Luyện tập Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính thể tích hình chóp đều
Tính thể tích hình chóp tứ giác đều biết độ dài cạnh đáy bằng 6cm và độ dài cạnh bên bằng $\sqrt{43}cm$ .
- A.
  $V = 143cm^{3}$
- B.
  $V = 57cm^{3}$
- C.
  $V = 60cm^{3}$
- D.
  $V = 78cm^{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Ta có hình chóp đã cho là hình chóp tứ giác đều nên $SC = SA = SB = SD$
=> Tam giác SAC cân tại A.
Mà O là trung điểm của AC => SO là đường cao của tam giác SAC
Ta có: $AC = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} =6\sqrt{2}(cm) \Rightarrow OC = 3\sqrt{2}cm$
Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông SO ta có:
$SO = \sqrt{SC^{2} - OC^{2}} =\sqrt{\left( \sqrt{43} ight)^{2} - \left( 3\sqrt{2}ight)^{2}}$
$SO = \sqrt{43 - 18} = 5(cm)$
Diện tích tứ giác đáy $S_{d} = 6.6 =36$
Thể tích hình chóp $V = \frac{1}{3}S_{d}.h= \frac{1}{3}.36.5 = 60\left( cm^{3} ight)$
Câu 2: Thông hiểu
Tính diện tích toàn phần của hình chóp đều
Cho hình chóp tứ giác đều (kí hiệu như hình vẽ) có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và độ dài cạnh bên bằng 5cm. Gọi H là trung điểm của AB. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
- A.
  $S_{tp} = 64cm^{2}$
- B.
  $S_{tp} = 150cm^{2}$
- C.
  $S_{tp} = 48cm^{2}$
- D.
  $S_{tp} =112cm^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm của AB
=> SH là đường cao của tam giác SAB
Áp dụng định lí Py – ta – go cho tam giác vuông SHB ta có:
$SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} =\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$
Diện tích đáy là $S_{d} = 8.8 = 64\left(cm^{2} ight)$
Diện tích xung quanh hình chóp là: $S_{xq}= (8 + 8).3 = 48\left( cm^{2} ight)$
Vậy diện tích toàn phần của hình chóp là:
$S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = 64 + 48 =112cm^{2}$
Câu 3: Nhận biết
Tính thể tích hình chóp
Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 6cm, độ dài cạnh của tứ giác đáy bằng 8cm.
- A.
  $V = 128cm^{3}$
- B.
  $V = 192cm^{3}$
- C.
  $V = 64cm^{3}$
- D.
  $V = 144cm^{3}$
Hướng dẫn:
Ta có: $V = \frac{1}{3}.8^{2}.6 = 128cm^{3}$
Câu 4: Nhận biết
Tính diện tích đáy hình chóp
Biết thể tích của hình chóp đều bằng 132cm³, chiều cao của nó là 12cm. Diện tích đáy của hình chóp là:
- A.
  $40cm^{2}$
- B.
  $45cm^{2}$
- C.
  $36cm^{2}$
- D.
  $33cm^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$V = \frac{1}{3}S_{d}.h \Rightarrow S_{d} = \frac{3V}{h} = 33\left( cm^{2} ight)$
Câu 5: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 5 cm, đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng 8 cm.

Diện tích toàn phần của hình chóp là 112 cm².

Đáp án là:

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 5 cm, đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng 8 cm.

Diện tích toàn phần của hình chóp là 112 cm².

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó SH là trung đoạn của hình chóp S.ABCD.

Tam giác SMC vuông tại M $\Rightarrow SH = \sqrt{SC^{2} - HC^{2}} = 3cm$

$S_{tp} = S_{xq} + BC^{2} = 2.BC.SM + BC^{2} = 112\left( cm^{2} ight)$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích toàn phần hình chóp
Cho hình vẽ:
Biết $SH = 20 cm, BC = 20 cm$ . Tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều.
- A.
  $S_{tp} = 1254cm^{2}$
- B.
  $S_{tp} = 1200cm^{2}$
- C.
  $S_{tp} = 1084cm^{2}$
- D.
  $S_{tp} = 1180cm^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$S_{xq} = 2.BC.SH =800cm^{2}$
$S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = S_{xq} +BC^{2} = 800 + 400 = 1200cm^{2}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Chọn công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều diện tích đáy $S_{d}$ , chiều cao $h$ .
- A.
  $V = \frac{1}{3}S_{d}.h$
- B.
  $V = \frac{1}{3}S_{d}.h^{2}$
- C.
  $V = \frac{1}{2}S_{d}.h^{2}$
- D.
  $V = \frac{1}{2}S_{d}.h$
Hướng dẫn:
Công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều là: $V = \frac{1}{3}S_{d}.h$
Câu 8: Thông hiểu
Tính diện tích toàn phần hình chóp đều
Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều có cạnh tam giác đáy là 12 và chiều cao của tam giác mặt bên kẻ từ đỉnh của hình chóp tứ giác đều là 8.
- A.
  $232$
- B.
  $336$
- C.
  $144$
- D.
  $192$
Hướng dẫn:
Diện tích xung quanh hình chóp là:

$S_{xq} = 4.\frac{1}{2}.8.12 = 192$

Diện tích toàn phần là:

$S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = 192 + 12^{2} = 336$
Câu 9: Vận dụng

Điền kết quả vào ô trống

Cho hình chóp đều S.ABCD có đường cao bằng 12 và trung đoạn bằng 13. Gọi H là tâm ABCD, M là trung điểm của BC. Biết AB = 2HM. Hãy tính:

Diện tích xung quanh của hình chóp là 260

Diện tích toàn phần của hình chóp là: 360

Thể tích của hình chóp là: 400

Đáp án là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đường cao bằng 12 và trung đoạn bằng 13. Gọi H là tâm ABCD, M là trung điểm của BC. Biết AB = 2HM. Hãy tính:

Diện tích xung quanh của hình chóp là 260

Diện tích toàn phần của hình chóp là: 360

Thể tích của hình chóp là: 400

Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm ABCD, M là trung điểm của BC.

Tam giác SHM vuông tại H

=> $HM = \sqrt{SM^{2} - SH^{2}} = 5$

$\Rightarrow AB = 2HM = 10$

$S_{xq} = 2AB.SM = 260$

$S_{tp} = S_{xq} + S_{ABCD} = 260 + AB^{2} = 360$

Thể tích hình chóp là $400cm^{3}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Xác định thể tích hình chóp
Tính thể tích hình chóp tam giác đều, biết đường cao $12cm$ , cạnh đáy $10cm$ .
- A.
  $164,12cm^{3}$
- B.
  $173,20cm^{3}$
- C.
  $154,34cm^{3}$
- D.
  $161,84cm^{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Giả sử H là trung điểm của AB
Tam giác ABC đều => CH là đường cao tam giác ABC
Đường cao của tam giác đáy $CH =\sqrt{10^{2} - 5^{2}} \approx 8,66cm$
Hình chóp tam giác đều với cạnh đáy $AB = 10cm$ , đường cao $OD = 12cm$ có
Diện tích đáy: $S = \frac{1}{2}.HC.AB =\frac{1}{2}.10.8,66 = 43,30cm^{2}$
Thể tích hình chóp là: $V =\frac{1}{3}S.OD = \frac{1}{3}.43,3.12 = 173,20cm^{3}$
Câu 11: Vận dụng
Tính diện tích toàn phần của hình chóp
Hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 25cm. Đáy là hình vuông ABCD cạnh 30cm. I là trung điểm của AB. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?
- A.
  $S_{tp} = 1200cm^{2}$
- B.
  $S_{tp} = 1500cm^{2}$
- C.
  $S_{tp} = 900cm^{2}$
- D.
  $S_{tp} =2100cm^{2}$
Hướng dẫn:
Gọi EI là một trung đoạn của hình chóp đều nên SI vuông góc với AB ta có:
$EI^{2} + IB^{2} = EB^{2}$
$\Rightarrow EI^{2} = EB^{2} - IB^{2}\Rightarrow EI^{2} = EB^{2} - \left( \frac{AB}{2}ight)^{2}$
$\Rightarrow EI = \sqrt{25^{2} - 15^{2}}= 20$
Diện tích toàn phần của hình chóp đều là:
$S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = (30 + 30).20 +30.30 = 2100cm^{2}$
Câu 12: Vận dụng cao
Tính thể tích hình chóp tứ giác đều
Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng $80cm^{2}$ và diện tích toàn phần bằng $140cm^{2}$ .
- A.
  $V = 78cm^{3}$
- B.
  $V = 64cm^{3}$
- C.
  $V = 77cm^{3}$
- D.
  $V = 80cm^{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Gọi độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài trung đoạn bằng d.
Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là:
$S_{xq} = pd = 2.a.d =80cm^{2}(*)$
Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều là:
$S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = 2.a.d + a^{2}= 144cm^{2}(**)$
Từ (1) và (2) ta suy ra:
$a^{2} = 144 - 80 = 64 \Rightarrow a =8(cm)$
Thay a = 8 vào (1) ta được d = 5cm
Ta có:
$AC = \sqrt{8^{2} + 8^{2}} =8\sqrt{2}(cm) \Rightarrow BF = 4\sqrt{2}(xm)$
Ta lại có FI = 4cm
Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác SOI ta được:
$SO = \sqrt{SI^{2} - OI^{2}} =\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3(cm)$
Vậy thể tích của hình chóp tứ giác đều đã cho là $V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.8^{2}.3 =64cm^{3}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn công thức sai
Chọn hình vẽ sau:
Chọn công thức sai.
- A.
  $S_{xq} =\frac{3}{2}ad$
- B.
  $S_{d} = a^{2}$
- C.
  $V =\frac{1}{3}.a^{2}b$
- D.
  $S_{tp} = a^{2} +2ad$
Hướng dẫn:
Công thức sai: $S_{xq} =\frac{3}{2}ad$
Sửa lại ${S_{xq}} = \frac{4}{2}ad = 2ad$
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bằng 5, cạnh đáy bằng 6. Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của hình chóp, M là trung điểm của BC, $AB = 2HM$ . Xác định các giá trị sau:

Độ dài cạnh SH || $\sqrt{5}$

Diện tích xung quanh của hình chóp || 48

Diện tích toàn phần của hình chóp || 84

Thể tích của hình chóp || $12\sqrt{5}$
Đáp án là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bằng 5, cạnh đáy bằng 6. Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của hình chóp, M là trung điểm của BC, $AB = 2HM$ . Xác định các giá trị sau:

Độ dài cạnh SH || $\sqrt{5}$

Diện tích xung quanh của hình chóp || 48

Diện tích toàn phần của hình chóp || 84

Thể tích của hình chóp || $12\sqrt{5}$

Hình vẽ minh họa

Chân đường cao của hình chóp là tâm H của hình vuông ABCD.

M là trung điểm của BC

=> SM là trung đoạn của hình chóp.

Tam giác SMC vuông tại M

$\Rightarrow SM = \sqrt{SC^{2} - MC^{2}} = 4$

Tam giác SHM vuông tại H

$\Rightarrow SH = \sqrt{SM^{2} - HM^{2}} = \sqrt{SM^{2} - \frac{AB^{2}}{4}} = \sqrt{5}$

$S_{xq} = (AB + BC).SM = 48$

$S_{tp} = S_{xq} + AB.AD = 84$

$V = \frac{1}{3}SH.AB.AD = 12\sqrt{5}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính diện tích xung quanh của hình chóp
Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều biết độ dài cạnh đáy bằng 6cm, chiều cao của tam giác mặt bên kẻ từ đỉnh của hình chóp tam giác đều bằng 7.
- A.
  $S = 63cm^{2}$
- B.
  $S = 84cm^{2}$
- C.
  $S = 42cm^{2}$
- D.
  $S = 126cm^{2}$
Hướng dẫn:
Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là:
$S = 3.\frac{1}{2}.6.7 = 63\left( cm^{2}ight)$