Lớp 9 Toán 9 - Cánh diều

Luyện tập Định lí Viète

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Gọi x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình x^{2} - mx + m - 1 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 ight)}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = (m - 2)^{2} \geq 0;\forall m

    Theo định lí Viète ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó:

    T = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 ight)}

    = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{2} + 2}

    = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} + 2}

    = \frac{2(m - 1) + 3}{m^{2} + 2} = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2}

    T = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{4m + 2}{2\left( m^{2} + 2 ight)}

    = \frac{\left( m^{2} + 4m + 4 ight) - \left( m^{2} + 2 ight)}{2\left( m^{2} + 2 ight)}

    = \frac{(m + 2)^{2}}{2\left( m^{2} + 2 ight)} - \frac{1}{2} \geq - \frac{1}{2}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là T_{\min} = - \frac{1}{2}.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm phương trình bậc hai

    Cho hai số có tổng là S và tích là P với S2 ≥ 4P. Khi đó hai số đó là nghiệm của phương trình nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X^2−SX+P=0

    Điều kiện: S^2 ≥ 4P

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Giá trị nào của m để phương trình x^{2} - 2(m - 3)x + 8 - 4m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm thì

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P > 0 \\ S < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 8m + 4 > 0 \\ 2(m - 3) > 0 \\ 8 - 4m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 2 \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: m < 2;m eq 1.

  • Câu 4: Nhận biết
    Lập phương trình

    Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số 3 và 7 ta được kết quả là:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = 3 + 7 = 10

    Tích hai nghiệm là: P = 3.7 = 21

    Nên cặp số 3 và 7 là nghiệm của phương trình: x^{2} - 10x + 21 = 0

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham số m

    Cho phương trình x^{2} - 5x + m = 0 với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = 25 - 4m

    Để phương trình đã cho có nghiệm khi \Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{25}{4}(*)

    Theo hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 5\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt khác \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3\ \ \ \ (3)

    Từ (1) và (3) suy ra

    \left| x_{1} - 5 + x_{1} ight| = 3

    \Leftrightarrow \left| 2x_{1} - 5 ight| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x_{1} - 5 = 3 \\ 2x_{1} - 5 = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \Rightarrow x_{2} = 1 \\ x_{1} = 1 \Rightarrow x_{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \ \ \ (4)

    Từ (2) và (4) suy ra m = 4

    Thử lại thì thỏa mãn. Vậy với m = 4 thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Cho phương trình x^{2} - mx + m - 1 = 0 với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình luôn có hai nghiệm x_{1};x_{2} phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng \frac{1}{\sqrt{5}}?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình x^{2} - mx + m - 1 = 0 có a = 1;b = - m;c = m - 1.

    Vì a + b + c = 0 khi đó phương trình có hai nghiệm x_{1} = 1;x_{2} = m - 1

    Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi m - 1 eq 1 \Leftrightarrow m eq 2

    Do x_{1};x_{2} là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên \left\{ \begin{matrix} 1 > 0 \\ m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > 1

    Theo đề bài ra ta có:

    \frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = 5 \Leftrightarrow {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 5{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}

    \Leftrightarrow 1^{2} + (m - 1)^{2} = 5.1^{2}.(m - 1)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = \dfrac{3}{2}(tm) \\m = \dfrac{1}{2}(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có duy nhất một giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình 3x^{2} + 5x - 6 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là các nghiệm của phương trình trên. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm a_{1} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}};a_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = 5^{2} + 4.3.6 = 97 > 0

    Vậy phương trình luôn có nghiệm.

    Theo hệ thức Viète ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{3} \\ x_{1}.x_{2} = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó:

    a_{1} + a_{2} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}} + x_{2} + \frac{1}{x_{1}} = \left( x_{1} + x_{2} ight) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = - \frac{5}{6}

    a_{1}.a_{2} = \left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}} ight).\left( x_{2} + \frac{1}{x_{1}} ight) = 2 + x_{1}x_{2} + \frac{1}{x_{1}x_{2}} = - \frac{1}{2}

    Vậy phương trình cần tìm là: a^{2} + \frac{5}{6}a - \frac{1}{2} = 0 hay 6a^{2} + 5a - 3 = 0.

  • Câu 8: Nhận biết
    Ghi đáp án vào ô trống

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 4321x - \left( m^{6} + 3 ight) = 0 với m là tham số. Giá trị của biểu thức 2\left( x_{1} + x_{2} ight) =8642

    Đáp án là:

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 4321x - \left( m^{6} + 3 ight) = 0 với m là tham số. Giá trị của biểu thức 2\left( x_{1} + x_{2} ight) =8642

    Ta có: a.c = - \left( m^{6} + 3 ight) < 0;\forall m\mathbb{\in R} nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Viète ta có: x_{1} + x_{2} = 4321 \Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 2.4321 = 8642

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính tổng giá trị các tham số m

    Tổng tất cả các giá trị tham số m để phương trình x^{2} - 3x + m^{2} - 3m + 4 = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} sao cho x_{1} = 2x_{2} bằng:

    Hướng dẫn:

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

    9 - 4\left( m^{2} - 3m + 4 ight) > 0 \Leftrightarrow - 4m^{2} + 12m - 7 > 0(*)

    Từ định lí Viète ta có: x_{1} + x_{2} = 3

    Vì phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2} sao cho x_{1} = 2x_{2} nên suy ra

    x_{1} + x_{2} = 3 \Leftrightarrow 3x_{2} = 3 \Leftrightarrow x_{2} = 1

    Thay x_{2} = 1 vào phương trình ta được: 1 - 3 + m^{2} - 3m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m_{1} = 1 \\ m_{2} = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Kiểm tra với điều kiện (*) thấy các giá trị của m đều thỏa mãn.

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn bằng 3.

  • Câu 10: Vận dụng
    Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = x^{2} và đường thẳng (d):y = (m - 1)x + 1 với m là tham số. Gọi x_{1},x_{2} là các hoành độ giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị tham số m sao cho {x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

    x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)

    Do \Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

    Suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

    Ta có:

    {x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3 \Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)

    Theo hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \\ \end{matrix} ight. thay vào (**) ta được:

    - 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn kết quả chính xác

    Cho phương trình 2x^{2} - mx + 5 = 0 với m là tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Vì x = 2 là nghiệm của phương trình nên thay x = 2 vào phương trình ta được:

    8 - 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{2}

    Heo hệ thức Viète ta có: x_{1}x_{2} = \frac{5}{2} mà x_{1} = 2 suy ra {x_2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Xác định nghiệm của phương trình

    Cho phương trình x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0 với m là tham số. Gọi x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình. Giá trị của tham số m để biểu thức A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} ight)^{3} đạt giá trị lớn nhất là:

    Hướng dẫn:

    Xét a.c= - m^{2} + m - 2 = - \left( m -\frac{1}{2} ight)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in\mathbb{R}

    Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

    Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x_{1},x_{2}.

    Lại có x_{1}x_{2} eq 0, do đó A được xác định với mọi x_{1},x_{2}.

    Do x_{1},x_{2} trái dấu nên \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} < 0, suy ra A < 0

    Đặt \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - t, với t > 0, suy ra \left( \frac{x_{2}}{x_{1}} ight)^{3} = - \frac{1}{t}.

    Khi đó A = - t - \frac{1}{t} mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi - A có giá trị nhỏ nhất.

    Ta có - A = t + \frac{1}{t} \geq 2, suy ra A \leq - 2.

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1.

    Với t = 1, ta có
    \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} ight)^{3} = - 1\Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1 \Leftrightarrow x_{1} = -x_{2}\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - (m - 1) = 0\Leftrightarrow m = 1.

    Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là -2 .

  • Câu 13: Nhận biết
    Xác định nghiệm của phương trình

    Biết rằng phương trình mx^{2} + (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 với m là tham số luôn có nghiệm x_{1};x_{2} với \forall m eq 0. Khi đó các nghiệm x_{1};x_{2} của phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Với \forall m eq 0 phương trình mx^{2} + (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 có \left\{ \begin{matrix} a = m \\ b = 3m - 1 \\ c = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vì a - b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a} = \frac{1 - 2m}{m}.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho phương trinh x^{2} - 5x + 3 = 0. Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình đã cho. Em hãy xác định giá trị của biểu thức C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: C = \frac{5}{3}

  • Câu 15: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a + b + c = 0. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x_{1} = 1 và nghiệm còn lại là x_{2} = \frac{c}{a}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm tham số m

    Cho phương trình x^{2} - 6x + 2m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương?

    Hướng dẫn:

    Để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương thì

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P > 0 \\ S > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 32 - 8m > 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ 6 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 4

    Vậy đáp án cần tìm là: - \frac{1}{2} < m < 4.

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Phương trình nào dưới đây có nghiệm 4 và m - 1?

    Hướng dẫn:

    Vì phương trình có hai nghiệm 4 và m - 1 nên \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 3 \\ x_{1}.x_{2} = 4(m - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Chỉ có phương trình x^{2} - (m + 3)x + 4(m - 1) = 0 thỏa mãn.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Có bao nhiêu cặp số (x;y) thỏa mãn x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8

    Ta có: (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 20 + 2.8 = 36

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 6 \\ x + y = - 6 \\ \end{matrix} ight.

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = 6^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} - 6X + 8 = 0

    \Delta' = ( - 3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{1} = 4;X_{2} = \frac{3 - \sqrt{1}}{1} = 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ \end{matrix} ight. (*)

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = - 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = ( - 6)^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} + 6X + 8 = 0

    \Delta' = (3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{1} = - 2;X_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{1} = - 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.(**)

    Từ (*) và (**) suy ra (x;y) \in \left\{ (4;2),(2;4),( - 2; - 4),( - 4; - 2) ight\}

    Vậy có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 19: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Biết phương trình x^{2} - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm và một trong số đó bằng 1. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Theo định lí Viète ta có: x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 3 mà một nghiệm x_{1} = 1 \Rightarrow x_{2} = 3 - 1 = 2

    Vậy nghiệm còn lại của phương trình bằng 2.

0/19
19 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (37%):
    2/3
  • Thông hiểu (37%):
    2/3
  • Vận dụng (11%):
    2/3
  • Vận dụng cao (16%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 4 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9 CD

Đăng nhập