Luyện tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
= x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(3m + 7)x + 1 có cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(3m
+ 7)

    Để hàm số y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} +
3(3m + 7)x + 1 có cực trị thì y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

    \Rightarrow \Delta' > 0
\Leftrightarrow 9m^{2} - 9m - 54 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m < - 2 \\
m > 3 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định khoảng chứa các giá trị tham số m

    Cho hàm số y = f(x) = x^{4} - 2(m +
1)x^{2} + m^{2} - 8 (với mlà tham số) có đồ thị (C). Giả sử các điểm A;B;C là các điểm cực trị của (C). Để tam giác ABC đều thì giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m +
1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m
+ 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x^{2} = m + 1 \\
\end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt hay x^{2} = m + 1 có hai nghiệm khác 0

    \Leftrightarrow m + 1 > 0
\Leftrightarrow m > - 1

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \sqrt{m + 1} \\
x = - \sqrt{m + 1} \\
\end{matrix} ight.

    Đồ thị (C) có ba điểm cực trị là A\left( 0;m^{2} + 8 ight);B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8
ight);C\left( - \sqrt{m + 1}; -
(m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight).

    Ta có: AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m +
1)^{4}}

    Do đó tam giác ABC đều \Leftrightarrow AB = BC

    \Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m +
1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}

    \Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} =
4(m + 1)

    \Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) =
0

    \Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m +
1)^{3} - 3 ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m + 1 = 0 \\
(m + 1)^{3} - 3 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 1 \\
m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\
\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1
\Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left(
\frac{1}{4};\frac{1}{2} ight).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
= \frac{\sqrt{x^{2} - 8x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x} + m} nghịch biến trên ( - 1;0) là:

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x^{2} - 8x}

    Điều kiện xác định x^{2} - 8x \geq 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x \leq 0 \\
x \geq 8 \\
\end{matrix} ight.

    Xét hàm t = \sqrt{x^{2} - 8x};x \in ( -
1;0) ta có:

    t' = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^{2} -
8x}} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x}} < 0;\forall x \in ( -
1;0)

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số t =
\sqrt{x^{2} - 8x} nghịch biến trên khoảng ( - 1;0)t
\in (0;3)

    Khi đó yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y
= \frac{t - 4}{t + m} đồng biến trên (0;3)

    Điều kiện xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - m ight\}

    Ta có: y' = \frac{m + 4}{(t +
m)^{2}};\forall x \in D

    Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì

    \left\{ \begin{matrix}
y' > 0 \\
- m otin (0;3) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m + 4 > 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
- m \leq 0 \\
- m \geq 3 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > - 4 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 0 \\
m \leq - 3 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
- 4 < m \leq - 3 \\
m \geq 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - 4; -
3brack \cup \lbrack 0; + \infty)

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn biểu thức chính xác

    Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại y_{CÐ} và giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số y = x^{3} - 3x là:

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow
y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Lại có y'' = 6x \Rightarrow
y''(1) = 6 > 0 nên x =
1 là điểm cực tiểu của hàm số.

    y''( - 1) = - 6 < 0 nên x = - 1 là điểm cực đại của hàm số.

    Do đó \left\{ \begin{matrix}
y_{CÐ} = y( - 1) = 2 \\
y_{CT} = y(1) = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow y_{CT} + y_{CÐ} = 0.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) = x^{2}(x - 1);\forall
x\mathbb{\in R}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Từ biểu thức của f'(x) ta có bảng xét dấu như sau:

    Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại x =
1 nên mệnh đề “y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 1” đúng và mệnh đề “y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0” sai.

    Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “y = f(x) không có cực trị” sai và “y = f(x) có hai điểm cực trị” sai.

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào bảng xét dấu đã cho ta thấy f'(x) đổi dấu 4 lần nên hàm số f(x) có bốn điểm cực trị.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm hàm số đồng biến trên tập số thực

    Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = x^{3} - x^{2} + 3x +
11 ta có:

    y' = - 3x^{2} + 2x + 3 = \left(
\sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}} ight)^{2} + \frac{8}{3} > 0;\forall
x\mathbb{\in R} suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số y
= \frac{\cot x - 2}{\cot x - m} nghịch biến trên \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}
ight)?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \cot x \Rightarrow t' =
\frac{- 1}{sin^{2}x} < 0;\forall x \in \left(
\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)

    \Rightarrow \cot\frac{\pi}{2} < t <
\cot\frac{\pi}{4} hay 0 < t <
1

    Bài toán trở thành tìm m để hàm số y =
\frac{t - 2}{t - m} đồng biến trên (0;1)

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ m ight\}

    Ta có: y' = \frac{2 - m}{(t -
m)^{2}}. Hàm số y = \frac{t - 2}{t
- m} đồng biến trên (0;1)

    \Leftrightarrow y' > 0;\forall t
\in (0;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2 - m > 0 \\
m otin (0;1) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m < 2 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 1 \\
m \leq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack
\begin{matrix}
m \leq 0 \\
1 \leq m < 2 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 9: Nhận biết
    Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

    Hàm số f(x) =
\frac{2x + 3}{x - 1} nghịch biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    f'(x) = \frac{- 5}{(x - 1)^{2}} <
0;\forall x \in D suy ra hàm số nghịch biến trên ( - \infty;1)(1; + \infty).

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm f'(x) = (x -
1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x). Hàm số y
= f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số y =
f(x) đồng biến trên (1;2).

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn \lbrack - 3;3brack và có đạo hàm f'(x) trên khoảng ( - 3;3). Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) \geq0;\forall x \in ( - 2;3) và dấu “=” chỉ xảy ra tại x = 1 nên hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2;3).

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y =
f(x) có đồ thị như hình vẽ như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị dễ dàng thấy hàm số đồng biến trên (0;1).

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xác định m để hàm số nghịch biến

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
= - \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + mx - 1 nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = - x^{2} - 4x + m

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall
x

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 1 < 0 \\
\Delta \leq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m
\leq - 4

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq -
4

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(2x + 1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = \left\lbrack f(2x + 1)
ightbrack' = 2f'(2x + 1) < 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
2x + 1 < - 3 \\
- 1 < 2x + 1 < 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x < - 2 \\
- 1 < x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy khoảng nghịch biến của hàm số y =
f(2x + 1) là: ( - 1;0)

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm hàm số thích hợp với yêu cầu đề bài

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = - x^{3} + x - 1 sai vì 2 < 3 nhưng f(2) = - 7 > f(3) = - 25

    y = \frac{3 - x}{x + 1} sai vì 2 < 3 nhưng f(2) = \frac{1}{3} > f(3) = - 0

    y = \frac{x - 2}{2x - 3} sai vì 1,1 < 2 nhưng f(1,1) = \frac{9}{8} > f(2) = 0

    y = x^{4} - x^{2} + 3 đúng vì y' = 4x^{3} - 2x = 2x\left( 2x^{2} - 1
ight) > 0;\forall x > 1 nên hàm số y = x^{4} - x^{2} + 3 đồng biến trên khoảng (1; + \infty).

  • Câu 16: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = x^{4} - 2x^{2} +
3. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0) với ab < 0 nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm tham số m thỏa mãn đề bài

    Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + 1 có ba điểm cực trị A(0;1); B;C thỏa mãn BC = 4?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4mx = 4x\left(
x^{2} - m ight)

    Để hàm số có ba cực trị thì m >
0

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \\
x = \pm \sqrt{m} \Rightarrow y\left( \pm \sqrt{m} ight) = 1 - m^{2} \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra A(0;1); B\left( \sqrt{m};1 - m^{2} ight);C\left( -
\sqrt{m};1 - m^{2} ight)

    BC = 4 \Rightarrow \sqrt{4m} = 4
\Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án đúng là m = 4

  • Câu 18: Nhận biết
    Tìm cực đại của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)(x - 2);\forall
x\mathbb{\in R}. Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Suy ra hàm số có một điểm cực đại.

  • Câu 19: Nhận biết
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty; - 2)(0; + \infty).

    Vậy đáp án cần tìm là (0; +
\infty).

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (40%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (10%):
    2/3
  • Vận dụng cao (5%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 17 lượt xem
Sắp xếp theo