Luyện tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác Cánh Diều

Một tam giác có ba đường phân giác.

Vì CI, BI là hai đường phân giác tam giác ABC nên:

Xét tam giác ABC có hai đường phân giác BI, CI cắt nhau tại I

Suy ra AI là đường phân giác thứ ba của tam giác ABC.

Do đó

Hình vẽ minh họa

Tam giác MNP có NE, PF là hai đường phân giác

Suy ra

Xét tam giác NHP có (định lí tổng ba góc của tam giác)

Ta có: vì giao của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tia phân giác của một góc tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau.

Hình vẽ minh họa

Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.

Do đó AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Xét tam giác AOK và tam giác AOI có

AO là cạnh chung

(AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC)

Suy ra AK = AI (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta được BK = BH, CI = CH.

Do đó

Ta có:

Kết luận sai là:

Hình vẽ minh họa

Vì I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC

Suy ra AI là đường phân giác của tam giác ABC

Xét tam giác AHB và tam giác AHC có

AH là cạnh chung

(tam giác ABC cân tại A)

Do đó

(các cặp cạnh và cặp góc tương ứng)

Vì suy ra AH là đường phân giác của tam giác ABC

Suy ra AH trùng AI

Mà nên

Vì AH trùng AI nên ba điểm A; H; I thẳng hàng

Suy ra AI trùng IH

Vậy đáp án sai là:

Ta có thể tính được: mà

Hình vẽ minh họa

i)

Xét tam giác OAK và tam giác BAK có:

AK là cạnh chung

(vì KA là đường phân giác của

Do đó

ii)

Tam giác OKB có hai đường phân giác OH, KH cắt nhau tại H.

Suy ra H cách đều OK và OB (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Do đó HA = HI (do )

iii) A là trung điểm của OB.

Ta có:

Suy ra OA = AB (cặp cạnh tương ứng)

Khi đó A là trung điểm của OB.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Trong một tam giác ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm. Và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác DEK và tam giác DFK có:

DE = DF (do tam giá DEF cân tại D)

(do tam giá DEF cân tại D)

(cặp góc tương ứng)

Khi đó DK là đường phân giác thứ ba của tam giác DEF.

Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.

Suy ra DK đi qua giao điểm của hai đường phân giác EM và FN.

Hình vẽ minh họa

Vì I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác MNP

Nên IH = IK và I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP

Do đó MI là đường phân giác của tam giác MNP

Gọi E là giao điểm của MI và NP

Xét tam giác MNE và tam giác MPE có

ME là cạnh chung

MN = MP (do tam giác MNP cân tại M)

(ME là đường phân giác của tam giác MNP)

Do đó

Suy ra E là trung điểm của NP

Khi đó ta có ME là đường trung tuyến của MNP hay MI là đường trung tuyến của MNP.

Xét tam giác MNP có G là trọng tâm suy ra G thuộc MI

Khi đó M, G, I thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc của một tam giác)

Vì AD là phân giác của tam giác ABC nên

Tam giác ABH vuông tại H nên

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc của tam giác)

Ta có I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC

Khi đó I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác có vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

Suy ra tam giác cân tại K

Suy ra là đường phân giác của tam giác

Suy ra là giao của ba đường phân giác trong tam giác .

Suy ra

Xét vuông tại .

Theo định lý Pytago ta có  (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Ta có: vì AF là phân giác của góc .

Giao của ba đường phân giác là điểm cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy khẳng định sai là: “Giao của ba đường phân giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.”