Luyện tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD có:

O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC

Nên OB là đường trung bình tam giác

Do đó

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mặt khác

Suy ra đường thẳng BD tiếp xúc với .

Ta có:

Đường thẳng a cắt

Đường thẳng a tiếp xúc với

Khi đó điều kiện để đường thẳng a và có ít nhất một điểm chung là:

Hình vẽ minh họa

Vì và (bằng bán kính đường tròn nên .

Ta có .

Xét và có

.

(cùng phụ với .

(góc - góc)

Do đó .

Áp dụng công thức ta được .

Mà  nên hay .

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta tính được

Lại có .

Từ đó tính được .

Đường tròn và đường thẳng có một điểm chung

Đường tròn và đường thẳng có hai điểm chung

Đường tròn và đường thẳng có hai một điểm chung

=> Đường tròn và đường thẳng có nhiều hơn một điểm chung khi .

Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao OH. Vì và tam giác OCD cân tại O nên H là trung điểm của CD

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

Suy ra khi A chạy trên đường tròn thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.

Hình vẽ minh họa

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a

Suy ra và H là trung điểm của BC

Do đó

Suy ra diện tích tam giác là:

Hình vẽ minh họa

Ta có đường tròn tâm I bán kính bằng 3cm tiếp xúc với đường thẳng a.

Suy ra

Do mọi điểm I đều cách a một khoảng bằng 3cm nên mọi điểm I đều nằm trên đường thẳng d song song với a và cách a một khoảng bằng 3cm.

Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a là 2,5cm

Suy ra đường thẳng a và đường tròn cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Kẻ AH vuông góc với xy. Ta có AH < AC hay d < R nên đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau

Do đó (A) có hai giao điểm xy

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

Mà và tam giác ABC cân tại A

Nên H là trung điểm của BC

Vậy BC = 2HC = 2.5 = 10 (cm)

Gọi I là trung điểm của BC

Đường tròn (I) đường kính BC có bán kính

Kẻ . Khoảng cách d từ I đến AD bằng IH ta có:

Do nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD.