Luyện tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Cánh Diều

Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác MNP nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

hay

Hình vẽ minh họa

Nhận định đúng là: .

Hình vẽ minh họa

có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của .

Do đo .

Khi đó .

Do đó

Hay

Hình vẽ minh họa

Ta có: mà nên và không bằng nhau

Vì là trọng tâm tam giác nên .

Quan sát hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó

Hình vẽ minh họa

Ta có .

Mặt khác BE = BC nên ⇒ (1)

Ta có HA = HD nên EH là đường trung tuyến của ∆ADE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra B là trọng tâm của ADE.

Do đó đường thẳng AB là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác này.

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

Gọi M là trung điểm của BC

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

G là trọng tâm của tam giác ABC nên

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Nên một tam giác chỉ có một trọng tâm.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

Do đó E là trọng tâm tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Kẻ vuông góc với tại suy ra

là tam giác nửa đều

Có .

Có vuông tại có trung tuyến

Suy ra (1) và đều

hay (*)

Vẽ đều ( và khác phía đối với )

hay (*)

Từ (*) và (**) có

Do suy ra vừa là phân giác vừa là trung trực của

Xét và có:

(cmt)

(cmt)

(cmt)

Suy ra (c.g.c) nên (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra vuông cân tại nên

Từ đó

Hình vẽ minh họa

Xét ∆AMB và ∆AMC có

AM là cạnh chung

AB = AC (giả thiết)

MA = MB (M là trung điểm của BC)

=> ∆AMB = ∆AMC

vì nên

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AMB vuông tại M

Vì trọng tâm cách mỗi đỉnh bằng độ dài đường trung tuyến nên đáp án sai là: 

Đường trung tuyến của tam giác là đường nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có

Hình vẽ minh họa

Vẽ vuông góc , vuông góc vuông góc với .

Ta có

(cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra:

suy ra .

Từ đó ta có .

(ch-cgv)

Mà

Do đó:

Mặt khác:

Lấy trừ theo vế ta có:

(đpcm).

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Vì G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Vậy