Luyện tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Cánh Diều

Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a là 2,5cm

Suy ra đường thẳng a và đường tròn cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Vì và (bằng bán kính đường tròn nên .

Ta có .

Xét và có

.

(cùng phụ với .

(góc - góc)

Do đó .

Áp dụng công thức ta được .

Mà  nên hay .

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được

Lại có .

Từ đó tính được .

Hình vẽ minh họa

Kẻ AH vuông góc với xy. Ta có AH < AC hay d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau

Do đó (A) có hai giao điểm xy

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

Mà và tam giác ABC cân tại A

Nên H là trung điểm của BC

Vậy BC = 2HC = 2.5 = 10 (cm)

Gọi I là trung điểm của BC

Đường tròn (I) đường kính BC có bán kính

Kẻ . Khoảng cách d từ I đến AD bằng IH ta có:

Do nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD.

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD có:

O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC

Nên OB là đường trung bình tam giác

Do đó

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mặt khác

Suy ra đường thẳng BD tiếp xúc với .

Đường tròn và đường thẳng có một điểm chung

Đường tròn và đường thẳng có hai điểm chung

Đường tròn và đường thẳng có hai một điểm chung

=> Đường tròn và đường thẳng có nhiều hơn một điểm chung khi .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

Suy ra khi A chạy trên đường tròn thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.

Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn đường kính 2cm

Suy ra tâm đường tròn cách m một khoảng bằng 2cm.

Suy ra tâm đường tròn thuộc hai đường thẳng song song với m và cách m một khoảng bằng 2cm.

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao OH. Vì và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD

Ta có:

Đường thẳng a cắt

Đường thẳng a tiếp xúc với

Khi đó điều kiện để đường thẳng a và có ít nhất một điểm chung là:

Hình vẽ minh họa

Ta có đường tròn tâm I bán kính bằng 3cm tiếp xúc với đường thẳng a.

Suy ra

Do mọi điểm I đều cách a một khoảng bằng 3cm nên mọi điểm I đều nằm trên đường thẳng d song song với a và cách a một khoảng bằng 3cm.

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .