Luyện tập Tiếp tuyến của đường tròn Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng
Lấy điểm $A;B;C$ thuộc đường tròn $(O;R)$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Chọn phát biểu đúng?
- A.
  Tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại $A$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $AC$ .
- B.
  Tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại $A$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .
- C.
  Tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại $A$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ .
- D.
  Tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại $A$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của BC

Tam giác ABC cân tại A nên $A;O;H$ thẳng hàng

Do đó $AH\bot BC$ tại H.

Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A ta có: $AH\bot d$

Do đó tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A là đường thẳng qua A và song song với BC.
Câu 2: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn AC
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AC (với C là tiếp điểm) (như hình vẽ)

Giá trị của AC gần nhất với giá trị nào sau đây, biết $AB = 6m$ ?
- A.
  $9km$
- B.
  $77km$
- C.
  $28km$
- D.
  $6km$
Hướng dẫn:
Đổi $AB = 0,006km$

Do AC là tiếp tuyến đường tròn (O) tại C nên $AC\bot OC$ tại C

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAC vuông tại C ta có:

$AC^{2} = OA^{2} - OC^{2} \Rightarrow AC \approx 8,8m = km$

Vậy độ dài AC gần nhất với giá trị 9km.
Câu 3: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn OA
Cho đường tròn $(O;2cm)$ . Qua một điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$ . Biết rằng $AB = 2cm$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $OA$ là:
- A.
  $4\sqrt{2}cm$
- B.
  $2\sqrt{2}cm$
- C.
  $4cm$
- D.
  $8cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng AB là tiếp tuyến của (O; 2cm) tại B

$\Rightarrow AB\bot OB$ tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

$AB^{2} + OB^{2} = OA^{2}$ (Pythagore)

$\Rightarrow OA^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8 \Rightarrow OA = 2\sqrt{2}(cm)$
Câu 4: Vận dụng
Tìm quỹ tích điểm M
Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$ chạy trên đường tròn đó. Kẻ đường thẳng $xy$ vuông góc với $OA$ . Trên $xy$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = R\sqrt{3}$ . Điểm $M$ di động trên đường nào?
- A.
  Đường tròn tâm O bán kính $4R$
- B.
  Đường tròn tâm O bán kính $3R$
- C.
  Đường tròn tâm O bán kính $R$
- D.
  Đường tròn tâm O bán kính $2R$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $OA\bot xy$

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

$OM^{2} = OA^{2} + AM^{2} = 4R^{2}$

$\Rightarrow OM = 2R$

Suy ra khi A chạy trên đường tròn $(O;R)$ thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.
Câu 5: Nhận biết
Tìm phát biểu đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi chúng có điểm chung.
- B.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi $a$ vuông góc với bán kính $OP$ tại $P$ và $OP > R$ .
- C.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi $a$ vuông góc với bán kính $OP$ tại $P$ và $OP < R$ .
- D.
  Đường thẳng $a$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ khi $a$ vuông góc với bán kính $OP$ tại $P$ và $P \in (O;R)$ .
Hướng dẫn:
Theo định lí về dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn ta có: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.”

Do đó: đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) khi a vuông góc với bán kính OP tại P và $P \in (O;R)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm độ dài đoạn thẳng AB
Cho đường tròn $(O;6cm)$ và một điểm $A$ cách tâm $O$ một khoảng bằng $10cm$ . Kẻ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn ( $B$ là tiếp điểm). Xác định độ dài đoạn thẳng $AB$ ?
- A.
  $11cm$
- B.
  $12cm$
- C.
  $16cm$
- D.
  $8cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có: AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) $\Rightarrow AB\bot OB$ nên tam giác $OAB$ vuông tại $B$ .

Áp dụng định lí Pythagote cho tam giác OAB vuông tại B ta có:

$AB^{2} = OA^{2} - OB^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$

$\Rightarrow AB = 8(cm)$

Vậy độ dài đoạn $AB = 8cm$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hình vuông $ABCD$ có $O$ là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Các đoạn $AC;BD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .
- B.
  Các đoạn $AB;BC;CD;DA$ không phải là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .
- C.
  Các đoạn $AB;BC;CD;DA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .
- D.
  Các đoạn $AB;BC;CD;CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Do đó (O) tiếp xúc với các cạnh của hình vuông.

Hay các đoạn $AB;BC;CD;DA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .
Câu 8: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi trung điểm $AH;BC$ lần lượt là $I;M$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $ME$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
- B.
  $BE$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
- C.
  $CE$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
- D.
  $DE$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHF$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Các đường cao $AD;BE;CF$ và tam giác ABC cắt nhau tại H

$\Rightarrow \Delta EAH;\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta AFH$ vuông tại $F$ , $\Delta BHC$ vuông tại $D$ .

Tam giác AEH vuông tại E => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH (1)

Tam giác AFH vuông tại F => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFH (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm A; E; F; H cùng thuộc đường tròn tâm I

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF

$\Rightarrow IE = IH \Rightarrow \widehat{IEH} = \widehat{IHE}$

Mà $\widehat{IHE} = \widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{IEH} = \widehat{BHD}$

Tam giác BEC vuông tại E => M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC

$\Rightarrow ME = MB \Rightarrow \widehat{MEB} = \widehat{MBE}$

Tam giác BHD vuông tại D $\Rightarrow \widehat{DBH} + \widehat{DHB} = 90^{0}$ hay $\widehat{MBE} + \widehat{BHD} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{MEB} + \widehat{IEH} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{MEI} = 90^{0}$

$\Rightarrow ME\bot IE$ mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF.
Câu 9: Nhận biết
Xác định kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6;AC = 8;BC = 10$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C;6)$ .
- B.
  $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B;8)$
- C.
  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C;10)$
- D.
  $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B;6)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác $ABC$ có $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .

Do đó $AC$ là tiếp tuyến của $(B;AB)$ hay $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B;6)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính số đo góc ABO
Cho đường tròn $(O)$ , hai tiếp tuyến của đường tròn tại $A;B$ cắt nhau tại $M$ . Biết $\widehat{AMB} = 50^{0}$ . Tính số đo góc $\widehat{ABO}$ ?
- A.
  $25^{0}$
- B.
  $130^{0}$
- C.
  $50^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Xét tứ giác AMBO có:

$\widehat{AOB} = 360^{0} - 2.90^{0} - 50^{0} = 130^{0}$

Tam giác OAB cân tại O có $\widehat{AOB} = 130^{0}$ nên

$\widehat{ABO} = \frac{180^{0} -130^{0}}{2} = 25^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3cm;AC = 4cm;BC = 5cm$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A;4cm)$
- B.
  $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A;2,4cm)$
- C.
  $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B;3cm)$
- D.
  $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C;3cm)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được $\Delta ADB\sim\Delta CAB(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AD.BC = AB.AC$

$\Rightarrow AD.5 = 3.4 \Rightarrow AD = \frac{12}{5}$

Xét $(A;2,4cm)$ có $R = 2,4$

Vì $AD\bot BC$ tại D nên khoảng cách từ A đến BC là $d = AD = 2,4cm$

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn $(A;2,4cm)$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};AB = 3;BC = 5$ . Vẽ đường tròn tâm $(C;4)$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  $AB$ cắt với $(C;4)$ .
- B.
  $AC$ tiếp xúc với $(C;4)$ .
- C.
  $BC$ tiếp xúc với $(C;4)$ .
- D.
  $AB$ tiếp xúc với $(C;4)$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại A ta có:

$AC^{2} = BC^{2} - AB^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$

$\Rightarrow AC = 4$

$\Rightarrow A \in (C;4)$ . Mà $AB\bot AC$

Suy ra $AB$ tiếp xúc với $(C;4)$ tại $A$ .

Vậy khẳng định đúng là: “ $AB$ tiếp xúc với $(C;4)$ ”.
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Cho tam giác $ABC$ có $AH$ là đường cao, $(H \in BC)$ . Đường tròn $(A;AH)$ sẽ có vị trí như thế nào với các cạnh của tam giác $ABC$ ?
- A.
  Đường tròn $(A;AH)$ tiếp xúc với các cạnh $AB;AC$ và cắt cạnh $BC$ .
- B.
  Đường tròn $(A;AH)$ tiếp xúc với các cạnh $BC;AC$ và không cắt cạnh $AB$ .
- C.
  Đường tròn $(A;AH)$ cắt các cạnh $AB;AC$ và tiếp xúc với cạnh $BC$ .
- D.
  Đường tròn $(A;AH)$ tiếp xúc với các cạnh $BC;AC$ và cắt cạnh $AB$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác $ABC$ có $AH\bot CB$

Do đó đường tròn $(A;AH)$ tiếp xúc với $BC$

Tam giác $ABH$ vuông tại $H \Rightarrow AB > AH$ . Do đó đường tròn $(A;AH)$ cắt cạnh $AB$

Tam giác $ACH$ vuông tại $H \Rightarrow AC > AH$ . Do đó đường tròn $(A;AH)$ cắt cạnh $AC$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn MA
Cho đường tròn $(O;12cm)$ . Lấy một điểm $M$ cách $O$ một khoảng bằng $20cm$ . Kẻ tiếp tuyến $MA$ của đường tròn $(O;12cm)$ với $A$ là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn $MA$ ?
- A.
  $13cm$
- B.
  $16cm$
- C.
  $14cm$
- D.
  $15cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

MA là tiếp tuyến của đường tròn $(O;12cm)$ tại A

$\Rightarrow MA\bot AO$ tại A

Do đó tam giác MAO vuông tại A.

Theo định lí Pythagore cho tam giác OAM vuông tại A ta có:

$MA^{2} + OA^{2} = OM^{2} \Rightarrow MA = \sqrt{OM^{2} - OA^{2}}$

$\Rightarrow MA = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} \Rightarrow MA = 16(cm)$
Câu 15: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn OC
Cho đường tròn $(O;15cm)$ và một dây $AB$ không đi qua tâm. Vẽ đường thẳng $a$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$ . Qua $O$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt đường thẳng $a$ tại $C$ và cắt $AB$ tại $D$ . Biết rằng $AB = 24cm$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OC$ ?
- A.
  $OC = 18cm$
- B.
  $OC = 32cm$
- C.
  $OC = 15cm$
- D.
  $OC = 25cm$
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$ nên $OA\bot AC$

Mặt khác $CO\bot AD$ nên $AD = BD = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12(cm)$

Xét tam giác AOD vuông tại D và đường cao AD ta có:

$AD^{2} + DO^{2} = AO^{2} \Rightarrow 12^{2} + DO^{2} = 15^{2}$

$\Rightarrow DO^{2} = 81 \Rightarrow DO = 9(cm)$

Chứng minh được $\Delta AOD\sim\Delta COA(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OA} \Rightarrow OA^{2} = OD.OC$

$\Rightarrow OC = \frac{15^{2}}{9} = 25(cm)$

Vậy $OC = 25cm$
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho đường tròn $(O;7cm)$ , đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;7cm)$ . Khi đó:
- A.
  khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ lớn hơn $7cm$ .
- B.
  khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ nhỏ hơn $7cm$ .
- C.
  khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ không lớn hơn $7cm$ .
- D.
  khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ bằng $7cm$ .
Hướng dẫn:
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn $(O;7cm)$ do đó khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng bán kính bằng 7cm.
Câu 17: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác MON
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $AB = \frac{6R}{5}$ . Vẽ một tiếp tuyến của $(O;R)$ tại $K$ song song với $AB$ , tiếp tuyến cắt các tia $OA;OB$ lần lượt tại $M;N$ . Diện tích tam giác $MON$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{3R^{2}}{2}$
- B.
  $\frac{2R^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{4R^{2}}{3}$
- D.
  $\frac{3R^{2}}{4}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là giao điểm của AB và OK.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB//MN \\ OK\bot MN \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot AB$ tại H và do đó H là trung điểm của AB.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OHB vuông tại H ta có:

$OH = \sqrt{OB^{2} - BH^{2}} \Rightarrow OH = \sqrt{OB^{2} - AH^{2}}$

$\Rightarrow OH = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{6R}{5} ight)^{2}} = \frac{4R}{5}$

Ta có:

$\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{OH}{OK} =\dfrac{\dfrac{4R}{5}}{R} = \dfrac{4}{5}$

$\Rightarrow MN = \dfrac{AB}{\dfrac{4}{5}}= \dfrac{\dfrac{6R}{5}}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{3R}{2}$

$\Rightarrow S_{OMN} = \frac{1}{2}OK.MN = \frac{1}{2}R.\frac{3R}{2} = \frac{3R^{2}}{4}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  Nếu một đường thẳng vuông góc với đường kính của đường tròn thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
- B.
  Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
- C.
  Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm bất kì thuộc đường tròn thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
- D.
  Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến đường tròn.
Hướng dẫn:
Theo định lí về dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn ta có: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.”
Câu 19: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Đường thẳng $m$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại $H$ khi
- A.
  $H \in (O;R)$
- B.
  $m\bot OH$
- C.
  $m\bot OH$ tại $H$ và $OH = R$
- D.
  $m//OH$
Hướng dẫn:
Theo định lí về dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn ta có: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.”

Do đó: Đường thẳng $m$ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ tại $H$ khi $m\bot OH$ tại $H$ và $OH = R$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Tính độ dài OH
Tam giác $DEF$ cân tại $D$ , đường cao $DK;EH$ cắt nhau tại $O$ . Đường tròn $(O;OH)$ cắt $DK$ tại $P;Q$ . Biết rằng $DE = DF = \sqrt{3}$ và $DP = QK$ . Tính độ dài $OH$ ?
- A.
  $OH = \frac{\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $OH = \frac{\sqrt{6}}{6}$
- C.
  $OH = \frac{\sqrt{6}}{3}$
- D.
  $OH = \sqrt{6}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $DP = QK$ và $OP = OQ$ (bằng bán kính đường tròn $(O))$ nên $DO = OK$ .

Ta có $\tan^{2}E = \tan E.tanF = \frac{DK^{2}}{EK \cdot FK}$ .

Xét $\bigtriangleup EKO$ và $\bigtriangleup DHF$ có

$\widehat{EKO} = \widehat{DKF} =90^{\circ}$ .

$\widehat{OEK} = \widehat{KDF}$ (cùng phụ với $\widehat{F})$ .

$\Rightarrow \bigtriangleup EKO \sim \bigtriangleup DKF$ (góc - góc)

$\Rightarrow \frac{EK}{DK} = \frac{OK}{KF} \Rightarrow KE.KF = KO.KD = \frac{1}{2}KD^{2} \Rightarrow \frac{DK^{2}}{DE \cdot DF} = 2$

Do đó $\tan^{2}E = 2$ .

Áp dụng công thức $1 + \tan^{2}E = \frac{1}{\cos^{2}E}$ ta được $\cos^{2}E = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos E =\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Mà $\cos E = \frac{EK}{DE}$ nên $\frac{EK}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ hay $EK = 1$ .

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được

$DO = \frac{DK}{2} = \frac{\sqrt{DE^{2} - EK^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Lại có $\cos e = \cos F = \frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin\widehat{KDF} = \sin\widehat{HDO} =\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Từ đó tính được $OH = DO.\sin\widehat{HDO} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .