Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất

Câu 1: Vận dụng

Tính vận tốc riêng của ca nô

Hai bến sông A và B cách nhau $40km$ . Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc $3km/h$ . Sau khi đến bến B, ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được $8km$ . Tính vận tốc riêng của ca nô.

A.
$25km/h$
B.
$30km/h$
C.
$27 km /h$
D.
$20km/h$

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc ca nô là $x(km/h)$

Điều kiện: x > 3

Vận tốc ca nô xuôi dòng là $x + 3(km/h)$

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là $\frac{{40}}{{x + 3}}$ (giờ)

Vận tốc ca nô ngược dòng là $x - 3 (km/h)$

Quãng đường ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: $40 - 8 = 32 km$

Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: $\frac{{32}}{{x - 3}}$ (giờ)

Thời gian bè trôi là: $\frac{8}{3}\left( h ight)$

Ta có phương trình:

$\begin{matrix} \dfrac{{40}}{{x + 3}} + \dfrac{{32}}{{x - 3}} = \dfrac{8}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{{x + 3}} + \dfrac{4}{{x - 3}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {x - 3} ight) + 12\left( {x + 3} ight) = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 15x - 45 + 12x + 36 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 27x - 9 = {x^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = 27x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 27} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

So sánh với điều kiện thì chỉ có nghiệm $x = 27$ thỏa mãn

Suy ra vận tốc của ca nô là $27km/h$ .

Câu 2: Thông hiểu

Xác định hai số chẵn liên tiếp

Hai số chẵn liên tiếp biết biết tích của chúng là 24 là:

A. $4; 6$
B. $8; 10$
C. $6; 8$
D. $2; 4$

Hướng dẫn:

Gọi 2 số chẵn liên tiếp cần tìm là $x; x + 2$

Điều kiện: $x > 0; x \in \mathbb{Z}$

Theo bài ra ta có:

$x(x + 2) = 24 ⇔ x^2 + 2x - 24 = 0$

Do $x + 6 > 0; ∀ x > 0$

$⇔ (x - 4)(x + 6) = 0 ⇔ x = 4$

Vậy hai số cần tìm là $4;6$ .

Câu 3: Vận dụng

Tính thời gian làm việc của người thứ 2

Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong 24 giờ. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau $\frac{{26}}{3}$ giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong $\frac{{22}}{3}$ giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.

A.
22 giờ
B.
20 giờ
C.
19 giờ
D.
21 giờ

Hướng dẫn:

Gọi thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai một mình là x (phút)

Điều kiện: $x > \frac{{22}}{3}$

Năng suất làm việc của người thứ nhất là: $\frac{1}{{24}}$

Năng suất làm việc của người thứ hai là: $\frac{1}{x}$

Năng suất làm chung của cả hai người là: $\frac{1}{{24}} + \frac{1}{x}$

Người thứ nhất khi làm một mình trong $\frac{{26}}{3}$ giờ làm được số lượng công việc là: $\frac{1}{{24}}.\frac{{26}}{3} = \frac{{13}}{{36}}$ (công việc)

Người thứ hai khi làm một mình trong $\frac{{22}}{3}$ giờ làm được số lượng công việc là: $\frac{{22}}{3}.\left( {\frac{1}{{24}} + \frac{1}{x}} ight)$ (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình:

$\begin{matrix} \dfrac{{13}}{{36}} + \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} ight) = \dfrac{{23}}{{26}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{23}}{{264}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{22}} \hfill \\ x = 22\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy nếu làm riêng người thứ hai cần làm trong 22 giờ thì xong công việc.

Câu 4: Nhận biết

Tìm mối liên hệ giữa các biến

Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất 15km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:

A.
15x (km/h)
B.
15 : x (km/h)
C.
x + 15(km/h)
D.
x – 15 (km/h)

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h)

Vì xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất 15km/h nên vận tốc xe thứ nhất là x + 15 (km/h)

Câu 5: Thông hiểu

Tính chiều rộng hình chữ nhật

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3cm$ . Chu vi hình chữ nhật là $200cm$ . Chiều rộng hình chữ nhật là:

A. $23,5cm$
B. $100cm$
C. $3cm$
D. $48,5cm$

Hướng dẫn:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $x(cm)$

=> Chiều dài hình chữ nhật là $x + 3(cm)$

Do chu vi hình chữ nhật là $100cm$ nên ta có:

$2[ x + (x + 3) ] = 200$

$⇔ 2x + 3 = 100 ⇔ x = 48,5$

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là $48,5cm$

Câu 6: Vận dụng

Tính số sản phẩm làm được trong một giờ

Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.

A.
12
B.
10
C.
18
D.
15

Hướng dẫn:

Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x (sản phẩm)

Điều kiện: $0 < x ≤ 20$

Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là $\frac{{85}}{x}$ (giờ)

Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là $x + 3$ (sản phẩm).

Do đó 96 sản phẩm được làm trong $\frac{{96}}{{x + 3}}$ (giờ)

Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút = $\frac{1}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\begin{matrix} \dfrac{{85}}{x} - \dfrac{{96}}{{x + 3}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{85.3.\left( {x + 3} ight)}}{{3x\left( {x + 3} ight)}} - \dfrac{{96.3x}}{{3x\left( {x + 3} ight)}} = \dfrac{{x\left( {x + 3} ight)}}{{3x\left( {x + 3} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow 255x + 765 - 288x = {x^2} + 3x \hfill \\ \Leftrightarrow 765 - 33x = {x^2} + 3x \hfill \\ \Leftrightarrow - {x^2} - 36x + 765 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - {x^2} + 15x - 51x + 765 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - x\left( {x - 15} ight) - 51\left( {x - 15} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( { - x - 51} ight)\left( {x - 15} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 51\left( {ktm} ight)} \\ {x = 15\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.

Câu 7: Vận dụng

Tính số học sinh lớp B

Hai lớp A và B của một trường trung học tổ chức cho học sinh tham gia một buổi meeting. Người ta xem xét số học sinh mà một học sinh lớp A nói chuyện với học sinh lớp B thì thấy rằng: Bạn Khiêm nói chuyện với 5 bạn, bạn Long nói chuyện với 6 bạn, bạn Tùng nói chuyện với 7 bạn,…và đến bạn Hải là nói chuyện với cả lớp B. Tính số học sinh lớp B biết 2 lớp có tổng cộng 80 học sinh.

A. 38 học sinh
B. 40 học sinh
C. 35 học sinh
D. 42 học sinh

Hướng dẫn:

Gọi số học sinh lớp A là x (học sinh)

Điều kiện: $x > 0; x \in \mathbb{N^*}$

Bạn thứ nhất của lớp A (Khiêm) nói chuyện với 4 + 1 bạn

Bạn thứ hai của lớp A (Long) nói chuyện với 4 + 2 bạn

Bạn thứ ba của lớp A (Tùng) nói chuyện với 4 + 3 bạn

…………………

Bạn thứ x của lớp A (Hải) nói chuyện với bạn

Do đó số học sinh lớp B là $4 + x$

Vì 2 lớp có tổng cộng $80$ học sinh nên ta có:

$x + (4 + x) = 80$

$⇔ 2x - 76 = 0$

$⇔ x = 38$

Vậy số học sinh lớp B là: $80 - 38 = 42$ (Học sinh)

Câu 8: Thông hiểu

Tính thời gian hai xe gặp nhau

Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 15 km/h. Sau đó 6 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

A. 3 giờ
B. 2 giờ
C. 4 giờ
D. 1 giờ

Hướng dẫn:

Gọi thời gian từ lúc xe hơi chạy đến lúc đuổi kịp xe đạp là $x$ (giờ)

Điều kiện: $x > 0$

=> Thời gian kể từ lúc xe đạp đi đến lúc xe hơi đuổi kịp là $x + 6$ (giờ)

Quãng đường xe đạp đi được là $S_1 = 15(x + 6)$ (km)

Quãng đường xe hơi đi được là $S_2 = 60x$ (km)

Vì hai xe xuất phát tại điểm A nên khi gặp nhau $S_1 = S_2$

Khi đó ta có phương trình:

$15(x + 6) = 60x ⇔ 60x - 15x = 90 ⇔ x = 2(h) (tm)$

Vậy xe hơi chạy được 2 giờ thì đuổi kịp xe đạp.

Câu 9: Thông hiểu

Xác định công thức tính vận tốc

Xe máy và ô tô cùng đi trên một con đường, biết vận tốc của xe máy là x (km/h) và mỗi giờ ô tô lại đi nhanh hơn xe máy 20km. Công thức tính vận tốc ô tô là:

A.
20 – x (km/h)
B.
20 + x (km/h)
C.
x – 20 (km/h)
D.
20x (km/h)

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h)

Điều kiện: x > 0

Biết mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn xe máy 20km

Khi đó vận tốc của ô ô hơn vận tốc của xe máy là 20km/h

Suy ra công thức tính vận tốc ô tô là x + 20 (km/h) hay 20 + x (km/h).

Câu 10: Thông hiểu

Tính tuổi của người con

Mẹ hơn con 24 tuổi. Sau 2 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tuổi của con hiện nay là:

A.
15
B.
10
C.
5
D.
20

Hướng dẫn:

Gọi số tuổi của con hiện tại là $x$ (tuổi)

Điều kiện: $x \in {\mathbb{N}^*}$

=> Số tuổi của mẹ là $x + 24$ (Tuổi)

Theo bài ra ta có:

$3(x + 2) = x + 24 + 2$

$⇔ 3x + 6 = x + 26$

$⇔ 2x - 20 = 0$

$⇔ x = 10$

Vậy hiện tại tuổi của con là $10$ tuổi.

Câu 11: Nhận biết

Xác định thời gian đi của cano

Một ca nô và một tàu thủy khởi hành cùng một lúc trên một con sông. Biết tàu thủy đến chậm hơn ca nô 3 giờ. Nếu gọi thời gian đi của tàu thủy là x thì thời gian đi của ca nô là:

A.
3x
B.
x – 3
C.
3 – x
D.
x + 3

Hướng dẫn:

Gọi thời gian đi của tàu thủy là x (giờ)

Điều kiện: x > 0

Biết tàu thủy đến chậm hơn cano 3 giờ

Suy ra thời gian đi của cano là x - 3 (giờ).

Câu 12: Vận dụng

Tính vận tốc trung bình

Một người đi từ A đến B. Trong nửa quãng đường đầu người đó đi với vận tốc $20km/h$ phần đường còn lại đi với tốc độ $30km/h$ . Vận tốc trung bình của người đó khi đi từ A đến B là:

A.
$20km/h$
B.
$25km/h$
C.
$24km/h$
D.
$30km/h$

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc trung bình của người đó là: $x(km/h)$ ; độ dài nửa quãng đường AB là: $S (km)$

Khi đó ta có:

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là: $\frac{S}{{20}}$ (giờ)

Thời gian đi nửa quãng đường sau là: $\frac{S}{{30}}$ (giờ)

=> Thời gian đi cả quãng đường AB là:

$\begin{matrix} \dfrac{S}{{20}} + \dfrac{S}{{30}} = \dfrac{{2S}}{x} \Rightarrow \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{30}} = \dfrac{2}{x} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{30}}}} \Rightarrow x = 24 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy vận tốc trung bình là $24km/h$ .

Câu 13: Thông hiểu

Tính vận tốc trung bình

Một người đi từ A đến B. Trong nửa quãng đường đầu người đó đi với vận tốc $20km/h$ phần đường còn lại đi với tốc độ $40km/h$ . Vận tốc trung bình của người đó khi đi từ A đến B là:

A. $25km/h$
B. $20km/h$
C. $27km/h$
D. $30km/h$

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc trung bình của người đó là: $x(km/h)$

Gọi độ dài nửa quãng đường AB là: $a(km)$

Khi đó ta có:

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là: $\frac{a}{{20}}$ (giờ)

Thời gian đi nửa quãng đường sau là: $\frac{a}{{40}}$ (giờ)

=> Thời gian đi cả quãng đường AB là:

$\begin{matrix} \dfrac{a}{{20}} + \dfrac{a}{{40}} = \dfrac{{2a}}{x} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{40}} = \dfrac{2}{x} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{40}} = \dfrac{2}{x} \hfill \\ \Leftrightarrow x \approx 27km/h \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy vận tốc trung bình của người đó khi đi từ A đến B khoảng $27km/h$ .

Câu 14: Thông hiểu

Tính chiều rộng của hình chữ nhật

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3cm$ . Chu vi hình chữ nhật là $100cm$ . Chiều rộng hình chữ nhật là:

A.
$3cm$
B.
$47cm$
C.
$100cm$
D.
$23,5cm$

Hướng dẫn:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $x(cm)$

Điều kiện: $x > 0$

=> Chiều dài hình chữ nhật là $x + 3(cm)$

Do chu vi hình chữ nhật là 100cm nên ta có:

$2.[x + (x + 3) ] = 100$

$⇔ 2x + 3 = 50$

$⇔ x = 23,5$

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là $23,5cm$ .

Câu 15: Thông hiểu

Viết phương trình cho bài toán

Chu vi một mảnh vườn hình chữ nhật là 45m. Biết chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là x (x > 0; m) thì phương trình của bài toán là

A.
(2x + 5).2 = 45
B.
3 – x
C.
3x
D.
x + 3

Hướng dẫn:

Gọi chiều rộng mảnh vườn là x (m)

Điều kiện: x > 0

Theo bài ra ta có:

Chiều dài hơn chiều rộng 5m

=> Chiều dài mảnh vườn là x + 5 (m)

Lại có chu vi mảnh vườn là 45m nên ta có phương trình:

(x + x + 5).2 = 45

Hay (2x + 5).2 = 45

Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 8 CTST

Chương 1: Biểu thức đại số

Luyện tập Đơn thức và đa thức nhiều biến

Luyện tập Các phép tính với đa thức nhiều biến

Luyện tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

Luyện tập Phân tích đa thức thành nhân tử

Luyện tập Phân thức đại số

Luyện tập Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Luyện tập Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Ôn tập chương 1

Chương 2: Các hình khối trong thực tiễn

Luyện tập Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều

Luyện tập Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp

Luyện tập Định lí Pythagore

Luyện tập Tứ giác

Luyện tập Hình thang Hình thang cân

Luyện tập Hình bình hành – Hình thoi

Luyện tập Hình chữ nhật Hình vuông

Ôn tập Chương 3

Chương 4: Một số yếu tố thống kê

Luyện tập Thu thập và phân loại dữ liệu

Luyện tập Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu

Luyện tập Phân tích dữ liệu

Đề thi HK1

Đề thi học kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo (Đề 1)

Đề thi học kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo (Đề 2)

Đề thi học kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo (Đề 3)

Đề thi học kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo (Đề 4)

Chương 5: Hàm số và đồ thị

Luyện tập Khái niệm hàm số

Luyện tập Tọa độ của một điểm và đồ thị của hàm số

Luyện tập Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Luyện tập Hệ số góc của đường thẳng

Đề thi giữa học kì 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán lớp 8 - Đề 1

Đề thi giữa học kì 2 Toán lớp 8 - Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán lớp 8 - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán lớp 8 - Đề 4

Đề thi giữa học kì 2 Toán lớp 8 - Đề 5

Chương 6: Phương trình

Luyện tập Phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất

Ôn tập chương 6 Phương trình

Chương 7: Định lí Thalès

Luyện tập Định lí Thalès trong tam giác

Luyện tập Đường trung bình của tam giác

Ôn tập chương 7 Định lí Thalès trong tam giác

Chương 8: Hình đồng dạng

Luyện tập Hai tam giác đồng dạng

Luyện tập Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Luyện tập Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Ôn tập chương 8 Hình đồng dạng

Chương 9: Một số yếu tố xác suất

Luyện tập Mô tả xác suất bằng tỉ số

Luyện tập Xác suất lí thuyết và xác suất thực nghiệm

Ôn tập chương 9

Đề thi học kì 2

Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề 1

Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề 2

Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề 3

Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề 4