Luyện tập Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Gọi O là giao điểm hai đường chéo

Do đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật mà tam giác ABC vuông tại A

Suy ra AB là đường kính đường tròn hay tâm đường tròn là điểm O trung điểm của AB.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng

Hình vẽ minh họa

Vì CD là trung trực của OA nên

Mà (bán kính đường tròn)

Suy ra

Vậy tứ giác OCAD là hình thoi.

Vì thì dây AB là đường kính, còn thì dây AB không là đường kính.

Vậy đáp án chính xác là .

Vì hai dây đều đi qua tâm nên là đường kính

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Vì I; J lần lượt là trung điểm của AD và BC nên

Hay  (vì ABCD là hình vuông)

Suy ra

Mặt khác

Vậy hai đường tròn và là tiếp xúc ngoài với nhau.

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường kính AD

Vì tam giác ABD và tam giác ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên

Mà

Suy ra là hình bình hành

Mặt khác

Xét tam giác AHD có và K là trung điểm của HD

Do đó OK là đường trung bình của tam giác AHD

Vậy

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Nếu hai đường tròn và không giao nhau thì .

Hình vẽ minh họa

Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có AH là đường trung trực của BC nên AH đi qua O và tam giác AOC đều

Do đó

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường trung trực của AB cắt AB tại M, cắt AC tại K và cắt BD tại I

Điểm I và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD

Do đó

Chứng minh được

Chứng minh được

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có cân tại O và OK là đường trung tuyến

Suy ra

Xét tam giác OKA vuông tại K ta có:

Vậy bán kính của đường tròn là .

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Kí hiệu hình vẽ:

Ta có: Tam giác OAB cân tại O

Xét tam giác OAM vuông tại M ta có:

Do đó

Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Áp dụng định lí Pythagore cho vuông tại có:

Ta có:

Suy ra hai đường tròn ở vị trí ngoài nhau.

Hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung trong thì vị trí tương đối của chúng là ngoài nhau.

Gọi O là trung điểm của BC. Do tam giác ABC vuông tại A nên OA = OB = OC

Hay O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh A; B; C của tam giác ABC.

Khi đó bán kính của đường tròn là

Xét tam giác OAG và tam giác O’AD ta có:

(đối đỉnh)

Mà (tam giác OGA cân tại O) và (tam giác O’DA cân tại O’)

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH là đường trung trực của đoạn BC

Qua trung điểm M của AB kẻ đường trung trực của AB cắt AH tại O. Khi đó tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Bán kính đường tròn (O) là R = OA = OB

Tam giác OBH vuông tại H ta có:

Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác ABC bằng 6,5cm.