Bài tập cuối chương 10 Hình học trực quan Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu là 10cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng bao nhiêu?
- A.
  $0,75cm$
- B.
  $0,90cm$
- C.
  $0,92cm$
- D.
  $0,87cm$
Hướng dẫn:
Gọi R là bán kính đáy của cái phễu ta có $\frac{R}{2}$ là bán kính của đáy chứa cột nước.

Ta có thể tích phần nón không chứa nước là

$V = \frac{1}{3}.\pi.R^{2}.20 - \frac{1}{3}.\pi.\left( \frac{R}{2} ight)^{2}.10 = \frac{35\pi R^{2}}{6}$

Khi lật ngược phễu

Gọi h chiều cao của cột nước trong phễu phần thể tích phần nón không chứa nước là:

$V = \frac{1}{3}.\pi.(20 - h)\left\lbrack \frac{R(20 - h)}{20} ightbrack^{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{1200}.\pi.(20 - h)^{3}.R^{2} = \frac{35\pi R^{2}}{6}$

$\Leftrightarrow (20 - h)^{3} = 7000 \Leftrightarrow h \approx 0,87$
Câu 2: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $l = r + h$
- B.
  $h = l$
- C.
  $h^{2} = l^{2} + r^{2}$
- D.
  $h^{2} = l^{2} - r^{2}$
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông có cạnh huyền l, hai cạnh góc vuông lân lượt là h, r ta có:

$h^{2} + r^{2} = l^{2} \Rightarrow h^{2} = l^{2} - r^{2}$

Vậy đáp án đúng là: $h^{2} = l^{2} - r^{2}$ .
Câu 3: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp nhất
Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều kiểu hộp hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt, lon bia, …. Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiết kiệm được nguyên liệu mà thể tích lại lớn nhất
- A.
  Hộp hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy.
- B.
  Hộp hình trụ có đường cao bằng nửa bán kính đáy.
- C.
  Hộp hình trụ có đường cao bằng hai lần đường kính đáy.
- D.
  Hộp hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy.
Hướng dẫn:
Gọi $h;r;S_{tp}$ lần lượt là chiều cao, bán kính đáy và diện tích toàn phần của hình trụ.

Ta có:

$S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = 2\pi.r.h + 2\pi.r^{2}$

$= 2\pi.\left( r.h + r^{2} ight) = 2\pi.\left( \frac{r.h}{2} + \frac{r.h}{2} + r^{2} ight)$

Vì $h > 0;r > 0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số $\frac{r.h}{2};\frac{r.h}{2};r^{2}$ ta có:

$\frac{r.h}{2} + \frac{r.h}{2} + r^{2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{r.h}{2}.\frac{r.h}{2}.r^{2}} = 3\sqrt[3]{\frac{r^{4}.h^{2}}{4}}$

$\Rightarrow S_{tp} \geq 2\pi.3\sqrt[3]{\frac{r^{4}.h^{2}}{4}} = 2\pi.3\sqrt[3]{\frac{\pi^{2}.r^{4}.h^{2}}{4\pi^{2}}} = 2\pi.3\sqrt[3]{\frac{\left( \pi r^{2}h ight)^{2}}{4\pi^{2}}}$

Mà $V = \pi r^{2}h \Rightarrow S_{tp} \geq 6\pi.\sqrt[3]{\frac{V^{2}}{4\pi^{2}}}$

$\Rightarrow \left( S_{tp} ight)^{3}\geq \left( 6\pi.\sqrt[3]{\frac{V^{2}}{4\pi^{2}}} ight)^{3}$ $\Rightarrow \left( S_{tp} ight)^{3} \geq216\pi^{3}.\frac{V^{2}}{4\pi^{2}} = 54\pi V^{2}$

$\Rightarrow V^{2} \leq \frac{\left( S_{tp} ight)^{3}}{54\pi} \Rightarrow V \leq \sqrt{\frac{\left( S_{tp} ight)^{3}}{54\pi}}$

Dấu “= ” xảy ra $\Leftrightarrow r^{2} = \frac{rh}{2} \Leftrightarrow r = \frac{h}{2}$

Vậy thể tích lớn nhất khi $r = \frac{h}{2}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho hình chữ nhật MNPQ có $MN = 16cm,NP = 12cm$ . Khi quay hình chữ nhật đã cho một vòng quanh cạnh MN ta được một hình trụ có diện tích toàn phần bằng (lấy $\pi = 3,14$ )
- A.
  $2110,08\left( cm^{3} ight)$
- B.
  $2659,18\left( cm^{3} ight)$
- C.
  $1659\left( cm^{3} ight)$
- D.
  $1660\left( cm^{3} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có hình vẽ

Hình trụ sinh ra có: chiều cao h = MN = 16 cm; bán kính đáy r = NP = 12 cm.

Diện tích toàn phần của hình trụ trên là:

$S_{tp} = S_{xq} + S_{2d}$

$= 2\pi.12.16 + 2\pi.12^{2} = 672\pi \approx 2110,08\left( cm^{3} ight)$
Câu 5: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Hình cầu tâm I bán kính R có diện tích mặt cầu là S khi đó bán kính R của hình cầu tính theo S là
- A.
  $\sqrt{\frac{4S}{\pi}}$
- B.
  $\frac{S}{4\pi}$
- C.
  $\frac{4S}{\pi}$
- D.
  $\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$
Hướng dẫn:
Hình cầu tâm I bán kính R có diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi R^{2} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
- A.
  $\frac{1}{2}$ .
- B.
  2.
- C.
  $\frac{3}{2}$ .
- D.
  $\frac{2}{3}$ .
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức thể tích hình cầu $V =\frac{4}{3}\pi R^{3}$ và thể tích của khối trụ $V = \pi R^{2}h$ .
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Thể tích hình cầu $V_{c} = \frac{4}{3}\piR^{3}$ ; thể tích khối trụ $V_{t} =\pi R^{2}.2R = 2\pi R^{3}$
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là $\dfrac{V_{c}}{V_{t}} = \dfrac{\dfrac{4}{3}\pi R^{2}}{2\pi R^3} = \dfrac{2}{3}$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Quan sát hình và cho biết bán kính hình cầu là
- A.
  $10cm$
- B.
  $\sqrt{5}cm$
- C.
  $20cm$
- D.
  $5cm$
Hướng dẫn:
Bán kính hình cầu là: $R = \frac{10}{2} = 5(cm)$
Câu 8: Thông hiểu
Xác định thể tích khối trụ
Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy $4\pi a$ , chiều cao $a$ . Thể tích của khối trụ này bằng
- A.
  $V = 4\pi a^{3}$
- B.
  $V = \frac{4}{3}\pia^{3}$
- C.
  $V = 16\pi a^{3}$
- D.
  $V = 2\pi a^3$
Hướng dẫn:
Vì chu vi đường tròn đáy của hình trụ bằng $4\pi a$
$\Rightarrow 2\pi R = 4\pi a \RightarrowR = 2a$
Lại có $h = a$
Nên thể tích của khối trụ là $V = \piR^{2}.a = \pi(2a)^{2}.a = 4\pi a^{3}$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn phương án đúng
Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, biết cạnh $AB = BC = 4,5cm;AD = 7,5cm$ . Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh $AB$ .
- A.
  $18\pi\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $18\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $18\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác vuông ABD ta có:

$BD = \sqrt{AD^{2} - AB^{2}} = \sqrt{7,5^{2} - 4,5^{2}} = 6(cm)$

Kẻ CH ⊥ BD tại H

Khi đó ACHB là hình vuông nên $CH = AB = AC = BH = 4,5cm$

$\Rightarrow HD = 6 - 4,5 = 1,5(cm)$

Xét tam giác vuông CHD ta có:

$CD^{2} = CH^{2} + HD^{2} = 4,5^{2} + 1,5^{2} = 22,5$

$\Rightarrow CD = \frac{3\sqrt{10}}{2}(cm)$

Khi quay hình thang vuông ABDC quanh cạnh AB ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ AC, bán kính đáy lớn BD, đường sinh CD và chiều cao AB.

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là:

$S_{xq} = \pi(R + r).l = \pi(4,5 + 7,5).\frac{3\sqrt{10}}{2} = 18\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Khi quay tam giác vuông $ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight)$ quanh cạnh góc vuông $AB$ thì ta thu được hình nón có đường kính đáy là:
- A.
  $AB$
- B.
  $2AB$
- C.
  $2AC$
- D.
  $AC$
Hướng dẫn:
Khi quay tam giác vuông $ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight)$ quanh cạnh góc vuông $AB$ thì ta thu được hình nón có đường kính đáy là $2AC$ .
Câu 11: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Một trái dưa có dạng hình cầu. Bổ đôi trái dưa này ra thì mặt cắt có diện tích là $314cm^{2}$ . Tính thể tích của trái dưa đó? Lấy $\pi = 3,14$ .
- A.
  $4342cm^{3}$
- B.
  $4483cm^{3}$
- C.
  $4020cm^{3}$
- D.
  $4187cm^{3}$
Hướng dẫn:
Khi bổ đôi trái dưa thì mặt cắt là hình tròn.

Ta có:

$S = \pi R^{2} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{314}{3,14}} = 10(cm)$

Vậy bán kính trái dưa là $10cm$ .

Thể tích trái dưa là:

$V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi.10^{3} \approx 4187\left( cm^{3} ight)$
Câu 12: Nhận biết
Chọn phương án đúng
Cho hình nón có độ dài đường sinh là $5cm$ , bán kính đáy là $3cm$ . Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
- A.
  $15\pi\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $24\pi\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $39\pi\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $48\pi\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Diện tích toàn phần của hình nón là:

$S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = \pi rl + \pi r^{2} = \pi.3.5 + \pi 3^{2} = 24\pi$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình cầu có bán kính bằng 3 cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3 cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.
- A.
  3
- B.
  72
- C.
  $6\sqrt{3}$
- D.
  $6\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có

$4\pi R^2 = \pi Rl + \pi R^2\Leftrightarrow 4 R^{2} = Rl + R^2$

$\Leftrightarrow 3 R^{2} = Rl \Rightarrow l = 3R = 3.3 = 9cm.$

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có:

$h^{2} = l^{2} - R^{2} = 9^{2} - 3^{2} =72 \Rightarrow h = 6\sqrt{2}cm$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB = 12cm$ , đường cao $AH$ . Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ .
- A.
  $16\pi\sqrt{3}$ .
- B.
  $32\pi\sqrt{3}$ .
- C.
  $32\sqrt{3}$ .
- D.
  $8\pi\sqrt{3}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Công thức thể tích hình cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$

Vì $\bigtriangleup ABC$ là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm $O$ của tam giác.

Khi đó bán kính đường trong nội tiếp là $R = OH = \frac{AH}{3}$

Xét tam giác vuông $ABH$ có

$AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = 12^{2} - \left( \frac{12}{2} ight)^{2} = 108$

Suy ra $AH = 6\sqrt{3}$

Suy ra $R = \frac{AH}{3} = 2\sqrt{3}$

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ ta được hình cầu bán
kinh $R = 2\sqrt{3}$

$\Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi R^{3} =\frac{4}{3}\pi(2\sqrt{3})^{3} = 32\pi\sqrt{3}\left( {cm}^{3}ight)$
Câu 15: Thông hiểu
Tính thể tích khối nón
Cho một hình quạt tròn có bán kính $12cm$ và góc ở tâm là $135^{0}$ . Người ta uốn hình quạt thành một hình nón. Tính thể tích của khối nón đó.
- A.
  $\frac{41\sqrt{55}}{8}\left( cm^{3} ight)$
- B.
  $\frac{41\pi\sqrt{55}}{2}\left( cm^{3} ight)$
- C.
  $\frac{41\pi\sqrt{55}}{8}\left( cm^{3} ight)$
- D.
  $\frac{41\pi\sqrt{55}}{4}\left( cm^{3} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta uốn hình quạt BAC thành hình nón đỉnh A, đường sinh AB = 12cm

Khi đó độ dài cung BC chính là chu vi đáy của hình nón

Ta có độ dài cung BC là $l_{BC} = \frac{\pi.12.135^{0}}{180^{0}} = 9\pi$

Khi đó chu vi đáy của hình nón là:

$C = 2\pi R = 9\pi \Rightarrow R = \frac{9}{2}(cm)$

$\Rightarrow h^{2} = l^{2} - R^{2} = 12^{2} - \left( \frac{9}{2} ight)^{2} \Rightarrow h = \frac{3\sqrt{55}}{2}(cm)$

Thể tích khối nón:

$V = \frac{1}{3}\pi.\left( \frac{9}{2} ight)^{2}.\frac{3\sqrt{55}}{2} = \frac{41\pi\sqrt{55}}{8}\left( cm^{3} ight)$
Câu 16: Thông hiểu
Xác định khối lượng thớt gỗ
Thớt là một dụng cụ sử dụng trong bếp của mỗi gia đình để thái, chặt, ... . Một cải thớt hình trụ tròn, có đường kính 20cm, cao 3cm. Cho biết loại gỗ làm thớt có khối lượng 500 kg/m³. Hỏi thớt đó có khối lượng bao nhiêu?
- A.
  $471,24g$
- B.
  $485,64g$
- C.
  $480,05g$
- D.
  $478,63g$
Hướng dẫn:
Ta có: $R = 20:2 = 10cm;h = 3cm$

Thể tích của thớt là:

$V = \pi R^{2}h = \pi.10^{2}.3 \approx 942,48\left( cm^{3} ight)$

Đổi $942,48\left( cm^{3} ight) = 0,00094248\left( m^{3} ight)$

Khối lượng của thớt là:

$0,00094248.500 = 0,47124(kg)$

Vậy thới đó có khối lượng là 471,24 g.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Người ta muốn làm một chiếc mũ cho buổi tiệc sinh nhật bằng giấy màu, hình nón có chiều cao là 30cm, bán kính đường tròn đáy là 10cm. Diện tích phần giấy màu để làm chiếc mũ đó bằng (bỏ qua mép dán):
- A.
  $100\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $100\pi\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $100\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $10\sqrt{10}\pi\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Hình nón có $h = 30cm,R = 10cm$

Độ dài đường sinh của hình nón là: $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = 10\sqrt{10}(cm)$

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S = \pi rl = \pi.10.10\sqrt{10} = 100\pi\sqrt{10}\left( cm^{2} ight)$ .
Câu 18: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Một hình nón có đỉnh là tâm một hình cầu và có đáy là hình tròn tạo bởi một mặt phẳng cắt hình cầu. Biết diện tích đáy hình nón là $144\pi cm^{2}$ và diện tích xung quanh của nó là $180\pi{cm}^{2}$ . Tính thể tích phần không gian bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón.
- A.
  $3680\pi{cm}^{3}$
- B.
  $4068\pi{cm}^{3}$
- C.
  $2280\pi{cm}^{3}$
- D.
  $3648\pi{cm}^{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tính bán kính đáy hình nón là

$\pi \cdot IM^{2} \cdot 144\pi\Leftrightarrow r = IM = 12cm$

Tính đường sinh hình nón là

$S_{xq} = 180\pi \Leftrightarrow \pi\cdot r \cdot l = 180\pi \Leftrightarrow l = OM = 15cm$

Chiều cao hình nón là

$h = OI = \sqrt{OM^{2} - IM^{2}} =\sqrt{l^{2} - r^{2}} = 9cm$

Tính hiệu thể tích giữa hình cầu và hình nón được

$V = V_{\text{cau~}} - V_{\text{nón~}} =\frac{4}{3}\pi \cdot OM^{3} - \frac{1}{3}\pi \cdot IM^{2} \cdot h =4068\pi{cm}^{3}$
Câu 19: Nhận biết
Tính chiều cao hình trụ
Tính chiều cao của hình trụ có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh và bán kính đáy là 5cm.
- A.
  3cm
- B.
  7cm
- C.
  9cm
- D.
  5cm
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:
$S_{tp} = 2S_{xq}$
$\Leftrightarrow S_{xq} + S_{2d} =2S_{xq}$
$\Leftrightarrow S_{2d} = S_{xq}\Leftrightarrow 2\pi R^{2} = 2\pi.R.h$
$\Leftrightarrow h = R =5(cm)$
Vậy chiều cao của hình trụ là 5 cm.
Câu 20: Nhận biết
Chọn công thức thích hợp
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình trụ (T). Diện tích toàn phần của hình trụ (T) là
- A.
  $S_{tp} = 2\pi.r.l + 2\pi.r^{2}$
- B.
  $S_{tp} = \pi.r.l +\pi.r^{2}$
- C.
  $S_{tp} = \pi.r.h + \pi.r^{2}$
- D.
  $S_{tp} = \pi.r.l + 2\pi.r^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

Diện tích xung quanh = Chu vi đáy . chiều cao

Chu vi đáy $C= 2πr$

Chiều cao hình trụ = độ dài đường sinh suy ra h = l

Suy ra diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq} = 2\pi.r.l$ .

Diện tích 2 đáy của hình trụ là $S_{2d} = 2\pi r^{2}$

Vậy diện tích toàn phần hình trụ là: $S_{tp} = 2\pi.r.l + 2\pi.r^{2}$ .