Bài tập cuối chương 8 Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK.
Cho các khẳng định sau:
1. Các điểm M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn.
2. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
3. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)
Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2).
Từ (1) và (2) suy ra M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng.
Gọi MO ∩ EF = {H}.
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O).
⇒ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)
⇒ MO là đường trung trực của EF ⇒ MO ⊥ EF
⇒∠IFE + ∠OIF = 90°
Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O.
⇒∠OIF = ∠OFI mà ∠MFI + ∠OFI = 90°; ∠IFE +∠OIF = 90°
⇒∠MFI = ∠IFE ⇒ FI là phân giác của ∠MFE (1)
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O)
⇒ MI là phân giác của ∠EMF (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Câu 2: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC vuông tại A và B điểm nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là F và G. Khi đó, kết luận không đúng là:
- A.
  Tứ giác AFBC không là tứ giác nội tiếp.
- B.
  ∆ABC ∽ ∆EBD.
- C.
  Tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.
- D.
  Các đường thẳng AC; DE và BF đồng quy.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Xét đường tròn đường kính $BD$ có góc $BED$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \widehat{BED} =90^{\circ}$ .
Xét $\bigtriangleup ABC$ và $\bigtriangleup BED$ ta có: $\widehat{DBE}$ chung và $\widehat{DEC} + \widehat{DAC} = 90^{\circ} +90^{\circ} = 180^{\circ}$
Xét tứ giác $ADEC$ có: $\widehat{DEC} + \widehat{DAC} = 90^{\circ} +90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ADEC$ là tứ giác nội tiếp (dhnb)
Chứng minh tương tự ta được tứ giác $AFBC$ là tứ giác nội tiếp
Gọi giao điểm của $BF$ và $AC$ là $H$ .
Xét tam giác $BHC$ có hai đường cao $CF$ và $BA$ cắt nhau tại $D \Rightarrow D$ là trực tâm của tam giác $BHC$
Mà $DE\bot AB \Rightarrow DE$ là đường cao của tam giác $BHC$ hay $H,E,D$ thẳng hàng.
$\Rightarrow DE, AC$ và $BF$ đồng quy tại $H$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. trên cung nhỏ AC lấy điểm E kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chọn câu đúng?
- A.
  AHCK không nội tiếp đường tròn.
- B.
  AHCK là tứ giác nội tiếp.
- C.
  $\widehat{EAO} =\widehat{HCK}$
- D.
  $AH.AB = AD.BD$
Hướng dẫn:
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Có $\widehat{AHC} = 90^{0}$ (CD vuông góc AB); $\widehat{AKC} =90^{0}$ (AK vuông góc CF) • • 0
⇒ $\widehat{AHC} + \widehat{AKC} =180^{0}$ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp
⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.
⇒ $\widehat{EAO} + \widehat{HCK} =180^{0}$ (hai góc đối diện)
⇒ phương án $\widehat{EAO} =\widehat{HCK}$ sai.
Xét tam giác vuông ADB có $AH.AB =AD^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án $AH.AB = AD.BD$ sai
Câu 4: Nhận biết
Chọn câu đúng
Mỗi một tam giác có bao nhiêu đường tròn bàng tiếp?
- A.
  3.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
Câu 5: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính a. Biết rằng AC ⊥ BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì
- A.
  AC = BD
- B.
  Không có đáp án đúng.
- C.
  DB = AB
- D.
  AC = AB
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có $\widehat{EAC} = 90^{0};\widehat{EDC} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

$AB^{2} + CD^{2} = DE^{2} + DC^{2} = EC^{2} = (2a)^{2} = 4a^{2}$ (do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho $\left( AB^{2};CD^{2} ight)$ ta có:

$AB^{2} + CD^{2} \geq 2AB.CD$

$2\left( AB^{2} + CD^{2} ight) \geq AB^{2} + CD^{2} + 2AB.CD = (AB + CD)^{2}$

Kéo theo $(AB + CD)^{2} \leq 2.\left( 4a^{2} ight) = 8a^{2} \Rightarrow AB + CD \leq 2\sqrt{2}a$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ (góc nội tiếp cùng chắn AD)

$\widehat{BAC} = \widehat{CDB}$ (góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.
Câu 6: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Một khu dân cư được bao quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là $900m,1200m;1500m$ . Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?
- A.
  $150m$
- B.
  $450m$
- C.
  $500m$
- D.
  $300m$
Hướng dẫn:
Để khách sạn cách đều cả ba con đường thì cần phải được xây vào đúng vị trí tâm nội tiếp I của tam giác ABC. Khi đó cho chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC; CA; AB của các tam giác IBC; ICA; IAC đều bằng bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

$S_{ABC} = S_{IAB} + S_{IAC} + S_{IBC}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}r.(AB + AC + BC) = \frac{r.C}{2}$

$\Rightarrow r = \frac{2S_{ABC}}{C} = 300m$

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường là 300 m.
Câu 7: Nhận biết
Chọn câu sai
Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chọn câu sai.
- A.
  $\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^{0}$
- B.
  $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{0}$
- C.
  $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$
- D.
  $\widehat{ADB} = \widehat{DAC}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:

$\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^{0}$ (tổng hai góc đối)

$\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{0}$ (tổng 4 góc trong tứ giác).

Vậy câu sai là: $\widehat{ADB} = \widehat{DAC}$
Câu 8: Vận dụng

Chọn đáp án thích hợp

Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều có cạnh bằng 60 m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa 50 m, hỏi rằng có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không? Có||Không

Đáp án là:

Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều có cạnh bằng 60 m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa 50 m, hỏi rằng có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không? Có||Không

Hình vẽ minh họa
Để vị trí của bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng thì bộ phát sóng wifi đặt ở tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác khu vui chơi đó Xét khu vui chơi hình tam giác đều là tam giác ABC có cạnh 60m.
Xét đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác ABC đó. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường trung trực, vừa là đường trung tuyến của tam giác.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là $OA= \frac{BC\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}(m)$
Vì $20\sqrt{3} < 50$ nên bộ phát sóng đó đặt ở tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì cả khu vui chơi đều có thể bắt sóng được.
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), BD là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ . Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường tròn (O₁) đường kính DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD cắt AC tại N thì:
- A.
  AN = 2NC
- B.
  AD = DN
- C.
  AN = NC
- D.
  2AN = NC
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ . Do $E$ là điểm chính giữa cung $AC$ nên $EM\bot AC$ .

Do đó $EM$ đi qua tâm của đường tròn $(O)$ .

Giả sử rằng $\widehat{DFE} = 90^{\circ}$ , nên $\widehat{GFE} = 90^{\circ}$ , hay $GE$ là đường kính của $(O)$ .

Suy ra $G,M,E$ thẳng hàng.

Vì vậy $\widehat{GBE} = 90^{\circ}$ , mà $\widehat{GMD} = 90^{\circ}$ .

Kéo theo tứ giác $BDMG$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $GD$ .

Vì vậy $\widehat{MBD} = \widehat{DGM} = \widehat{FGE}(1)$ (cùng chắn cung $DM$ )

Lại có tứ giác $BFEG$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{FBE} = \widehat{FGE}(2)$ (cùng chắn cung $FE$ ).

Từ (1) và $(2)$ ta suy ra $\widehat{MBD} = \widehat{FBE}$ . Do đó $BF$ và $BM$ đối xứng nhau qua $BD$ .

Vì vậy $M \equiv N$ hay $N$ là trung điểm của $AC$ nên $AN = NC$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; 2cm)?
- A.
  $6cm^{2}$
- B.
  $6\sqrt{3}cm^{2}$
- C.
  $3cm^{2}$
- D.
  $3\sqrt{3}cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp (O;2cm)

Khi đó O là trọng tâm tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên AO = 2cm.

Gọi AH là đường trung tuyến $\frac{2}{3}AH = AO = 2cm$

$\Rightarrow AH = 3cm$

Theo định lý Pytago ta có $AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = \frac{3a^{2}}{4} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Từ đó ta có $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 3 \Rightarrow a = 2\sqrt{3}(cm)$

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.3.2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\left( cm^{2} ight)$
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn, biết $\widehat{C} = 60^{0};\widehat{D} = 80^{0}$ . Khi đó:
- A.
  $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} =100^{0}$
- B.
  $\widehat{A} = 60^{0};\widehat{B} =80^{0}$
- C.
  $\widehat{A} = 120^{0};\widehat{B} =100^{0}$
- D.
  $\widehat{A} = 120^{0};\widehat{B} =130^{0}$
Hướng dẫn:
Vì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn nên:

$\left. \ \begin{matrix} \widehat{C} + \widehat{A} = 180^{0} \\ \widehat{D} + \widehat{B} = 180^{0} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \widehat{A} = 120^{0};\widehat{B} = 100^{0}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn hình vẽ thích hợp
Trong các hình dưới đây ở hình nào ta có đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hướng dẫn:
Hình là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 13: Nhận biết
Xác định số tứ giác nội tiếp đường tròn
Cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Gọi giao điểm của cạnh BE và CD tại E, giao điểm tia AH và BC tại F. Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có trong hình vẽ?
- A.
  4
- B.
  8
- C.
  7
- D.
  6
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Các tứ giác nội tiếp là $BDEC,ADHE,BDFH,FHEC$

Vậy có 4 tứ giác nội tiếp đường tròn cần tìm.
Câu 14: Thông hiểu
Chọn câu sai
Chọn câu sai:
- A.
  Hai đường tròn tiếp xúc nhau, điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm
- B.
  Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung
- C.
  Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực
- D.
  Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn
Hướng dẫn:
Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (đúng)

Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm (đúng)

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với CE tại D và cắt tia CA tại H. Biết $\widehat{BCA} = 30^{0}$ . Số đo $\widehat{ADH}$ là:
- A.
  $150^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác ACBD ta có: $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$ và cùng nhìn đoạn BC.

$\Rightarrow$ Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).

$\Rightarrow \widehat{BDA} + \widehat{BCA} = 180^{\circ}$

$\Leftrightarrow \widehat{BDA} = 180^{\circ} - \widehat{BCA} = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Có góc $\widehat{HDA}$ và $\widehat{BDA}$ kề bù nên $\widehat{HDA} = 180^{\circ} - \widehat{BDA} = 30^{\circ}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M, N sao cho $\widehat{MAN} = 45^{0}$ . Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM, AN tương ứng tại các điểm P, Q.

I. Tứ giác ABMQ nội tiếp;

II tứ giác ADNP nội tiếp.

Chọn kết luận đúng.
- A.
  Chỉ II đúng.
- B.
  Cả I và II đều đúng.
- C.
  Chỉ I đúng.
- D.
  Cả I và II đều sai.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét hình vuông $ABCD$ có $\widehat{DBC} = \widehat{BDC} = 45^{\circ}$ (tính chất)

Xét tứ giác $ABMQ$ có $\widehat{QAM} = \widehat{QBM} = 45^{\circ}$ mà hai đỉnh $A$ và $B$ cùng nhìn đoạn thẳng $MQ$ nên $ABMQ$ là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác $APND$ có $\widehat{PAN} = \widehat{PDN} = 45^{\circ}$ mà hai đỉnh $A$ và D cùng nhìn đoạn thẳng $PN$ nên $APND$ là tứ giác nội tiếp.
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là:
- A.
  Giao ba đường cao.
- B.
  Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn.
- C.
  Trung điểm cạnh huyền.
- D.
  Giao ba đường trung tuyến.
Hướng dẫn:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án sai
Chọn khẳng định sai trong các phát biểu sau?
- A.
  Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
- B.
  Tứ giác có bốn đỉnh thuộc đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- C.
  Mỗi hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
- D.
  Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hướng dẫn:
Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.
Câu 19: Thông hiểu
Tính diện tích phần đất trồng hoa
Một mảnh vườn có dạng tam giác đều ABC cạnh 18 cm. Người ta muốn trồng hoa ở phần đất bên trong đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính diện tích phần đất trồng hoa đó.?
- A.
  $75,72\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $87,78\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $78,03\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $80,54\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều cạnh 18cm có bán kính đường tròn nội tiếp là $\frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}(cm)$

Diện tích phần đất trồng hoa là $3\sqrt{3}.3\sqrt{3}.3,14 = 87,78\left( cm^{2} ight)$
Câu 20: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là
- A.
  $2,5cm$
- B.
  $25cm$
- C.
  $10cm$
- D.
  $5cm$
Hướng dẫn:
Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là: 5: 2 = 2,5cm.