Luyện tập Hình cầu Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính chiều cao hình nón
Một hình nón có bán kính đáy bằng $3$ cm và có diện tích xung quanh bằng diện tích của mặt cầu có bán kính $3$ cm. Tính chiều cao của hình nón.
- A.
  $3\sqrt{15}(cm)$
- B.
  $10cm$
- C.
  $15cm$
- D.
  $5\sqrt{5}cm$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón $S_{xq} = \pi rl = 3\pi l$ .

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S_{c} = 4\pi R^{2} = 36\pi$ .

Từ giả thuyết $S_{xq} = S_{c}$ ta được $3 \pi l = 36 \pi$

$\Rightarrow l = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{15}$ cm.
Câu 2: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có cạnh góc vuông bằng $a$ . Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$
- A.
  $\frac{a^{2}}{2}$ .
- B.
  $2\pi a^{2}$ .
- C.
  $\frac{\pi a^{2}}{2}$ .
- D.
  $\frac{\pi a}{2}$ .
Hướng dẫn:
Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^{2}$ .

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính $BC$ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = \frac{BC}{2}$

Theo định lý Pytago ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 2a^{2} \Rightarrow BC = a\sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ một vòng quay quanh cạnh $BC$ ta được hình cầu có bán kính $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên diện tích mặt cầu là: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2} = 2\pi a^{2}$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Một tháp nước có bể chứa là một hình cầu, bán kính phía trong đo được 6m. Người ta dự tính lượng nước đựng đầy trong tháp đó đủ dùng cho một khu dân cư trong một ngày. Cho biết khu dân cư đó có 6520 người. Hỏi người ta đã dự tính mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước trong một ngày? (Lấy π ≈ 3,14).
- A.
  139 lít.
- B.
  138 lít.
- C.
  140 lít.
- D.
  141 lít.
Hướng dẫn:
Thể tích bể chứa $V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}.3,14.6^{3} \approx 904,32\left( m^{3} ight)$ hay hay V = 904320 lít

Lượng nước chứa đầy bể khoảng 904320 lít.

Lượng nước bình quân mỗi người dùng trong một ngày là:

$904320:6520 \approx 139(l)$
Câu 4: Thông hiểu
Tính diện tích mặt cầu
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 4cm;AD = 3cm$ . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD,N$ là trung điểm $BC$ .
- A.
  25.
- B.
  $25\pi$ .
- C.
  $\frac{25 \pi}{4}$ .
- D.
  $\frac{25\pi}{8}$ .
Hướng dẫn:
Công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^3$

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật nên $OA = OB = OC$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ . Khi đó bán kính đường tròn là: $R = OA = \frac{AC}{2}$ .

Theo định lý Pytago ta có:

$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \Rightarrow AC = 5$

(Vì $AB = DC = 4cm)$ $\Rightarrow R = \frac{5}{2}$ .

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD,N$ là trung điểm $BC$ ta được một hình cầu tâm $O$ bán kính $R = \frac{5}{2}$ .

Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi R^{2} = 4\pi\left( \frac{5}{2} ight)^{2} = 25\pi({cm}^{2})$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
- A.
  2
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^{2}$

Diện tích xung quanh của hình trụ $S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^{2}$ .

Tir số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là:

$\frac{S}{S_{xq}} = \frac{4\pi R^{2}}{4\pi R^{2}} = 1$ .
Câu 6: Nhận biết
Tính thể tích hình cầu
Tính diện tích mặt cầu của quả địa cầu trong hình vẽ sau, biết đường kính quả địa cầu R = 15 cm (quả địa cầu có dạng một hình cầu).
- A.
  $1687\pi cm^{3}$
- B.
  $4500\pi cm^{3}$
- C.
  $1125\pi cm^{3}$
- D.
  $4500cm^{3}$
Hướng dẫn:
Quả địa cầu coi là một hình cầu tâm O bán kính R có thể tích là:

$V = \frac{4}{3}\pi R^{3} \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi.15^{3} = 4500\pi\left( cm^{3} ight)$

Vậy thể tích quả địa cầu là $4500\pi cm^{3}$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Quan sát hình và cho biết bán kính hình cầu là
- A.
  $10cm$
- B.
  $5cm$
- C.
  $20cm$
- D.
  $\sqrt{5}cm$
Hướng dẫn:
Bán kính hình cầu là: $R = \frac{10}{2} = 5(cm)$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình trụ như hình vẽ (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng $\frac{2}{3}$ thể tích hình trụ.

Nếu đường kính của hình cầu là $d$ thì thể tích của hình trụ là
- A.
  $\frac{3}{4}\pi d^{3}$
- B.
  $\frac{1}{3}\pi d^{3}$
- C.
  $\frac{1}{4}\pi d^{3}$
- D.
  $\frac{2}{3}\pi d^{3}$
Hướng dẫn:
Ta có $V_{hinhcau} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{1}{6}\pi d^{3}$ .

Mà $V_{hinhcau} = \frac{2}{3}V_{hinhtru}$ $\Rightarrow V_{hinhtru} = \frac{1}{4}\pi d^{3}$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Hình cầu tâm I bán kính R có diện tích mặt cầu là S khi đó bán kính R của hình cầu tính theo S là
- A.
  $\frac{S}{4\pi}$
- B.
  $\frac{4S}{\pi}$
- C.
  $\sqrt{\frac{4S}{\pi}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$
Hướng dẫn:
Hình cầu tâm I bán kính R có diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi R^{2} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Khi cắt hình cầu tâm O bán kính R bởi một mặt phẳng bất kỳ thì mặt cắt thu được luôn là một
- A.
  hình tròn.
- B.
  đường tròn.
- C.
  hình chữ nhật.
- D.
  hình vuông.
Hướng dẫn:
Khi cắt hình cầu tâm O bán kính R bởi một mặt phẳng bất kỳ thì mặt cắt thu được luôn là một hình tròn.
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình lập phương.
- A.
  $\frac{6}{\pi}$ .
- B.
  $\frac{1}{3}$ .
- C.
  $\frac{1}{6}$ .
- D.
  $\frac{\pi}{6}$ .
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^{2}$ và diện tích toàn phần của hình lập phương $S_{lp} = 6a^{2}$ với $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương.

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu $R = \frac{a}{2}$ với $a$ là cạnh hình lập phương.

Khi đó ta có diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^2= 4 \pi \cdot \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2} = \pi a^2$

Diện tích toàn phần của hình lập phương $S_{tp} = 6a^{2}$ .

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình lập phương là $\frac{S}{S_{tp}} = \frac{\pi a^{2}}{6a^{2}} = \frac{\pi}{6}$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu
Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $12$
- D.
  $9$
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:

$V = S_{xq} \Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi R^{3} = 4\pi R^{2}$

$\Leftrightarrow R^{3} = 3R^{2} \Leftrightarrow R = 3$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình cầu có bán kính bằng 3 cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3 cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.
- A.
  72
- B.
  $6\sqrt{2}$
- C.
  $6\sqrt{3}$
- D.
  3
Hướng dẫn:
Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có

$4\pi R^2 = \pi Rl + \pi R^2\Leftrightarrow 4 R^{2} = Rl + R^2$

$\Leftrightarrow 3 R^{2} = Rl \Rightarrow l = 3R = 3.3 = 9cm.$

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có:

$h^{2} = l^{2} - R^{2} = 9^{2} - 3^{2} =72 \Rightarrow h = 6\sqrt{2}cm$ .
Câu 14: Vận dụng
Chọn phương án đúng
Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB = 8cm$ , đường cao $AH$ . Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{3}\pi a^{2}}{72}$ .
- B.
  $\frac{\pi a^{3}}{72}$ .
- C.
  $\frac{\pi a^{3}}{54}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{54}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Công thức thể tích hình cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$

Vì $\bigtriangleup ABC$ là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm $O$ của tam giác.

Khi đó bán kính đường trong nội tiếp là $R = OH = \frac{AH}{3}$

Xét tam giác vuông $ABH$ có

$AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} ight)^{3} = \frac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{54}.$
Câu 15: Nhận biết
Xác định công thức thích hợp
Công thức tính diện tích mặt cầu có tâm I bán kính R là
- A.
  $2\pi R^{2}$
- B.
  $4\pi R^{2}$
- C.
  $2\pi R^{3}$
- D.
  $\pi R^{2}$
Hướng dẫn:
Công thức tính diện tích mặt cầu có tâm I bán kính R là $4\pi R^{2}$ .
Câu 16: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính $r = 12$ cm như hình vẽ.

Tính:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.

Đáp án: 288 $\pi\left( cm^{2} ight)$

b) Thể tích của hình cầu.

Đáp án: 2304 $\pi\left( cm^{2} ight)$

c) Diện tích mặt cầu.

Đáp án: 576 $\pi\left( cm^{2} ight)$

Đáp án là:

Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính $r = 12$ cm như hình vẽ.

Tính:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.

Đáp án: 288 $\pi\left( cm^{2} ight)$

b) Thể tích của hình cầu.

Đáp án: 2304 $\pi\left( cm^{2} ight)$

c) Diện tích mặt cầu.

Đáp án: 576 $\pi\left( cm^{2} ight)$

a) Nhận thấy: $r_{t} = \frac{r}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ cm, với $h = 2r_{t} = 12\sqrt{2}$ cm $\Rightarrow S_{xq} = 2\pi rh = 288\pi$ cm².

b) Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$ $\Rightarrow$ $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 12^{3} = 2304\pi$ cm³.

c) Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^{2}$ $\Rightarrow$ $S= 4\pi . 12^{2} = 576\pi$ cm $\ ^{2}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Chiều cao của một hình trụ gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là
- A.
  $\frac{4}{9}$ .
- B.
  $\frac{9}{4}$ .
- C.
  $\frac{3}{1}$ .
- D.
  $\frac{4}{3}$ .
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính thể tích cho hình trụ $V = \pi r^{2}h$ và thể tích hình cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$ .

$\dfrac{V_{t}}{V_{c}} = \dfrac{\pi r^{2}h}{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}} = \dfrac{\pi r^{2} \cdot 3r}{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}} = \dfrac{9}{4}.$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình cầu có bán kính bằng 5 cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 5 cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.
- A.
  $10\sqrt{2}$
- B.
  20
- C.
  $2\sqrt{10}$
- D.
  10
Hướng dẫn:
Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính của hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có

$4\pi R^{2} = \pi Rl + \pi R^2\Leftrightarrow 4R^2 = Rl + R^2$

$\Leftrightarrow 3R^{2} = Rl \Rightarrow l = 3R = 3.5 = 15\text{\ }cm$

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có:

$h^{2} = l^{2} - R^{2} = 15^{2} - 5^{2} = 200$

$\Rightarrow h = 10\sqrt{2}\text{\ }cm$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Thể tích của một hình cầu là $\frac{4312}{3}$ cm³. Thì bán kính của hình cầu là bao nhiêu? (Lấy $\pi =\frac{22}{7}$ ).
- A.
  $9$ cm.
- B.
  $10$ cm.
- C.
  $7$ cm.
- D.
  $8$ cm.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu và biến đổi ta được

$V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4312}{3}$

$\Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4312 \cdot 3}{3 \cdot 4\pi}}$

$\Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4312}{4\cdot \dfrac{22}{7}}} = 7$ cm.
Câu 20: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Diện tích của một mặt cầu là $2464$ m² thì đường kính của mặt cầu là bao nhiêu? (Lấy $\pi =\frac{22}{7}$ ).
- A.
  $38$ mét.
- B.
  $28$ mét.
- C.
  $30$ mét.
- D.
  $28$ cm.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu và biến đổi ta được
$S = \pi d^{2} = 2464$
$\Rightarrow d = \sqrt{\frac{2464}{\pi}}\Rightarrow d = \sqrt{\dfrac{2464}{\dfrac{22}{7}}} = 28$ mét.