Cho nửa đường tròn và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm
và cách đường tròn một khoảng
. Tính độ dài dây
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường cao OH. Vì và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD
Cho nửa đường tròn và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm
và cách đường tròn một khoảng
. Tính độ dài dây
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường cao OH. Vì và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD
Cho đường thẳng và đường tròn
. Biết khoảng cách từ
đến đường thẳng
là
. Khi đó:
Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a là 2,5cm
Suy ra đường thẳng a và đường tròn cắt nhau.
Cho đường thẳng . Tâm
của tất cả các đường tròn bán kính
, tiếp xúc với đường thẳng
nằm trên đường
với điều kiện là:
Hình vẽ minh họa
Ta có đường tròn tâm I bán kính bằng 3cm tiếp xúc với đường thẳng a.
Suy ra
Do mọi điểm I đều cách a một khoảng bằng 3cm nên mọi điểm I đều nằm trên đường thẳng d song song với a và cách a một khoảng bằng 3cm.
Cho đường tròn và đường thẳng
. Gọi
là khoảng cách từ
đến đường thẳng
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Đường tròn và đường thẳng
có một điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
có hai điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
có hai một điểm chung
=> Đường tròn và đường thẳng
có nhiều hơn một điểm chung khi
.
Cho đường tròn có dây
. Trên tia
lấy điểm
sao cho
. Qua
vẽ đường thẳng
vuông góc với
. Nếu đường thẳng
và đường tròn
chỉ có một điểm chung thì điều kiện của
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:
và
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:
suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:
Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi
Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi
.
Cho hình vuông , trên đường chéo
lấy điểm
sao cho
. Đường thẳng
vuông góc với
cắt
tại
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Mặt khác
Suy ra đường thẳng BD tiếp xúc với .
Cho đường tròn . Một đường thẳng đi qua điểm
nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại
sao cho
. Kẻ đường kính
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác ACD có:
O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC
Nên OB là đường trung bình tam giác
Do đó
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).
Tam giác cân tại
, đường cao
cắt nhau tại
. Đường tròn
cắt
tại
. Biết rằng
và
. Tính độ dài
?
Hình vẽ minh họa
Vì và
(bằng bán kính đường tròn
nên
.
Ta có .
Xét và
có
.
(cùng phụ với
.
(góc - góc)
Do đó .
Áp dụng công thức ta được
.
Mà nên
hay
.
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được
Lại có .
Từ đó tính được .
Cho điểm cách đường thẳng
một khoảng
. Vẽ đường tròn tâm
bán kính
. Gọi
là hai giao điểm của đường tròn và đường thẳng
. Tính độ dài cạnh
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ AH vuông góc với xy. Ta có AH < AC hay d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau
Do đó (A) có hai giao điểm xy
Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:
Mà và tam giác ABC cân tại A
Nên H là trung điểm của BC
Vậy BC = 2HC = 2.5 = 10 (cm)
Cho đường thẳng và đường tròn
. Gọi
là khoảng cách từ
đến
. Điều kiện để đường thẳng
và
có ít nhất một điểm chung là:
Ta có:
Đường thẳng a cắt
Đường thẳng a tiếp xúc với
Khi đó điều kiện để đường thẳng a và có ít nhất một điểm chung là:
Cho hình thang vuông tại
có
. Khi đó AD tiếp xúc với đường tròn
Gọi I là trung điểm của BC
Đường tròn (I) đường kính BC có bán kính
Kẻ . Khoảng cách d từ I đến AD bằng IH ta có:
Do nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD.
Cho đường tròn và một điểm
chạy trên đường tròn đó. Kẻ đường thẳng
vuông góc với
. Trên
lấy điểm
sao cho
. Điểm
di động trên đường nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:
Suy ra khi A chạy trên đường tròn thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.
Cho đường thẳng , tâm các đường tròn có bán kính
tiếp xúc với đường thẳng
nằm trên đường nào?
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn đường kính 2cm
Suy ra tâm đường tròn cách m một khoảng bằng 2cm.
Suy ra tâm đường tròn thuộc hai đường thẳng song song với m và cách m một khoảng bằng 2cm.
Cho điểm cách đường thẳng
là
. Vẽ đường tròn
. Gọi giao điểm của đường thẳng và đường tròn lần lượt là
. Tính diện tích tam giác
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a
Suy ra và H là trung điểm của BC
Do đó
Suy ra diện tích tam giác là: