Luyện tập Tính chất ba đường cao của tam giác Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác vuông ABC có AB; AC là hai đường cao, AD là đường cao thứ ba. Ba đường cao này đồng quy tại A.

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H thì H là trực tâm tam giác ABC.

Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M

Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.

Hình vẽ minh họa

TH 1: tam giác ABC nhọn.

Gọi AH ∩ BC = {M}; BH ∩ AC = {E}

Ta có: (cùng phụ với )

Xét hai tam giác vuông AEH và BEC ta có:

(cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AE = BE ⇒ Tam giác ABE là tam giác vuông cân tại E suy ra

Vậy hoặc

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC cân tại A.

Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến

Áp dụng định lí Py-Ta-Go cho tam giác ABH vuông tại H ta có:

Tam giác ABC có trọng tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách đều ba cạnh trùng nhau thì tam giác này có đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ cùng đỉnh A, B, C trùng nhau. Theo tính chất tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác AKC có CH, KE là hai đường cao

Mà AH cắt kE tại D

Suy ra D là trực tâm của tam giác AKC

Do đó AD vuông góc với CK.

Hình vẽ minh họa

Ta có MN // BC (gt) mà

Xét tam giác CAN có

Suy ra M là trực tâm tam giá CAN

Suy ra AM vuông góc với CN.

Hình vẽ minh họa

Ta có AD = AC ⇒ tam giác ACD cân tại A

Trong tam giác BCD có

⇒ Tam giác BCD vuông tại C.

Vì AN ⊥ CD, BC ⊥ CD ⇒ AN // BC

Vì AM ⊥ BC, BC ⊥ CD ⇒ AM // CD

Ta có:

Vì trong tam giác đều thì ba đường cao bằng nhau. Trực tâm đồng thời là trọng tâm, đồng thời là điểm cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy câu sai là: “O không là trực tâm tam giác ABC”.

Hình vẽ minh hạ

Xét tam giác ABC theo định lí tổng ba góc trong tam giác ta có:

Mà (vì cùng phụ với )

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác MNO có hai đường cao ND và ME cắt nhau tại H thì H là trực tâm tam giác MNO

Vậy OH là đường cao của tam giác MNO.

Theo tính chất 3 đường trung tuyến, ba đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác.

Suy ra đáp án sai là: “Ba đường cao của tam giác không cùng đi qua một điểm”.

Hình vẽ minh họa

Gọi AM, AN là hai đường cao của tam giác ABC

Ta dễ thấy (vì cùng phụ với )

vì phụ với

Mà

Vậy đáp án chưa chính xác là: .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác AHC vuông tại H,

Mà

suy ra tam giác ABC cân tại C, có CD là trung tuyến

Suy ra CD đồng thời là đường phâm giác

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tính chất các đường xuất phát từ đỉnh của tam giác cân và đường trung trực ứng với đáy.

Vậy đáp án cần tìm là: “Đường trung trực ứng với cạnh MN”.

Hình vẽ minh họa

Tam giác nhọn MNP có hai đường cao NE, PF bằng nhau và cắt nhau tại H

Suy ra H là trực tâm suy ra MH vuông góc với BC

Xét tam giác MNE và tam giác MPF có:

NE = PF

Suy ra (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác MNP cân tại M và tam giác MEF cân tại M.

Vậy câu đúng là: “MH vuông góc với BC”.

Tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khi đó AM là đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đường trung trực của BC (theo tính chất tam giác cân)

Vậy câu sai là: “AM là đường cao xuất phát từ M”.