Luyện tập Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Các tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $M$ . Biết $3\widehat{BAC} = \widehat{BMC}$ . Tính $\widehat{BAC}$
- A.
  $120^{\circ}$ .
- B.
  $72^{\circ}$ .
- C.
  $60^{\circ}$ .
- D.
  $36^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét $(O)$ có $BMC = \frac{1}{2}(sdBmC - sdBnC)$ (góc có đinh bên ngoài đường tròn) và $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}sd\overset{⏜}{BnC}$ .

Mà $\widehat{3BAC} = \widehat{BMC}$ nên $\frac{1}{2}(sd\widehat{BmC} - sd\widehat{BnC}) = \frac{3}{2}sd\overset{⏜}{BnC}$

$\Rightarrow sd\overset{⏜}{BnC} = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$ do đó $\widehat{BAC} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $K$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và $O$ là trung điểm của $IK$ . Tâm của đường tròn đi qua 4 điểm $B,I,C,K$ là:
- A.
  Điểm K
- B.
  Trung điểm BK
- C.
  Trung điểm AK
- D.
  Điểm O
Hướng dẫn:
Xác định điểm cách đều 4 điểm đó là tâm đường tròn.

Vì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $IC$ là phân giác trong của góc $C$ .

Vì $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ của góc $A$ nên $CK$ là phân giác ngoài của góc $C$ .

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có $IC$ vuông $CK$ nên $\widehat{ICK} = 90^{\circ}$ .

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: $\widehat{IBK} = 90^{\circ}$ .

Xét 2 tam giác vuông $ICK;IBK:OI = OK = OB = OC = \frac{IK}{2}$ .

Vậy 4 điểm $B,I,C,K$ nằm trên đường tròn $\left( O;\frac{IK}{2} ight)$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ có $\widehat{B} = 60^{\circ}$ , trung tuyến $AM$ , đường cao $CH$ . Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup BHM$ .
Kết luận nào đúng khi nói về các cung $HB,MB,MH$ của đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup BHM$ ?
- A.
  Cung $MB$ nhỏ nhất.
- B.
  Cung $HB$ nhỏ nhất.
- C.
  Cung $MH$ nhỏ nhất.
- D.
  Ba cung bằng nhau.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau thì hai cdaay bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng $HB,MB,MH$ .

Xét $\bigtriangleup BCH$ vuông tại $H$ có $cosB = \frac{HB}{BC} \Leftrightarrow \frac{HB}{BC} = cos60^{\circ} = \frac{1}{2} \Rightarrow HB = \frac{BC}{2} = BM = CM$ .

Xét $\bigtriangleup HBM$ có $BM = BH$ (chứng minh trên) và $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$ nên $\bigtriangleup HBM$ là tam giác đều.

$\Rightarrow BM = BH = HM$ .

Do đó các cung $HB,MB,MH$ bằng nhau.
Câu 4: Nhận biết
Chọn câu đúng
Chọn câu đúng. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
- A.
  Bằng nửa cạnh góc vuông lớn hơn.
- B.
  Bằng 4cm.
- C.
  Bằng cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông.
- D.
  Bằng nửa cạnh huyền.
Hướng dẫn:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Câu 5: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là
- A.
  $2,5cm$
- B.
  $5cm$
- C.
  $25cm$
- D.
  $10cm$
Hướng dẫn:
Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là: 5: 2 = 2,5cm.
Câu 6: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $K$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và $O$ là trung điểm của $IK$ . Tính bán kính đường tròn tâm $O$ đi qua bốn điểm $B,I,C,K$ biết $AB = AC = 20cm;BC = 24cm$ .
- A.
  $18cm$
- B.
  $15cm$
- C.
  $9cm$
- D.
  $12cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác $CIK$ vuông nên $\widehat{CKI} + \widehat{CIO} = 90^{\circ}$ ,

lại có $\widehat{CIK} + \widehat{ICH} = 90^{\circ}$ mà $CI$ là phân giác $\widehat{ACB}$ Nên $\widehat{ACI} = \widehat{CKO}$ .

Có tam giác $COK$ cân tại $O$ nên $\widehat{ACI} = \widehat{OCK}( = \widehat{CKO})$

Nên $\widehat{ACI} + \widehat{ICO} = \widehat{OCK} + \widehat{ICO} = 90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ACO} = 90^{\circ} \Rightarrow OC\bot AC$ .

Ta có $HB = HC(AK$ là trung trực của $BC) \Rightarrow HB = \frac{BC}{2} = 12$

Theo Pytago ta có $AH = \sqrt{AC^{2} - HC^{2}} = 16$

Lại có $\bigtriangleup ACH \backsim \bigtriangleup COH$ (hai tam giác vuông có $\widehat{COH} = \widehat{ACH}$ vì cùng phụ với $\widehat{HCO}$ )

$\Rightarrow \frac{AH}{AC} = \frac{HC}{CO} \Rightarrow CO = \frac{AC \cdot HC}{AH} = 15$ (cm)
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$ . Tính số đo cung $AC$ lớn.
- A.
  $240^{\circ}$ .
- B.
  $210^{\circ}$ .
- C.
  $120^{\circ}$ .
- D.
  $360^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét $\bigtriangleup BCH$ vuông tại $H$ có $HM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM = BM = CM = \frac{BC}{2}$

Vì tam giác $ABC$ đều có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $O$ cũng là giao của ba đường phân giác

nên $AO$ ; $CO$ lần lượt là các đường phân giác $\widehat{BAC},\widehat{ACB}$

Ta có: $\widehat{CAO} = \frac{1}{2}\widehat{BAC} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ};\widehat{ACO} = \frac{1}{2}\widehat{ACB} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

Xét tam giác AOC có $\widehat{AOC} = 180^{0} - \widehat{CAO} - \widehat{ACO} = 120^{0}$

Nên số đo cung nhỏ AC là 120⁰.
Câu 8: Thông hiểu
Tính số đo góc
Cho (O; 4) có dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (điểm C và A nằm cùng phía với BO). Tính số đo góc ACB?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $15^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) nên số đo cung AC = 90^ο

Vì BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp (O) nên số đo cung BC = 120^ο

Từ đó suy ra số đo cung AB là: $120^{00} - 90^{0} = 30^{0}$

Vì $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB nên $\widehat{ACB} = \frac{30^{0}}{2} = 15^{0}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Số đường tròn nội tiếp một tam giác đều là:
- A.
  3.
- B.
  0.
- C.
  2.
- D.
  1.
Hướng dẫn:
Bất kì tam giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là:
- A.
  Giao ba đường trung tuyến.
- B.
  Giao ba đường trung trực.
- C.
  Giao ba đường phân giác trong của tam giác.
- D.
  Giao của 1 đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác.
Hướng dẫn:
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao của 1 đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác.
Câu 11: Nhận biết
Chọn câu đúng
Số đường tròn nội tiếp của tam giác là:
- A.
  0.
- B.
  3.
- C.
  1.
- D.
  2.
Hướng dẫn:
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác các góc của tam giác.

Vì vậy mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn nội tiếp.
Câu 12: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Từ một điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $(O)$ ta vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(B$ $C$ là các tiếp điểm). Trên $AO$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = AB$ . Các tia $BM$ và $CM$ lần lự̛̣ợt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là $D$ và $E$ . Chọn câu đúng.
- A.
  $DE$ là đường kính của đường tròn $(O)$ .
- B.
  $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$ .
- C.
  $M$ là tâm đường tròn nôi tiếp tam giác $OBC$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác $ABM$ có $AB = AM$ nên $\bigtriangleup ABM$ cân tại $A \Rightarrow \widehat{ABM} = \widehat{AMB}$

Ta có: $OA\bot BC;OB\bot AB$ nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{ABM} + \widehat{MBO} = 90^{\circ} \\ \widehat{AMB} + \widehat{MBC} = 90^{\circ} \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1) và $(2) \Rightarrow \widehat{MBO} = \widehat{MBC}$ .

Tương tự $\widehat{BCM} = \widehat{OCM}$ .

Điểm $M$ là giao điểm hai đường phân giác của tam giác $OBC$ nên $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OBC$ .

Vì tam giác $BOD$ cân tại $O \Rightarrow \widehat{MBO} = \widehat{MDO}$ mà $M\widehat{BO} = \widehat{MBC}$ nên $\widehat{MBC} = \widehat{MDO}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $OD//BC$ và $D,O,E$ thẳng hàng.

Vậy $DE$ là đường kính của đường tròn $(O)$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn
- A.
  Tiếp xúc với tất cả các cạnh của tam giác đó.
- B.
  Đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó.
- C.
  Cắt tất cả các cạnh của tam giác đó.
- D.
  Đi qua tâm của tam giác đó.
Hướng dẫn:
Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Câu 14: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 15 cm. Tính diện tích tam giác ABC?
- A.
  $25\sqrt{3}$
- B.
  $18\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{15\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{27\sqrt{3}}{4}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều ABC.

Do đó $OA = \frac{BC}{\sqrt{3}} \Rightarrow BC = 3\sqrt{3}(cm)$

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC

AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên $AH = \frac{3}{2}OA = \frac{9}{2}(cm)$

Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}.\frac{9}{2}.3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{4}\left( cm^{2} ight)$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, đường cao $AH$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$ đườn kính $AM$ . Góc $\widehat{OAC}$ bằng góc nào sau đây:
- A.
  $\widehat{BAH}$ .
- B.
  $\widehat{OCM}$ .
- C.
  $\widehat{ACM}$ .
- D.
  $\widehat{ABH}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trên đường tròn $(O)$ ta có: $\widehat{ABC} = \widehat{AMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{⏜}{AC}$ )

Lại có:

$\widehat{ACM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ACM} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{AMC} + \widehat{MAC} = 90^{\circ}$

$AH$ là đường cao của tam giác $ABC \Rightarrow \widehat{AHB} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{ABC} + \widehat{BAH} = 90^{\circ}$

Từ $(1),(2)$ và $(3) \Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{MAC}$ hay $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ .
Câu 16: Nhận biết
Tính bán kính đường tròn
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $AB = 15cm;AC = 20cm$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- A.
  $R = 25$
- B.
  $R = 20$
- C.
  $R = 15$
- D.
  $R = \frac{25}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền BC, bán kính là $R = \frac{BC}{2}$ .

Theo định lý Pytago ta có: $BC = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = 25$ nên bán kính $R = \frac{25}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Chọn hình thích hợp
Trong các hình dưới đây ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hướng dẫn:
Hình là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 18: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC có các đường cao BD; CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
- A. Tâm là trung điểm AB và bán kính là $R = \frac{AB}{2}$ .
- B. Tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính $R = \frac{2}{3}AI$ với I là trung điểm của BC.
- C. Tâm là giao điểm của BD và EC, bán kính là $R = \frac{BD}{2}$ .
- D. Tâm là trung điểm BC và bán kính là $R = \frac{BC}{2}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của BC. Xét tam giác BEC vuông tại E có $EI = IB = IC = \frac{BC}{1}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác BDC vuông tại D có $DI = IB = IC = \frac{BC}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có $ID = IE = IB = IC = \frac{BC}{2}$ nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính $R = \frac{BC}{2}$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn hình vẽ thích hợp
Trong các hình dưới đây ở hình nào ta có đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hướng dẫn:
Hình là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 20: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Một khu dân cư được bao quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là $900m,1200m;1500m$ . Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?
- A.
  $450m$
- B.
  $300m$
- C.
  $150m$
- D.
  $500m$
Hướng dẫn:
Để khách sạn cách đều cả ba con đường thì cần phải được xây vào đúng vị trí tâm nội tiếp I của tam giác ABC. Khi đó cho chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC; CA; AB của các tam giác IBC; ICA; IAC đều bằng bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

$S_{ABC} = S_{IAB} + S_{IAC} + S_{IBC}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}r.(AB + AC + BC) = \frac{r.C}{2}$

$\Rightarrow r = \frac{2S_{ABC}}{C} = 300m$

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường là 300 m.