Luyện tập Góc ở tâm. Góc nội tiếp Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trên đường tròn $(O;R)$ lấy cung $AB$ có số đo $100^{0}$ . Vẽ bán kính $OC$ song song và cùng chiều với dây $AB$ . Số đo của cung lớn $AC$ bằng:
- A.
  $140^{0}$
- B.
  $85^{0}$
- C.
  $220^{0}$
- D.
  $97^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//OC(gt) \Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{C}(slt)$

Tam giác OAC cân tại O nên $\widehat{A_{2}} = \widehat{C}(slt)$

Vậy AC là tia phân giác của góc $\widehat{OAB}$

Ta có: $sd\widehat{AB} = 100^{0} \Rightarrow \widehat{AOB} = 100^{0}$

Tam giác AOB cân tại O ta có:

$\widehat{A} = \widehat{B} = \frac{180^{0} - \widehat{O}}{2} = 40^{0}$

$\Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} = \frac{1}{2}\widehat{A} = 20^{0}$

Tam giác AOC cân tại O ta lại có:

$\widehat{AOC} = 180^{0} - 2\widehat{A_{2}} = 140^{0}$

Suy ra số đo cung nhỏ AC là $140^{0}$

Vậy số đo cung lớn AC bằng $360^{0} - 140^{0} = 220^{0}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ BC
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$ . Số đo cung nhỏ $BC$ bằng:
- A.
  $180^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $240^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O là giao ba đường phân giác nên BO; CO là các đường phân giác góc $\widehat{ABC};\widehat{ACB}$

$\left\{ \begin{matrix}\widehat{BCO} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB} = \dfrac{60^{0}}{2} = 30^{0} \\\widehat{CBO} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC} = \dfrac{60^{0}}{2} = 30^{0} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác BOC có:

$\widehat{BOC} = 180^{0} - \widehat{CBO} - \widehat{BCO} = 120^{0}$

Do đó số đo cung nhỏ BC là $120^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AB
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $AB$ sao cho số đo cung lớn $\mathop{ AB}^\frown$ gấp đôi số đo cung nhỏ $\mathop{ AB}^\frown$ . Số đo cung $\mathop{ AB}^\frown$ nhỏ là:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $110^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} sd{\widehat{AB}}_{L} + sd{\widehat{AB}}_{N} = 360^{0} \\ sd{\widehat{AB}}_{L} = 2sd{\widehat{AB}}_{N} \\ \end{matrix} ight.$

Nên số đo cung AB nhỏ là $360^{0}:3 = 120^{0}$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm khẳng định sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
- B.
  Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- C.
  Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- D.
  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Hướng dẫn:
Các góc nội tiếp bằng nhau có thể chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau.

Vậy khẳng định sai là: “Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau”.
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là
- A.
  Góc bên ngoài đường tròn
- B.
  Góc ở tâm
- C.
  Góc bên trong đường tròn.
- D.
  Góc tạo bởi hai bán kính
Hướng dẫn:
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Câu 6: Vận dụng
Tính số đo góc KOI
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ . Đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AB;AC$ lần lượt tại $I;K$ . Tính $\widehat{IOK}$ biết rằng $\widehat{BAC} = 40^{0}$ ?
- A.
  $80^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $40^{0}$
- D.
  $100^{0}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC cân tại A ta có:

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{1}{2}\left( 180^{0} - 40^{0} ight) = 70^{0}$

Xét tam giác OIB có $OI = OB$

Suy ra tam giác OIB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{BOI} = 180^{0} - 2\widehat{OBI} = 180^{0} - 2.70^{0} = 40^{0}$

Xét tam giác OKC có $OC = OK$

Suy ra tam giác OKC cân tại O

$\Rightarrow \widehat{IOK} = 180^{0} - \widehat{COK} - \widehat{BOI}$

$\Rightarrow \widehat{IOK} = 180^{0} - 40^{0} - 40^{0} = 100^{0}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Số đo của nửa đường tròn bằng $90^{0}$ .
- B.
  Cung nhỏ hơn có số đo lớn hơn $180^{0}$ .
- C.
  Cung lớn có số đo nhỏ hơn $180^{0}$ .
- D.
  Nếu E là một điểm nằm trên cung AB thì $\mathop{ AB}^\frown=\mathop{ AE}^\frown+\mathop{ EB}^\frown$ .
Hướng dẫn:
“Nếu E là một điểm nằm trên cung AB thì $\mathop{ AB}^\frown=\mathop{ AE}^\frown+\mathop{ EB}^\frown$ ” là khẳng định đúng.
Câu 8: Nhận biết
Chọn hình vẽ thỏa mãn yêu cầu
Chọn hình vẽ biểu diễn góc ở tâm?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hướng dẫn:
Hình vẽ biểu diễn góc ở tâm là:
Câu 9: Thông hiểu
Tính số đo các cung
Cho hai tiếp tuyến tại $A;B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ , biết $\widehat{AMB} = 60^{0}$ . Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là:
- A.
  $120^{0};220^{0}$
- B.
  $220^{0};120^{0}$
- C.
  $120^{0};240^{0}$
- D.
  $140^{0};200^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì MA và MB lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O) suy ra $\left\{ \begin{matrix} OA\bot AM \Rightarrow \widehat{OAM} = 90^{0} \\ OB\bot BM \Rightarrow \widehat{OBM} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.$

Xét tứ giác OABM có:

$\widehat{BOA} + \widehat{OBM} + \widehat{OAM} + \widehat{AMB} = 360^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BOA} = 360^{0} - \left( \widehat{OBM} + \widehat{OAM} + \widehat{AMB} ight) = 120^{0}$

Suy ra số đo cung nhỏ AB là $120^{0}$

Số đo cung lớn AB là $240^{0}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình vẽ sau:

Tìm số đo cung nhỏ AB và số đo cung nhỏ CD?
- A.
  $\mathop{ AB}^\frown = 115^{0};\mathop{ CD}^\frown =80^{0}$
- B.
  $\mathop{ AB}^\frown= 120^{0};\mathop{ CD}^\frown =100^{0}$
- C.
  $\mathop{ AB}^\frown = 130^{0};\mathop{ CD}^\frown =100^{0}$
- D.
  $\mathop{ AB}^\frown = 120^{0};\mathop{CD }^\frown =80^{0}$
Hướng dẫn:
Vì tam giác OAB cân tại O nên $\widehat{OBA} = \widehat{OAB} = 30^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BOA} = 180^{0} - \widehat{OBA} - \widehat{OAB}$

$\Rightarrow \widehat{BOA} = 180^{0} - 30^{0} - 30^{0} = 120^{0}$

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ là $\widehat{BOA} = 120^{0}$

Vì tam giác OCD cân tại O nên $\widehat{OCD} = \widehat{ODC} = 40^{0}$

$\Rightarrow \widehat{COD} = 180^{0} - \widehat{OCD} - \widehat{ODC} = 100^{0}$

Suy ra số đo cung nhỏ AB là $\widehat{COD} = 100^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo bằng bao nhiêu vào lúc 20 giờ?
- A.
  $100^{0}$
- B.
  $54^{0}$
- C.
  $96^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hướng dẫn:
12 số trên mặt đồng hồ chia thành 12 cung với đơn vị bằng nhau.

Số đo trên mỗi cũng đơn vị là $\frac{360^{0}}{12} = 30^{0}$

Vào lúc 20 giờ, kim dài chỉ vào số 12 và kim phút chỉ vào số 8 nên góc ở tâm tạo bởi chúng chắn 4 cung đơn vị.

Vậy góc ở tâm lúc đó là $30^{0}.4 = 120^{0}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính số đo cung nhỏ AM
Cho đường tròn $(O;R)$ lấy hai điểm $A;B$ sao cho $\widehat{AOB} = 80^{0}$ . Vẽ dây $AM$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $H$ . Số đo cung nhỏ $AM$ bằng:
- A.
  $160^{0}$
- B.
  $140^{0}$
- C.
  $100^{0}$
- D.
  $80^{0}$
Hướng dẫn:
Tam giác OAM cân tại O (OA = OM = R)

$OB\bot AM$ tại $H$ suy ra $OB$ đồng thời là đường phân giác $\widehat{AOM}$

$\widehat{AOB} = \widehat{BOM} = 80^{0}$

$\widehat{AOM} = \widehat{AOB} + \widehat{BOM} = 80^{0} + 80^{0} = 160^{0}$

Do đó số đo cung nhỏ AM là $\widehat{AOM} = 160^{0}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính góc nội tiếp chắn cung nhỏ CD
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $CD = R\sqrt{3}$ . Số đo góc nội tiếp chắn cung nhỏ $CD$ bằng:
- A.
  $240^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ OH vuông góc với CD

Tam giác OCD cân tại O có OH là đường cao suy ra OH cũng là trung tuyến, đường phân giác

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}HC = HD = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \\\widehat{COH} = \widehat{DOH} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:

$\sin\widehat{HOD} = \dfrac{HD}{OD} =\dfrac{\dfrac{R\sqrt{3}}{2}}{R} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{HOD} = 60^{0}$

$\Rightarrow \widehat{COD} = 2\widehat{HOD} = 2.60^{0} = 120^{0}$

$\Rightarrow sd\widehat{CD} = \frac{1}{2}\widehat{COD} = \frac{1}{2}.120^{0} = 60^{0}$

Vậy số đo cung nhỏ CD bằng $60^{0}$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm số đo cung nhỏ BM
Cho nửa đường tròn $(O;6)$ đường kính $AB$ . Trên bán kính $OC$ vuông góc với $AB$ , lấy điểm $D$ sao cho $OD= 2\sqrt{3}cm$ . Tia $AD$ cắt $(O)$ tại $M$ . Số đo cung nhỏ $BM$ bằng:
- A.
  $50^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Từ tam giác $OAD$ vuông tại $O$ ta có:
$\tan\widehat{A} = \frac{OD}{OA} =\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \widehat{A} =30^{0}$
Tam giác OAM cân tại O $\Rightarrow\widehat{A} = \widehat{M}$
$\widehat{BOM}$ là góc ngoài của tam giác OAM
$\Rightarrow \widehat{BOM} = \widehat{A}+ \widehat{M} = 2\widehat{A} = 2.30^{0} = 60^{0}$
Suy ra số đo cung BM bằng $60^{0}$ (chắn góc ở tâm $\widehat{BOM}$ )
Câu 15: Thông hiểu
Tính số đo góc MAN
Quan sát hình vẽ sau:

Biết hai đường tròn có tâm $B;C$ và điểm $B$ nằm trên đường tròn tâm $C$ và $\widehat{PCQ} = 136^{0}$ . Tính số đo góc $\widehat{MAN}$ ?
- A.
  $24^{0}$
- B.
  $36^{0}$
- C.
  $28^{0}$
- D.
  $34^{0}$
Hướng dẫn:
Xét đường tròn tâm C ta có:

$\widehat{PCQ}$ là góc ở tâm và $\widehat{PBQ}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $PQ$

$\Rightarrow \widehat{PBQ} = \frac{1}{2}\widehat{PCQ} = 68^{0}$

Xét đường tròn tâm B ta có:

$\widehat{MBN}$ là góc ở tâm và $\widehat{MAN}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $MN$

$\Rightarrow \widehat{MAN} = \frac{1}{2}\widehat{MBN} = 34^{0}$
Câu 16: Nhận biết
Xác định số phát biểu đúng
Cho các phát biểu sau:

(i) Số đo của cung bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

(ii) Số đo của nửa đường tròn bằng $180^{0}$ .

(iii) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Cả 3 phát biểu đã cho đều đúng.
Câu 17: Nhận biết
Chọn câu đúng
Chọn câu đúng. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- A.
  Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung nhỏ.
- B.
  Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo nhỏ hơn $90^{0}$ .
- C.
  Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- D.
  Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung lớn.
Hướng dẫn:
Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Câu 18: Thông hiểu
Xác định số đo góc nội tiếp chắn cung AB
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $AB = R\sqrt{2}$ . Số đo góc nội tiếp chắn cung lớn $AB$ bằng:
- A.
  $150^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $270^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OA^{2} + OB^{2} = R^{2} + R^{2} = 2R^{2} \\ AB^{2} = \left( R\sqrt{2} ight)^{2} = 2R^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow OA^{2} + OB^{2} = AB^{2}$

Theo định lí Pythagore đảo ta suy ra tam giác OAB vuông cân tại O.

Khi đó $sd\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 90^{0}$

Suy ra cung lớn AB có số đo là $360^{0} - 90^{0} = 270^{0}$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng
- A.
  Số đo của cung chắn nửa đường tròn
- B.
  Số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- C.
  Số đo của góc ở tâm chắn cung lớn
- D.
  Số đo cung lớn
Hướng dẫn:
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Câu 20: Vận dụng cao
Tính số đo cung lớn CD
Cho đường tròn $(O;R)$ . Gọi $H$ là điểm thuộc bán kính $OA$ sao cho $OH = \frac{\sqrt{3}}{2}OA$ . Dây $CD$ vuông góc với $OA$ tại $H$ . Tính số đo cung lớn $CD$ ?
- A.
  $120^{0}$
- B.
  $240^{0}$
- C.
  $260^{0}$
- D.
  $300^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét đường tròn $(O)$ có $OA\bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $CD$

Xét tam giác $OHC$ vuông tại H có:

$\cos\widehat{HOC} = \dfrac{OH}{OC} =\dfrac{\dfrac{R\sqrt{3}}{2}}{R} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{HOC} = 30^{0}$

Mà tam giác OCD cân tại O có OH là đường cao nên OH cũng là đường phân giác

$\Rightarrow \widehat{DOC} = 2\widehat{COH} = 2.30^{0} = 60^{0}$

Do đó số đo cung nhỏ CD là $\widehat{DOC} = 60^{0}$ , số đo cung lớn CD là $360^{0} - 60^{0} = 300^{0}$ .