{(t + m)^{2}};\forall x \in D$

Để hàm số đồng biến trên $(0;3)$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 4 > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} - m \leq 0 \\ - m \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 4 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 0 \\ m \leq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 4 < m \leq - 3 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - 4; - 3brack \cup \lbrack 0; + \infty)$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(3m + 7)x + 1$ có cực trị?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 3 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $- 2 < m < 3$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(3m + 7)$

Để hàm số $y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(3m + 7)x + 1$ có cực trị thì $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow 9m^{2} - 9m - 54 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1; + \infty)$
- B.
  $(0;1)$
- C.
  $( - 1;0)$
- D.
  $( - 1;1)$
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị dễ dàng thấy hàm số đồng biến trên $(0;1)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f(2x + 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(0; + \infty)$
- B.
  $( - 1;0)$
- C.
  $( - 2;0)$
- D.
  $( - 1;2)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y' = \left\lbrack f(2x + 1) ightbrack' = 2f'(2x + 1) < 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x + 1 < - 3 \\ - 1 < 2x + 1 < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ - 1 < x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(2x + 1)$ là: $( - 1;0)$
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x)$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $( - \infty;1)$
- B.
  $(1;2)$
- C.
  $( - 1;1)$
- D.
  $(2; + \infty)$
Hướng dẫn:
Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(1;2)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = x^{2}(x - 1);\forall x\mathbb{\in R}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $y = f(x)$ không có cực trị.
- B.
  $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ .
- C.
  $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .
- D.
  $y = f(x)$ có hai điểm cực trị.
Hướng dẫn:
Từ biểu thức của $f'(x)$ ta có bảng xét dấu như sau:

Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ nên mệnh đề “ $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ ” đúng và mệnh đề “ $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ ” sai.

Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “ $y = f(x)$ không có cực trị” sai và “ $y = f(x)$ có hai điểm cực trị” sai.
Câu 8: Nhận biết
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số
Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ nghịch biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$
- B.
  $( - \infty;1)$
- C.
  $( - \infty; + \infty)$
- D.
  $(1; + \infty)$
Hướng dẫn:
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

$f'(x) = \frac{- 5}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D$ suy ra hàm số nghịch biến trên $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
Câu 9: Vận dụng
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước
Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{\cot x - 2}{\cot x - m}$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ ?
- A.
  $1 \leq m < 2$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq 0 \\ 1 \leq m < 2 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m > 2$
- D.
  $m \leq 0$
Hướng dẫn:
Đặt $t = \cot x \Rightarrow t' = \frac{- 1}{sin^{2}x} < 0;\forall x \in \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$

$\Rightarrow \cot\frac{\pi}{2} < t < \cot\frac{\pi}{4}$ hay $0 < t < 1$

Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = \frac{t - 2}{t - m}$ đồng biến trên $(0;1)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(t - m)^{2}}$ . Hàm số $y = \frac{t - 2}{t - m}$ đồng biến trên $(0;1)$

$\Leftrightarrow y' > 0;\forall t \in (0;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - m > 0 \\ m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 1 \\ m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $\left\lbrack \begin{matrix} m \leq 0 \\ 1 \leq m < 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Thông hiểu
Xác định m để hàm số nghịch biến
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = - \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + mx - 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $m \geq - 4$
- B.
  $m \leq - 4$
- C.
  $m < - 4$
- D.
  $m > - 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y' = - x^{2} - 4x + m$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 4$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq - 4$
Câu 11: Nhận biết
Tìm cực đại của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)(x - 2);\forall x\mathbb{\in R}$ . Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra hàm số có một điểm cực đại.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm hàm số đồng biến trên tập số thực
Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = \tan x$
- B.
  $y = x^{3} - x^{2} + 3x + 11$
- C.
  $y = \frac{x + 2}{x + 4}$
- D.
  $y = x^{4} + x^{2} - 1$
Hướng dẫn:
Xét hàm số $y = x^{3} - x^{2} + 3x + 11$ ta có:

$y' = - 3x^{2} + 2x + 3 = \left( \sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}} ight)^{2} + \frac{8}{3} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\lbrack - 3;3brack$ và có đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng $( - 3;3)$ . Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số đồng biến trên các khoảng $( -3; - 1)$ và $(1;3)$ .
- B.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 3; - 1)$ và $(1;3)$ .
- C.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1;1)$ .
- D.
  Hàm số đồng biến trên các khoảng $( -2;3)$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị ta thấy $f'(x) \geq0;\forall x \in ( - 2;3)$ và dấu “=” chỉ xảy ra tại $x = 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2;3)$ .
Câu 14: Vận dụng
Xác định khoảng chứa các giá trị tham số m
Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m^{2} - 8$ (với $m$ là tham số) có đồ thị $(C)$ . Giả sử các điểm $A;B;C$ là các điểm cực trị của $(C)$ . Để tam giác $ABC$ đều thì giá trị của tham số $m$ nằm trong khoảng nào sau đây?
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{4} ight)$
- B.
  $(1;2)$
- C.
  $\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$
- D.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$
Hướng dẫn:
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4(m + 1)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay $x^{2} = m + 1$ có hai nghiệm khác 0

$\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $(C)$ có ba điểm cực trị là $A\left( 0;m^{2} + 8 ight)$ ; $B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight)$ ; $C\left( - \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight)$ .

Ta có: $AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}}$

Do đó tam giác $ABC$ đều $\Leftrightarrow AB = BC$

$\Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}$

$\Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} = 4(m + 1)$

$\Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m + 1)^{3} - 3 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ (m + 1)^{3} - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\ \end{matrix} ight.$

Kết hợp với điều kiện $m > - 1 \Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}$ .

Vậy đáp án cần tìm là $m \in \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn biểu thức chính xác
Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại $y_{CÐ}$ và giá trị cực tiểu $y_{CT}$ của hàm số $y = x^{3} - 3x$ là:
- A.
  $y_{CT} = 2y_{CÐ}$
- B.
  $2y_{CT} = 3y_{CÐ}$
- C.
  $y_{CT} = y_{CÐ}$
- D.
  $y_{CT} + y_{CÐ} = 0$
Hướng dẫn:
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có $y'' = 6x \Rightarrow y''(1) = 6 > 0$ nên $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.

$y''( - 1) = - 6 < 0$ nên $x = - 1$ là điểm cực đại của hàm số.

Do đó $\left\{ \begin{matrix} y_{CÐ} = y( - 1) = 2 \\ y_{CT} = y(1) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y_{CT} + y_{CÐ} = 0$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
- A.
  $x = - 2$
- B.
  $x = - 1$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = 2$
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .
Câu 17: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số không có cực trị.
- B.
  Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
- C.
  Hàm số chỉ có một điểm cực trị.
- D.
  Hàm số có ba điểm cực trị.
Hướng dẫn:
Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương $y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0)$ với $ab < 0$ nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng xét dấu đã cho ta thấy $f'(x)$ đổi dấu 4 lần nên hàm số $f(x)$ có bốn điểm cực trị.
Câu 19: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2;0)$
- B.
  $( - 1; + \infty)$
- C.
  $(0; + \infty)$
- D.
  $( - \infty;0)$
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$ .

Vậy đáp án cần tìm là $(0; + \infty)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn đề bài
Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + 1$ có ba điểm cực trị $A(0;1)$ ; $B;C$ thỏa mãn $BC = 4$ ?
- A.
  $m = \pm 2$ .
- B.
  $m = \pm 4$ .
- C.
  $m = \sqrt{2}$ .
- D.
  $m = 4$ .
Hướng dẫn:
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4mx = 4x\left( x^{2} - m ight)$

Để hàm số có ba cực trị thì $m > 0$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \\ x = \pm \sqrt{m} \Rightarrow y\left( \pm \sqrt{m} ight) = 1 - m^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $A(0;1)$ ; $B\left( \sqrt{m};1 - m^{2} ight);C\left( - \sqrt{m};1 - m^{2} ight)$

$BC = 4 \Rightarrow \sqrt{4m} = 4 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy đáp án đúng là $m = 4$