Luyện tập Tứ giác nội tiếp đường tròn Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính a. Biết rằng AC ⊥ BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì
- A.
  AC = BD
- B.
  AC = AB
- C.
  Không có đáp án đúng.
- D.
  DB = AB
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có $\widehat{EAC} = 90^{0};\widehat{EDC} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

$AB^{2} + CD^{2} = DE^{2} + DC^{2} = EC^{2} = (2a)^{2} = 4a^{2}$ (do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho $\left( AB^{2};CD^{2} ight)$ ta có:

$AB^{2} + CD^{2} \geq 2AB.CD$

$2\left( AB^{2} + CD^{2} ight) \geq AB^{2} + CD^{2} + 2AB.CD = (AB + CD)^{2}$

Kéo theo $(AB + CD)^{2} \leq 2.\left( 4a^{2} ight) = 8a^{2} \Rightarrow AB + CD \leq 2\sqrt{2}a$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ (góc nội tiếp cùng chắn AD)

$\widehat{BAC} = \widehat{CDB}$ (góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.
Câu 2: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chọn câu đúng.
- A.
  Tứ giác BEFC không nội tiếp.
- B.
  Tứ giác AFHE không nội tiếp.
- C.
  Tứ giác AFHE là hình vuông.
- D.
  Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác AEHF có: $\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^{0}$

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dhnb).

⇒ Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng 180⁰)

⇒ $\widehat{AFE} = \widehat{AHE}$ (hai góc cùng nhìn đoạn AE); $\widehat{AHE} = \widehat{ABH}$ (cùng phụ $\widehat{BHE}$ )

⇒ $\widehat{AFE} = \widehat{ABC}\left( = \widehat{AHE} ight)$

Xét tứ giác BEFC có: $\widehat{AFE}$ là góc ngoài tại đỉnh F và $\widehat{AFE} = \widehat{ABC}$

⇒ BEFC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA. Dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. Khẳng định nào đúng?
- A.
  Tứ giác BIHK là hình vuông.
- B.
  Tứ giác BIHK không nội tiếp.
- C.
  Tứ giác BIHK là hình chữ nhật.
- D.
  Tứ giác BIHK nội tiếp.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\widehat{AKB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O) \Rightarrow \widehat{AKB} = 90^{\circ}$ (theo tính chất)

Xét tứ giác HKBI ta có:

$\ \ \left\{ \begin{matrix} \widehat{HKB} = 90^{\circ} \\ \widehat{HIB} = 90^{\circ}\left( do\ CD\bot AB = \left\{ I ight\} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \$

$\Rightarrow \widehat{HKB} + \widehat{HIB} = 180^{\circ}$ suy ra BKHI là tứ giác nội tiếp

Lại có $\widehat{KBA} < 90^{\circ}$ do $\bigtriangleup AKB$ vuông tại $K \Rightarrow KBIH$ không là hình chữ nhật.
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hướng dẫn:
Hình vẽ biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn là:
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình bình hành. Đường tròn đi qua ba đỉnh cắt đường thẳng tại. Cho các kết luận sau:

i) ABCP là hình thang cân.

ii) AP = AD.

iii) AP = BC

Có bao nhiêu kết luận đúng?
- A.
  2
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  0
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Do tứ giác $ABCP$ nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và $\bar{B}A\bar{P},\bar{B}C\bar{P}$ là các góc đối nên

$\widehat{BAP} + \widehat{BCP} = 180^{\circ}(1)$

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $CD//AB$ suy ra

$\widehat{ABC} + \widehat{BCP} = 180^{\circ}(2)$

Từ (1) và (2) ta nhận được $\widehat{BAP} = \widehat{ABC}$ .

Mặt khác $CP//AB$ nên $ABCP$ là hình thang cân.

Từ đó ta suy ra $AP = BC(3)$

Do $BC = AD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

Từ (3) và (4) ta suy ra $AP = AD$ .

Vậy cả 3 kết luận đều đúng.
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với CE tại D và cắt tia CA tại H. Biết $\widehat{BCA} = 30^{0}$ . Số đo $\widehat{ADH}$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác ACBD ta có: $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$ và cùng nhìn đoạn BC.

$\Rightarrow$ Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).

$\Rightarrow \widehat{BDA} + \widehat{BCA} = 180^{\circ}$

$\Leftrightarrow \widehat{BDA} = 180^{\circ} - \widehat{BCA} = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Có góc $\widehat{HDA}$ và $\widehat{BDA}$ kề bù nên $\widehat{HDA} = 180^{\circ} - \widehat{BDA} = 30^{\circ}$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn hình thích hợp
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có $\widehat{A} = 50^{0};\widehat{B} = 70^{0}$ . Khi đó $\widehat{C} - \widehat{D}$ bằng:
- A.
  $20^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $140^{0}$
Hướng dẫn:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{A} + \widehat{C} = 180^{0} \\ \widehat{B} + \widehat{D} = 180^{0} \\ \end{matrix} ight.$

Mà $\widehat{A} = 50^{0};\widehat{B} = 70^{0}$ nên $\widehat{C} = 130^{0};\widehat{D} = 110^{0}$ ⇒ $\widehat{C} - \widehat{D} = 20^{0}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia BC. Kẻ tiếp tuyến AF, Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là:
- A.
  Hình thang cân.
- B.
  Hình bình hành.
- C.
  Tứ giác nội tiếp.
- D.
  Hình thang.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{DBO} = 90^{0} \\ \widehat{DFO} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.$ (tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác OBDF có $\widehat{DBO} + \widehat{DFO} = 180^{0}$ nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn câu sai
Cho hình vẽ dưới đây

Số đo góc $\widehat{BAD}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $55^{0}$
- B.
  $75^{0}$
- C.
  $65^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có $\widehat{BCE} = \widehat{DCF}$ (hai góc đối đỉnh).

Đặt $\widehat{BCE} = \widehat{DCF} = x$

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{ABC} = x + 45^{0}(1) \\ \widehat{ADC} = x + 25^{0}(2) \\ \end{matrix} ight.$ (2)

Lại có $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^{0}$ (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận $x + 45 + x + 25 = 180 \Rightarrow x = 55^{0}$

Do $\widehat{BDC};\widehat{BCE}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{BDC} + \widehat{BCE} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{BDC} = 125^{0}$

Ta lại có $\widehat{BAD};\widehat{BCD}$ là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

$\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{BAD} = 180^{0} - 125^{0} = 55^{0}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hình vẽ dưới đây

Khi đó mệnh đề đúng là?
- A.
  $\widehat{ABC} = 110^{0}$
- B.
  $\widehat{ABC} = 80^{0}$
- C.
  $\widehat{ABC} = 90^{0}$
- D.
  $\widehat{ABC} = 100^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có $\widehat{BCE} = \widehat{DCF}$ (hai góc đối đỉnh).

Đặt $\widehat{BCE} = \widehat{DCF} = x$

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{ABC} = x + 40^{0}(1) \\ \widehat{ADC} = x + 20^{0}(2) \\ \end{matrix} ight.$ (2)

Lại có $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^{0}$ (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận $x + 40 + x + 20 = 180 \Rightarrow x = 60^{0}$

Từ (1) ta có $\widehat{ABC} = 60^{0} + 40^{0} = 100^{0}$
Câu 11: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N. Chọn câu sai:
- A.
  Tứ giác ABNM nội tiếp.
- B.
  MN // DC.
- C.
  Tứ giác MICD nội tiếp.
- D.
  Tứ giác INCD là hình thang.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABI$ ta có: $\widehat{BAI}$ là góc nội tiếp chắn cung $BI$ .

$\widehat{BIN}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $BI$ .

$\Rightarrow \widehat{BAI} = \widehat{BIN}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $BI$ ).

Xét đường tròn $(O)$ ta có: $\widehat{BDC} = \widehat{BAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ ).

$\Rightarrow \widehat{BIN} = \widehat{BDC}( = \widehat{BAC})$ Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow IN//CD$ hay $MN//CD(dpcm)$ .

Xét tứ giác ABNM ta có:

$\widehat{BAI} = \widehat{BIN}(cmt)$

$\Rightarrow$ tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: $IN//CD(cmt) \Rightarrow INCD$ là hình thang
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Điều kiện để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là:
- A.
  $\widehat{ABD} + \widehat{ADB} = 180^{0}$
- B.
  $\widehat{ADB} + \widehat{BCA} = 180^{0}$
- C.
  $\widehat{BCA} + \widehat{DCA} = 180^{0}$
- D.
  $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^{0}$
Hướng dẫn:
Điều kiện để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^{0}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tam giác ACF là tam giác.
- A.
  Cân tại F
- B.
  Đều
- C.
  Cân tại C
- D.
  Cân tại A
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét $(O)$ có $\widehat{EAC} = \widehat{EDC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Xét tứ giác nội tiếp $AHCK$ có $\widehat{KAC} = \widehat{KHC}$ nên $\widehat{EDC} = \widehat{KHC}( = \widehat{KAC})$ mà hai góc ở vị trí đồng vị nên $KH//ED$

Xét tam giác $CFD$ có $KH//ED$ mà $H$ là trung điểm của $DC$ (do $AB\bot DC$ ) nên $K$ là trung điểm của $CF$

Xét tam giác $ACF$ có $AK$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $\bigtriangleup ACF$ cân tại $A$ .
Câu 14: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho 4 điểm $M;N;P;Q$ thuộc $(O)$ . Biết $\widehat{MNP} = 60^{0};\widehat{QMP} = 40^{0}$ . Khi đó số đo $\widehat{MPQ}$ là:
- A.
  $40^{0}$
- B.
  $20^{0}$
- C.
  $25^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tứ giác MNPQ nội tiếp

⇒ $\widehat{MQP} = 180^{0} - \widehat{MNP} = 120^{0}$

Xét tam giác MPQ có:

$\widehat{MPQ} = 180^{0} - \widehat{QMP} - \widehat{MQP}$

$= 180^{0} - 40^{0} - 120^{0} = 20^{0}$ (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho ∆BCD cân tại A có $\widehat{BAC} = 120^{0}$ , trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy D sao cho BCD là tam giác đều. Khi đó
- A.
  ABDC hình vuông.
- B.
  ABDC hình thang.
- C.
  ∆ACD cân.
- D.
  ABDC nội tiếp.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có ∆BCD là tam giác đều nên $\widehat{DBC} = 60^{0}$ (1).

Mặt khác ∆ABC là tam giác cân tại A có $\widehat{BAC} = 120^{0}$ hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{0}$ nên ta nhận được

$\left\{ \begin{matrix} \widehat{ACB} = \widehat{ABC} \\ \widehat{ACB} + \widehat{ABC} + \widehat{BAC} = 180^{0} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \widehat{ACB} = 30^{0}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{DCA} = \widehat{DCB} + \widehat{BAC} = 60^{0} + 30 = 90^{0}(3)$

Chứng minh tương tự ta có $\widehat{ABD} = 90^{0}$ (4)

Từ (3) và (4) ta nhận được $\widehat{ABD} + \widehat{DCA} = 180^{0}$

Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và $\widehat{BAD} = 70^{0}$ thì $\widehat{BCM}$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $70^{0}$
- C.
  $55^{0}$
- D.
  $110^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD nội tiếp nên có:

$\widehat{DAB} + \widehat{BCD} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{BCD\ } = 110^{0}$

Mà $\widehat{BCD} + \widehat{BCM} = 180^{0}$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat{BCM} = 180^{0} - 110^{0} = 70^{0}$
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và có $\widehat{M} = 50^{0}$ . Khi đó ta có:
- A.
  $\widehat{P} = 310^{0}$
- B.
  $\widehat{P} = 50^{0}$
- C.
  $\widehat{P} = 180^{0}$
- D.
  $\widehat{P} = 130^{0}$
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có:

Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và có $\widehat{M} = 50^{0}$

$\Rightarrow \widehat{M} + \widehat{P} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{P} = 180^{0} - 50^{0} = 130^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Cho tứ giác MNPQ có $\widehat{PMQ} = \widehat{PNQ} = 90^{0}$ và $MP = MQ$ . Khi đó số đo $\widehat{MNP}$ là
- A.
  $135^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $125^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Tứ giác MNPQ có $\widehat{PMQ} = \widehat{PNQ} = 90^{0}$

⇒ Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính PQ.

⇒ $\widehat{MQP} + \widehat{MNP} = 180^{0}(1)$

MPQ vuông tại M (gt) và MP = MQ (gt)

⇒ MPQ vuông cân tại M

⇒ $\widehat{MQP} = 45^{0}(2)$

Từ (1), (2) suy ra: $\widehat{MNP} = 135^{0}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D M, với C cắt AB lần lượt ở E và P. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  Tứ giác PEDC không nội tiếp.
- B.
  Tứ giác PEDC nội tiếp.
- C.
  Tam giác MDC đều.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên $\overset{⏜}{AM} = \overset{⏜}{MB}$

Xét đường tròn $(O)$ có:

+) $\widehat{MCD}$ là góc nội tiếp chắn cung $DM \Rightarrow \widehat{MCD} = \frac{1}{2}sd\overset{⏜}{DM}$ . (1)

+) $\widehat{AED}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $MB$ và cung $AD$

$\Rightarrow \widehat{MCD} = \frac{1}{2}sd\overset{⏜}{AD} + \frac{1}{2}sd\overset{⏜}{MB} = \frac{1}{2}sd\overset{⏜}{DM}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{MCD} = \widehat{AED} = \frac{1}{2}sd\overset{⏜}{DM}$

Xét tứ giác DEPC có:

$\widehat{MCD} = \widehat{AED}(cmt) \Rightarrow PEDC$ nội tiếp (góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện).
Câu 20: Vận dụng
Tính số đo góc
Cho ABC cân tại A, $\widehat{B} = 40^{0}$ điểm D thuộc cạnh AB. Đường vuông góc với AB tại D cắt BC tại E và cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở K. Gọi I là trung điểm của BE. Khi đó số đo IAK là:
- A.
  $40^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $50^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác BDE vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BF

Suy ra IB = ID = IE

Suy ra tam giác BID cân tại I và tam giác EID cân tại I

Suy ra $\widehat{IBD} = \widehat{IDB} = 40^{0} \Rightarrow \widehat{IDE} = \widehat{IED} = 90^{0} - \widehat{IDB} = 50^{0}$ hay $\widehat{IDK} = 50^{0}$

$\Rightarrow \widehat{ICK} = 90^{0} - \widehat{BCA} = 90^{0} - 40^{0} = 50^{0}$

Tứ giác IDCK có hai đỉnh liền kề DC, cùng nhìn đoạn IK dưới một góc 50°

⇒ IDCK là tứ giác nội tiếp

⇒ I; C; D; K cùng thuộc một đường tròn.

Dễ dàng chứng minh tứ giác ADKC là tứ giác nội tiếp

⇒ A; D; C; K cùng thuộc một đường tròn.

Do đó 5 điểm A; I; D; C; K cùng thuộc một đường tròn, đường kính AK.

⇒ $\widehat{IAK} = \widehat{ICK} = 50^{0}$ (góc nội tiếp cùng chắn IK).