Luyện tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = x^{4} - mx^{2} + m$ có đồ thị $(C)$ . Tìm tham số $m$ để $(C)$ đi qua điểm $M(2;16)$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 0$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $M(2;16) \in (C) \Leftrightarrow 16 = 2^{4} - m.2^{2} + m \Leftrightarrow 3m = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn AB
Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3$ có đồ thị $(C)$ . Gọi $A;B \in (C)$ và đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$ . Độ dài $AB$ bằng:
- A.
  $2\sqrt{2}$
- B.
  $2\sqrt{3}$
- C.
  $4$
- D.
  $4\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Gọi $A(x;y),B( - x; - y)$ là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ ( $x > 0$ )

Vì A và B thuộc (C) nên $x^{3} - 3x^{2} + 3 = - \left\lbrack ( - x)^{3} - 3( - x)^{2} + 3 ightbrack$

$\Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 1(L) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $A(1;1),B( - 1; - 1)$

Độ dài đoạn AB là: $AB = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (1 + 1)^{2}} = 2\sqrt{2}$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ . Giả sử $M(a;b) \in (C)$ có khoảng cách đến đường thẳng $d:y = 3x + 6$ nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $a + b = 2$
- B.
  $a - b = 2$
- C.
  $a + b = - 2$
- D.
  $a - b = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $M\left( a;\frac{2a + 1}{a + 2} ight);(a eq - 2)$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:

$d(M;d) = \dfrac{\left| 3a - \dfrac{2a +1}{a + 2} + 6 ight|}{\sqrt{3^{2} + 1}}$ $= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left| 3a+ 6 - \frac{2a + 1}{a + 2} ight|$ $= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left|\frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2} ight|$

Xét hàm số $f(a) = \frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2};(a eq - 2)$

$f'(a) = \frac{3\left( a^{2} + 4a + 3 ight)}{(a + 2)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $\left| f(a) ight| = 4$ tại $a = - 1$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 2$
Câu 4: Thông hiểu
Xác định số nghiệm tối đa
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như sau:

Hỏi phương trình $2f(x) = m$ có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?
- A.
  $5$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Phương trình $2f(x) = m \Leftrightarrow f(x) = \frac{m}{2}$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{m}{2}$

Số giao điểm của hai đường bằng số nghiệm của phương trình $f(x) = \frac{m}{2}$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y = \frac{m}{2}$ cắt đồ thị tại nhiều nhất 5 điểm.

Vậy phương trình có tối đa 5 nghiệm.
Câu 5: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng
Đường thẳng $y = m^{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 10$ tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác $OAB$ vuông (với $O$ là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $m^{2} \in (1;3)$
- B.
  $m^{2} \in (0;1)$
- C.
  $m^{2} \in (3;5)$
- D.
  $m^{2} \in (5;7)$
Hướng dẫn:
Xét hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 10$ ta có $y' = 4x^{3} - 2x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\x = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vì $m^{2} \geq 0;\forall m$ nên từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = m^{2}$ luôn cắt đồ thị hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 10$ tại những cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung.

Giả sử $A\left( x_{1};m^{2} ight);B\left( - x_{1};m^{2} ight)$ . Tam giác OAB vuông

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow - {x_{1}}^{2} + m^{4} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = m^{2}$

Suy ra $A\left( m^{2};m^{2} ight)$ vì $A\left( m^{2};m^{2} ight)$ thuộc đồ thị hàm số nên

$m^{8} - m^{4} - 10 = m^{2} \Leftrightarrow m^{2} = 2 \in (1;3)$
Câu 6: Nhận biết
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?
- A.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
- B.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
- C.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 1$
- D.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a < 0$ và có ba điểm cực trị nên $ab < 0$ nên chọn $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Xác định hàm số $y = f(x)$ ?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
- B.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 1$
- C.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số cần tìm là hàm số bậc ba

Vì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ nên đáp án là $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ .
Câu 8: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Biết hàm số $y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Biết hàm số $y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Nhận biết
Tìm m nguyên thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(x) + 3m = 0$ có ba nghiệm phân biệt?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có: $2f(x) + 3m = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{- 3m}{2}$

Để phương trình $2f(x) + 3m = 0$ có ba nghiệm phân biệt thì $- \frac{3m}{2} = - 3 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Phương trình $f(x) = m$ có $3$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m \in (1;2)$ .
- B.
  Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
- C.
  Hàm số đồng biến trên một khoảng duy nhất là $( - \infty;1)$ .
- D.
  Giá trị lớn nhất của hàm số là $2$ .s
Hướng dẫn:
Hàm số không có giá trị lớn nhất vì $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}y = + \infty$ nên khẳng định “Giá trị lớn nhất của hàm số là $2$ ” sai.

Phương trình $f(x) = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $1 < m < 2$ nên khẳng định “Phương trình $f(x) = m$ có $3$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m \in (1;2)$ ” đúng.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $( - 1;1)$ nên khẳng định “Hàm số đồng biến trên một khoảng duy nhất là $( - \infty;1)$ ” sai.

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $x = - 1;y = 1$ vì $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 1;\lim_{x ightarrow - 1^{- 1}}y = + \infty$ nên khẳng định “Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận” sai.

Vậy khẳng định đúng cần tìm là “Phương trình $f(x) = m$ có $3$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m \in (1;2)$ .”
Câu 11: Thông hiểu
Chọn hình vẽ thích hợp
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ với $c > d > 0$ ?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hướng dẫn:
Với $c > d > 0$ thì đồ thị hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ theo thứ tự tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x = d$ và $x = c$

Mặt khác với $x \leq c$ thì $y \leq 0$ nên khi $x \leq c$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm tập hợp các điểm M
Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành?
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Gọi $M\left( a;\frac{a + 2}{a - 1} ight);(a eq 1)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}d(M;Oy) = |a| \\d(M;Ox) = \left| \dfrac{a + 2}{a - 1} ight| \\\end{matrix} ight.$ . Theo bài ra ta có phương trình:

$|a| = 2.\left| \frac{a + 2}{a - 1}ight| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\a = - 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a^{2} - 3a - 4 = 0 \\a^{2} + a + 4 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \Rightarrow M\left( - 1; - \dfrac{1}{2} ight) \\a = 4 \Rightarrow M(4;2) \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho hình vẽ:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 2$
- B.
  $y = - x^{3} + 2x + 2$
- C.
  $y = x^{4} + 2x^{2} - 2$
- D.
  $y = - x^{3} + 2x - 2$
Hướng dẫn:
Nhận thấy dạng đồ thị của hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a eq 0)$

Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên hàm số tương ứng với đồ thị là $y = - x^{3} + 2x - 2$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho hình vẽ sau:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số có dạng $y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $y' > 0;\forall x eq 2$
- B.
  $y' > 0;\forall x eq 1$
- C.
  $y' > 0;\forall x\mathbb{\in R}$
- D.
  $y' < 0;\forall x eq - 1$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 1)$ và $( - 1; + \infty)$ suy ra $y' > 0;\forall x eq 1$ .
Câu 15: Nhận biết
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm nào trong các điểm cho sau đây?
- A.
  $(2; - 1)$
- B.
  $( - 2;3)$
- C.
  $( - 1;2)$
- D.
  $(3; - 2)$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$ và tiệm cận đứng là $x = - 2$

Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $( - 2;3)$ .
Câu 16: Nhận biết
Tìm hàm số tương ứng bảng biến thiên
Chọn hàm số tương ứng với bảng biến thiên sau?
- A.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 1$
- B.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
- C.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Xác định m thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a eq 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(x + m) = m$ có đúng ba nghiệm phân biệt là:
- A.
  $m \in ( - 2;2)$
- B.
  $m \in ( - 2;1)$
- C.
  $m \in ( - 1;1)$
- D.
  $m \in (1;2)$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $f(x + m) = m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f(x)$ sang trái hoặc sang phải theo phương song song với trục hoành $|m|$ đơn vị.

Suy ra phương trình $f(x + m) = m$ có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m \in ( - 2;2)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Xác định số tọa độ nguyên thuộc đồ thị
Đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{3x + 4}$ có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có: $y\mathbb{\in Z\Rightarrow}3y\in\mathbb{ Z }\Rightarrow\frac{6x - 3}{3x + 4} = 2 -\frac{11}{3x + 4}\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow \frac{11}{3x + 4}\mathbb{\in Z \Rightarrow}3x + 4 \in U(11)$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3x + 4 = 1 \\3x + 4 = - 1 \\3x + 4 = 11 \\3x + 4 = - 11 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{7}(L) \\x = - \dfrac{5}{3}(L) \\x = \dfrac{7}{3}(L) \\x = - 5 \Rightarrow y = 1(TM) \\\end{matrix} ight.$

Với đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm có tọa độ nguyên.
Câu 19: Vận dụng cao
Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng
Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:
Bất phương trình $f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m$ (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x \in \left( { - 1;3} ight)$ khi và chỉ khi:
- A. $m > f\left( 0 ight)$
- B. $m \geqslant f\left( 0 ight) - 2$
- C. $m \geqslant f\left( 0 ight)$
- D. $m \leqslant f\left( 2 ight) - 2$
Hướng dẫn:
Đặt $u = \sqrt {x + 1}$
Vì $x \in \left( { - 1;3} ight) \Rightarrow u \in \left( {0;2} ight)$
=> $f\left( u ight) < u + m \Rightarrow f\left( u ight) - u < m$
Xét hàm số $g\left( u ight) = f\left( u ight) - u;{\text{ }}u \in \left( {0;2} ight)$
Ta có: $g'\left( u ight) = f'\left( u ight) - 1$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: $u \in \left[ {0;2} ight]$ thì $f'\left( u ight) < 1;\forall u \in \left[ {0;2} ight]$
=> g(u) nghịch biến trên (0; 2)
Vậy để $f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( { - 1;3} ight)$ thì
$\begin{matrix} f\left( u ight) - u < m;\forall u \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} ight]} g\left( u ight) = g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = x^{4} - 4x^{2} - 2$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = m$ . Tất cả các giá trị của tham số $m$ để $d$ cắt $(C)$ tại bốn điểm phân biệt?
- A.
  $m \in \lbrack 2;6brack$
- B.
  $m \in \lbrack - 6; - 2brack$
- C.
  $m \in (2;6)$
- D.
  $m \in ( - 6; - 2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = 4x^{3} - 8x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4x^{2} - 2$ cắt đường thẳng $d:y = m$ tại $4$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 6 < m < - 2$ .