Luyện tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng
Cho đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ . Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có hai một điểm chung khi $d = 1$ .
- B.
  Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có hai điểm chung khi $d \leq 1$ .
- C.
  Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có nhiều hơn một điểm chung khi $d < 1$ .
- D.
  Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có một điểm chung khi $d \geq 1$ .
Hướng dẫn:
Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có một điểm chung $\Rightarrow d = R \Leftrightarrow d = 1$

Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có hai điểm chung $\Rightarrow d < R \Leftrightarrow d < 1$

Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có hai một điểm chung $\Rightarrow d > R \Leftrightarrow d > 1$

=> Đường tròn $(O;1)$ và đường thẳng $a$ có nhiều hơn một điểm chung khi $d < 1$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A;D$ có $AB = 4;BC = 13;CD = 9cm$ . Khi đó AD tiếp xúc với đường tròn
- A.
  Đường kính AC
- B.
  Đường kính DB
- C.
  Đường kính AB
- D.
  Đường kính BC
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm của BC

Đường tròn (I) đường kính BC có bán kính $R = \frac{BC}{2} = 6,5cm$

Kẻ $IH\bot AD$ . Khoảng cách d từ I đến AD bằng IH ta có:

$d = IH = \frac{AB + CD}{2} = \frac{4 + 9}{2} = 6,5cm$

Do $d = R$ nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD.
Câu 3: Thông hiểu
Xác định độ dài BC
Cho điểm $A$ cách đường thẳng $xy$ một khoảng $12cm$ . Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $13cm$ . Gọi $B,C$ là hai giao điểm của đường tròn và đường thẳng $xy$ . Tính độ dài cạnh $BC$ ?
- A.
  $8cm$
- B.
  $10cm$
- C.
  $15cm$
- D.
  $12cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ AH vuông góc với xy. Ta có AH < AC hay d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau

Do đó (A) có hai giao điểm xy

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

$AH^{2} + HC^{2} = AC^{2} \Rightarrow HC = \sqrt{169 - 144} = 5$

Mà $AH\bot BC$ và tam giác ABC cân tại A

Nên H là trung điểm của BC

Vậy BC = 2HC = 2.5 = 10 (cm)
Câu 4: Vận dụng
Tìm quỹ tích điểm M
Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$ chạy trên đường tròn đó. Kẻ đường thẳng $xy$ vuông góc với $OA$ . Trên $xy$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = R\sqrt{3}$ . Điểm $M$ di động trên đường nào?
- A.
  Đường tròn tâm O bán kính $R$
- B.
  Đường tròn tâm O bán kính $3R$
- C.
  Đường tròn tâm O bán kính $2R$
- D.
  Đường tròn tâm O bán kính $4R$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $OA\bot xy$

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

$OM^{2} = OA^{2} + AM^{2} = 4R^{2}$

$\Rightarrow OM = 2R$

Suy ra khi A chạy trên đường tròn $(O;R)$ thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;5cm)$ . Biết khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$ là $2,5cm$ . Khi đó:
- A.
  Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;5cm)$ cắt nhau.
- B.
  Đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O;5cm)$ .
- C.
  Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;5cm)$ không có điểm chung.
- D.
  Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;5cm)$ không giao nhau.
Hướng dẫn:
Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn $(O;5cm)$ đến đường thẳng a là 2,5cm

$\Rightarrow d = 2,5cm < R = 5cm$

Suy ra đường thẳng a và đường tròn $(O;5cm)$ cắt nhau.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm độ dài đoạn AD
Cho đường tròn $(O;2cm)$ . Một đường thẳng đi qua điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại $B;C$ sao cho $AB = BC$ . Kẻ đường kính $CD$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AD$ ?
- A.
  $8cm$
- B.
  $4cm$
- C.
  $6cm$
- D.
  $10cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD có:

O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC

Nên OB là đường trung bình tam giác $ACD$

Do đó $OB = \frac{1}{2}AD \Rightarrow AD = 2.2 = 4cm$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường thẳng $m$ , tâm các đường tròn có bán kính $2cm$ tiếp xúc với đường thẳng $m$ nằm trên đường nào?
- A.
  Một đường thẳng song song với $m$ và cách $m$ một khoảng bằng $2cm$
- B.
  Hai đường thẳng song song với $m$ và cách $m$ một khoảng bằng $2cm$ .
- C.
  Một đường thẳng song song với $m$ và cách $m$ một khoảng bằng $1cm$ .
- D.
  Một đường thẳng song song với $m$ và cách $m$ một khoảng bằng $4cm$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn đường kính 2cm

$\Rightarrow d = R \Rightarrow d = 2cm$

Suy ra tâm đường tròn cách m một khoảng bằng 2cm.

Suy ra tâm đường tròn thuộc hai đường thẳng song song với m và cách m một khoảng bằng 2cm.
Câu 8: Vận dụng cao
Tính độ dài OH
Tam giác $DEF$ cân tại $D$ , đường cao $DK;EH$ cắt nhau tại $O$ . Đường tròn $(O;OH)$ cắt $DK$ tại $P;Q$ . Biết rằng $DE = DF = \sqrt{3}$ và $DP = QK$ . Tính độ dài $OH$ ?
- A.
  $OH = \sqrt{6}$
- B.
  $OH = \frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $OH = \frac{\sqrt{6}}{6}$
- D.
  $OH = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $DP = QK$ và $OP = OQ$ (bằng bán kính đường tròn $(O))$ nên $DO = OK$ .

Ta có $\tan^{2}E = \tan E.tanF = \frac{DK^{2}}{EK \cdot FK}$ .

Xét $\bigtriangleup EKO$ và $\bigtriangleup DHF$ có

$\widehat{EKO} = \widehat{DKF} =90^{\circ}$ .

$\widehat{OEK} = \widehat{KDF}$ (cùng phụ với $\widehat{F})$ .

$\Rightarrow \bigtriangleup EKO \sim \bigtriangleup DKF$ (góc - góc)

$\Rightarrow \frac{EK}{DK} = \frac{OK}{KF} \Rightarrow KE.KF = KO.KD = \frac{1}{2}KD^{2} \Rightarrow \frac{DK^{2}}{DE \cdot DF} = 2$

Do đó $\tan^{2}E = 2$ .

Áp dụng công thức $1 + \tan^{2}E = \frac{1}{\cos^{2}E}$ ta được $\cos^{2}E = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos E =\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Mà $\cos E = \frac{EK}{DE}$ nên $\frac{EK}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ hay $EK = 1$ .

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được

$DO = \frac{DK}{2} = \frac{\sqrt{DE^{2} - EK^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Lại có $\cos e = \cos F = \frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin\widehat{KDF} = \sin\widehat{HDO} =\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Từ đó tính được $OH = DO.\sin\widehat{HDO} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Tìm điều kiện của a thỏa mãn yêu cầu
Cho đường tròn $(O;R)$ có dây $AB = R$ . Trên tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = a$ . Qua $M$ vẽ đường thẳng $xy$ vuông góc với $AB$ . Nếu đường thẳng $xy$ và đường tròn $(O;R)$ chỉ có một điểm chung thì điều kiện của $a$ là:
- A.
  $a \geq \frac{R}{2}$
- B.
  $a \geq \frac{3R}{2}$
- C.
  $a \leq \frac{3R}{2}$
- D.
  $a \leq \frac{R}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

$ON\bot AM$ và $MN = a - \frac{R}{2}$

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

$ON\bot xy$ suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

$d(O;xy) = OH = MN = a - \frac{R}{2}$

Đường thẳng xy và đường tròn $(O;R)$ có điểm chung khi và chỉ khi

$d(O;xy) \leq R \Leftrightarrow a - \frac{R}{2} \leq R$

$\Leftrightarrow a \leq \frac{3R}{2}$

Vậy đường thẳng xy và đường tròn $(O;R)$ chỉ có điểm chung khi $a \leq \frac{3R}{2}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng
Cho đường thẳng $a$ . Tâm $I$ của tất cả các đường tròn bán kính $3cm$ , tiếp xúc với đường thẳng $a$ nằm trên đường $d$ với điều kiện là:
- A.
  $d//a$ và cách a một khoảng bằng $3cm$
- B.
  $d\bot a$ và cách a một khoảng bằng $6cm$
- C.
  $d//a$ và cách a một khoảng bằng $6cm$
- D.
  $d\bot a$ và cách a một khoảng bằng $3cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có đường tròn tâm I bán kính bằng 3cm tiếp xúc với đường thẳng a.

Suy ra $d_{(I;a)} = 3cm$

Do mọi điểm I đều cách a một khoảng bằng 3cm nên mọi điểm I đều nằm trên đường thẳng d song song với a và cách a một khoảng bằng 3cm.
Câu 11: Nhận biết
Xác định số điểm chung nhiều nhất
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).
Câu 12: Nhận biết
Tìm điều kiện của OH
Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O;6cm)$ . Gọi $OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$ . Điều kiện để đường thẳng $a$ và $(O;6cm)$ có ít nhất một điểm chung là:
- A.
  $OH \leq 6cm$
- B.
  $OH < 6cm$
- C.
  $OH = 6cm$
- D.
  $OH \geq 6cm$
Hướng dẫn:
Ta có: $(O;6cm) \Rightarrow R = 6cm$

Đường thẳng a cắt $(O;6cm)$ $\Leftrightarrow d < R \Leftrightarrow OH < R$

Đường thẳng a tiếp xúc với $(O;6cm)$ $\Leftrightarrow d = R \Leftrightarrow OH = R$

Khi đó điều kiện để đường thẳng a và $(O;6cm)$ có ít nhất một điểm chung là: $OH \leq 6cm$
Câu 13: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác OBC
Cho điểm $O$ cách đường thẳng $a$ là $6cm$ . Vẽ đường tròn $(O;10)$ . Gọi giao điểm của đường thẳng và đường tròn lần lượt là $B;C$ . Tính diện tích tam giác $OBC$ ?
- A.
  $48cm^{2}$
- B.
  $36cm^{2}$
- C.
  $31cm^{2}$
- D.
  $40cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a

Suy ra $OH = 6cm$ và H là trung điểm của BC

Do đó $BH = \sqrt{OB^{2} - OH^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$

$\Rightarrow AC = 16cm$

Suy ra diện tích tam giác $OBC$ là:

$S_{OBC} = \frac{1}{2}OH.BC = \frac{1}{2}.6.16 = 48\left( cm^{2} ight)$
Câu 14: Thông hiểu
Tính độ dài CD
Cho nửa đường tròn $(O;5cm)$ và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm $CD$ và cách đường tròn một khoảng $3cm$ . Tính độ dài dây $CD$ ?
- A.
  $\sqrt{34}cm$
- B.
  $8cm$
- C.
  $2cm$
- D.
  $4cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao OH. Vì $OH\bot CD$ và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD

$\Rightarrow HC = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(cm)$

$\Rightarrow CD = 2HC = 2.4 = 8cm$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho hình vuông $ABCD$ , trên đường chéo $BD$ lấy điểm $I$ sao cho $BI = BA$ . Đường thẳng $I$ vuông góc với $BD$ cắt $AD$ tại $E$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  Đường thẳng $BD$ với đường tròn $(E;AE)$ cắt nhau.
- B.
  Đường thẳng $BD$ với đường tròn $(E;AE)$ tiếp xúc nhau.
- C.
  Đường thẳng $BD$ với đường tròn $(E;AE)$ không có điểm chung.
- D.
  Đường thẳng $BD$ với đường tròn $(E;AE)$ không giao nhau.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\Delta AEB = \Delta IEB(ch - gn) \Rightarrow AE = EI$

$\Rightarrow I \in (E;EA) \Rightarrow R = EI$

Mặt khác $EI\bot BD \Rightarrow d = EI \Rightarrow d = R$

Suy ra đường thẳng BD tiếp xúc với $(E;AE)$ .