Trong không gian với hệ tọa độ , cho
. Gọi
là mặt cầu tâm
bán kính bằng
là mặt cầu tâm
bán kính bằng
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu
đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm
,
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có nên
nằm bên trong mặt cầu
.
Một mặt phẳng qua và
cắt hai mặt cầu theo hai đường tròn giao tuyến như hình bên.
Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này sẽ cắt đường thẳng tại
.
Gọi lần lượt là tiếp điểm với hai đường tròn như hình vẽ.
Tam giác đồng dạng tam giác
nên
.
Suy ra .
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu
và
.
Khi đó sẽ luôn đi qua
.
Gọi với
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Phương trình .
Ta có:
Trường hợp : chọn
.
Khi đó (nhận).
Trường hợp : chọn
.
Khi đó (loại vì chứa
).