Luyện tập Phương trình mặt cầu KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ , với $A(6;2; - 5),B( - 4;0;7)$ . Viết phương trình $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A$ ?
- A.
  $(P):5x + y + 6z + 62 = 0$
- B.
  $(P):5x - y - 6z - 62 = 0$
- C.
  $(P):5x + y - 6z + 62 = 0$
- D.
  $(P):5x + y - 6z - 62 = 0$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì mặt cầu $(S)$ có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của $AB$ .

Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; 1; 1).

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$ nên $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{IA} = (5;1; - 6)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $(P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0$

$\Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0$
Câu 2: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$
- A.
  $I( - 4;1;0),R = 2$
- B.
  $I( - 4;1;0),R = 4$
- C.
  $I(4; - 1;0),R = 2$
- D.
  $I(4; - 1;0),R = 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 16$

Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: $I(4; - 1;0),R = 4$
Câu 3: Thông hiểu
Tính tổng tất cả các tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + m + 3 = 0$ , với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi $6\pi$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $T$ bằng:
- A.
  $- 16$
- B.
  $- 20$
- C.
  $4$
- D.
  $24$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

$d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4$

$\Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Câu 4: Vận dụng
Tính bán kính đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm M thuộc mặt cầu $(S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9$ và ba điểm $A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3)$ . Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn $MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8$ là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?
- A.
  $r = \sqrt{2}$
- B.
  $r = 2\sqrt{2}$
- C.
  $r = 7$
- D.
  $r = \sqrt{7}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight.$ khi đó:
$MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8$
$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8$
$\Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0$
$\Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0$
Mà $M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9$
$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0$
Suy ra $M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0$ .
Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)
Ta có: $d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0)$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là:
- A.
  $R = 3$
- B.
  $R = 2$
- C.
  $R = \sqrt{2}$
- D.
  $R = \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Giả sử $M(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là $R = \sqrt{2}$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Xác định số mặt phẳng theo yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 3),B\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; -\frac{1}{2} ight)$ $,C(1;1;4),D(5;3;0)$ . Gọi $\left( S_{1} ight)$ là mặt cầu tâm $A$ bán kính bằng $3,\left( S_{2} ight)$ là mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng $\frac{3}{2}$ . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( S_{1}ight),\left( S_{2} ight)$ đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm $C$ , $D$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  Vô số
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Ta có $\overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{5}{2} ight) \Rightarrow AB =\frac{3\sqrt{3}}{2} < 3$ nên $B$ nằm bên trong mặt cầu $\left( S_{1} ight)$ .
Một mặt phẳng qua $A$ và $B$ cắt hai mặt cầu theo hai đường tròn giao tuyến như hình bên.
Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này sẽ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$ .
Gọi $N,E$ lần lượt là tiếp điểm với hai đường tròn như hình vẽ.
Tam giác $ANM$ đồng dạng tam giác $BEM$ nên $\frac{AM}{BM} = \frac{AN}{BE} = 2$ .
Suy ra $\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{AB} \Rightarrow M(2;1;2)$ .
Gọi $(P)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left( S_{1}ight)$ và $\left( S_{2}ight)$ .
Khi đó $(P)$ sẽ luôn đi qua $M$ .
Gọi $\overrightarrow{n} = (m;n;p)$ với $m^{2} + n^{2} + p^{2} eq 0$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .
Phương trình $(P):m(x - 2) + n(y - 1) +p(z - 2) = 0$ .
Ta có:
$\overrightarrow{CD} = (4;2; -4)$
$CD // (P) \Rightarrow\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$
$\Rightarrow 4m + 2n - 4p = 0 \Rightarrown = 2p - 2m$
$d\left( A,(P) ight) = 3\Leftrightarrow \frac{| - m + n - 5p|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}}} =3$
$\Leftrightarrow | - 3m - 3p| =3\sqrt{m^{2} + (2p - 2m)^{2} + p^{2}}$
$\Leftrightarrow 4m^{2} - 10mp + 4p^{2} =0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m}{p} = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{m}{p} = 2 \\\end{matrix} ight.$
Trường hợp $\frac{m}{p} =\frac{1}{2}$ : chọn $m = 1,p = 2\Rightarrow n = 2$ .
Khi đó $(P):x + 2y + 2z - 8 = 0$ (nhận).
Trường hợp $\frac{m}{p} = 2$ : chọn $m = 2,p = 1 \Rightarrow n = -2$ .
Khi đó $(P):2x - 2y + z - 4 = 0$ (loại vì chứa $C,D$ ).
Câu 7: Thông hiểu
Tìm điều kiện của tham số m
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , giá trị dương của tham số $m$ sao cho mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ là:
- A.
  $m = 5$
- B.
  $m = 3$
- C.
  $m = \sqrt{5}$
- D.
  $m = \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có: $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$

Mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ có tâm $I(3;0;2)$ và bán kính $R = \sqrt{m^{2} + 1}$

Để mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với mặt cầu $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ thì

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$ . Vì m nhận giá trị dương nên $m = \sqrt{3}$ .

Vậy $m = \sqrt{3}$ thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 8: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu (S’)
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(2;0;0),B(0;4;0),$ $C(0;0;6),D(2;4;6)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ . Viết phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Hướng dẫn:
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I(1;2;3)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Câu 9: Thông hiểu
Tính chu vi đường tròn
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
- A.
  $6\pi$
- B.
  $3\pi$
- C.
  $12\pi$
- D.
  $10\pi$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 0)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta có $d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4$

Vì $d(I,(α)) < R$ nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

Lấy $M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)$

Tam giác IHM vuông tại M $\Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$

Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng $2π . HM = 6π$ .
Câu 10: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 4;0)$ có bán kính bằng $3$ . Phương trình của $(S)$ là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 3$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 9$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 3$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 4;0)$ và bán kính bằng $3$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}$

$\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính $R = 2$ ?
- A.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 5 = 0$
- B.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$
- C.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Xét phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2$
Câu 12: Vận dụng
Tính tỉ số thể tích
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 2x + y − 2z + 10 = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ cắt nhau theo giao tuyến đường tròn $(C)$ . Gọi $V_{1}$ là thể tích khối cầu $(S)$ , $V_{2}$ là thể tích khối nón $(N)$ có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu $(S)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , đáy là đường tròn $(C)$ . Biết độ dài đường cao khối nón $(N)$ lớn hơn bán kính của khối cầu $(S)$ . Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ?
- A.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{96}$
- B.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{8}$
- C.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{375}{32}$
- D.
  $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

$d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3$

Bán kính đường tròn $(C)$ là: $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4$

Thể tích khối cầu (S) là: $V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}$

Chiều cao hình nón là $h = R + d = 8$ .

Thể tích khối nón là $V_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}$

Vậy $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}$ .
Câu 13: Vận dụng
Xác định các giá trị của r
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các mặt phẳng $(P): x−y + 2z + 1 = 0$ , $(Q): 2x+y +z −1 = 0$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $(S)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và $(S)$ cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $r$ . Xác định $r$ sao cho chỉ có đúng một mặt cầu $(S)$ thỏa mãn yêu cầu.
- A.
  $r = \sqrt{2}$
- B.
  $r = \sqrt{\frac{3}{2}}$
- C.
  $r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $r = \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Gọi $R, I(m; 0; 0)$ lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu; $d_1, d_2$ lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(P), (Q)$ .

Từ đó ta có: $R^{2} = {d_{1}}^{2} + 4 = {d_{2}}^{2} + r^{2}$ suy ra

$\frac{(m + 1)^{2}}{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} + 4 = \frac{(2m - 1)^{2}}{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + r^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 + 16 = 4m^{2} - 4m + 1 + 6r^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m + \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0\ \ (*)$

Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay $\Delta' = 1^{2} - \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Vậy đáp án cần tìm là: $r = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 14: Nhận biết
Tính đường kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ . Đường kính $(S)$ bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{6}$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng: $2R = 2\sqrt{6}$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Tính khoảng cách lớn nhất
Trong không gian $Oxyz$ , , cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có phương trình lần lượt là $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16$ và $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ . Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\frac{9}{2} - \sqrt{45}$
- B.
  $\frac{8\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$
- C.
  $\sqrt{15}$
- D.
  $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính $R_1 = 4$ .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính $R_2 = 2$ .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

$\frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2$

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

$a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)$

Mặt khác $d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) ta có: $\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra:

$\frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$ .
Câu 16: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $I(1;1;1)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 29$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$
Hướng dẫn:
Ta có: $R = IA = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 18: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0$ . Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $R = 1$
- B.
  $R = 7$
- C.
  $R = \sqrt{151}$
- D.
  $R = \sqrt{99}$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Ta có: $a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49$

Khi đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1$
Câu 19: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;4;2)$ và có thể tích bằng $\frac{256\pi}{3}$ . Khi đó phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
Hướng dẫn:
Thể tích mặt cầu là: $V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ có bán kính $R = 4$ là: $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
Câu 20: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
- D.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
Hướng dẫn:
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$