Luyện tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác Cánh Diều

Giao ba đường trung trực của tam giác nhọn nằm trong tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Có AH là đường cao của tam giác ABC suy ra

Có

Xét tam giác AHD, vuông tại H và tam giác AKD vuông tại K có:

; AD là cạnh chung

Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà AK = AH (gt)

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK.

Có (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là phân giác

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà

Hình vẽ minh họa

Có E thuốc đường trung trực của AB (gt)

Suy ra AE = BE (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AEB cân tại E

(tính chất tam giác cân)

Có D thuộc trung trực của AC (gt)

Suy ra FC = FA (tính chất thuộc trung trực)

Suy ra tam giác AFC cân tại F

(tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có

(tổng ba góc trong tam giác)

Mà

Hình vẽ minh họa

Có I thuộc trung trực của AB suy ra IA = IB (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác IAB cân tại I

(tính chất tam giác cân)

Có I thuộc trung trực của AC suy ra IA = IC (tính chất điểm thuộc trung trực)

Suy ra tam giác IAC cân tại I

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Tam giác BAC đều nên AB = BC = CA

Mà AM = BN = CP nên BM = CN = AP

Xét tam giác AMP và tam giác BMN có:

AM = BN

AP = BM

Do đó

Suy ra MP = MN (hai cạnh tương ứng) (1)

Tương tự

Suy ra MP = PN (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy MNP là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Có M thuộc đường trung trực của BC Suy ra BM = CM (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác BMC cân tại M

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

hay BM là phân giác góc .

Giao ba đường trung trực của tam giác tù nằm ngoài tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Giả sử tại M

Giả sử tại M

Có BO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Xét tam giác EBM vuông tại M và tam giác PBM vuông tại M có:

BM cạnh chung

Suy ra BE = BP (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác FCN vuông tại N và tam giác PCN vuông tại N có:

CN chung

Suy ra FC = PC (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Hình vẽ minh họa

Có O thuộc đường trung trực của BE (gt) => OB = OE (tính chất đường trung trực)

Có O thuộc đường trung trực của AC (gt) => OC = OA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

AO = CO

BO = EO

AB = CE

Suy ra

(hai góc tương ứng) (1)

Có OC = OA

Suy ra tam giác AOC cân tại O

(tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra AO là tia phân giác góc .

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực.

Hình vẽ minh họa

Có CD là tia phân giác góc ACB (giả thiết)

Có D thuộc trung trực của đoạn AC suy ra AD = CD (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ADC cân tại D

(tính chất tam giác cân) mà

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà

Giả sử tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC, ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Có AM là đường phân giác của tam giác ABC(gt)

(tính chất phân giác)

Có AM là đường trung trực của BC (tính chất trung trực)

Xét tam giá AMB và tam giác AMC có:

AM chung

(cạnh tương ứng)

cân tại đỉnh A.

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Nhận định đúng: “Điểm O cách đều ba đỉnh của ∆ABC”.

Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC

Mà OD = OB nên OD = OA và OD = OC

Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD

Xét tam giác OAB cân tại O

Xét tam giác OAD cân tại O

Vậy

Suy ra tam giác ABD vuông tại A

Chứng minh tương tự ta có tam giác CBD vuông tại C

Giao ba đường trung trực của tam giác vuông tại A nằm trên trung điểm của cạnh BC.