Luyện tập Hình bình hành – Hình thoi - Bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo

Câu 1: Thông hiểu

Xác định tứ giác BDCM

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $M$ . Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $AB$ và $AC$ cắt nhau tại $D$ . Xác định tứ giác $BDCM$ ?

A.
Hình thoi
B.
Hình thang
C.
Hình thang có hai góc vuông kề nhau
D.
Hình bình hành

Hướng dẫn:

Ta có:

Xác định tứ giác BDCM

Gọi $BK, CI$ là các đường cao của tam giác $ABC$ .

Khi đó $BK ⊥ AC; CI ⊥ AB$ hay $BM ⊥ AC; CM ⊥ AB$ (vì M là trực tâm).

Lại có $BD ⊥ AB; CD ⊥ AC$ (giả thiết) nên $BD // CM$ (cùng vuông với $AB$ )

và $CD // BM$ (cùng vuông với $AC$ )

Suy ra tứ giác $BMCD$ là hình bình hành.

Câu 2: Vận dụng

Xác định tứ giác ADKE

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Lấy điểm $D$ trên cạnh $AB$ , điểm $E$ trên $AC$ sao cho $AD = CE$ . Gọi $O$ là trung điểm của $DE$ , gọi $K$ là giao điểm của $AO$ và $BC$ . Xác định tứ giác $ADEK$ .

A.
Hình bình hành
B.
Hình thang
C.
Hình thang cân
D.
Hình thoi

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Xác định tứ giác ADKE

Kẻ $DH//BC;OI//BC$ ; $\widehat{ADH} = \widehat{B};\widehat{ACH} = \widehat{C}$ mà $\widehat{C} = \widehat{B} \Rightarrow \widehat{ADH} = \widehat{ACH}$

Tam giác $ADH$ cân => $AH = AD = CE$ chứng minh tiếp $HI = IE$

Suy ra $AI = IC;AO = OK$

Suy ra tứ giác $ADKE$ là hình bình hành.

Câu 3: Thông hiểu

Tính độ dài AC

Cho hình thoi $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 6cm và $\widehat{CDB} = 30^{0}$ . Tính độ dài cạnh $AC$ .

A.
$6cm$
B.
$4cm$
C.
$8cm$
D.
$10cm$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo

Do ABCD là hình thoi nên $BD$ là đường phân giác của góc $\widehat{ADC}$

$\Rightarrow \widehat{ADC} =2\widehat{CDB} = 60^{0}$

Xét tam giác $ADC$ có $AD = CD$ (vì $ABCD$ là hình thoi) và $\widehat{ADC} = 60^{0}$

=> Tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = CD = DA = 6cm$

$=> AC = AB = BC = 6cm$

Câu 4: Thông hiểu

Tứ giác ABCE là hình gì

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^{0}$ . Kẻ $BH\bot AD$ , trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $E$ sao cho $HE = HB$ . Xác định tứ giác $ABCE$ .

A.
Hình thang cân
B.
Hình bình hành
C.
Hình thang
D.
Hình thoi

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tứ giác $ABDE$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Có $ABCD$ là hình thoi

$=> CD // AB$

Lại có $ABDE$ là hình thoi $=> DE // AB$ => E, D, C thẳng hàng

Xét tứ giác $ABDE$ có $AB // CE$ => $ABCE$ là hình thang

Lại có $AE = AB = BC$ => $ABCE$ là hình thang có hai cạnh kề bằng nhau

$\widehat{C} = \widehat{E} =60^{0}$ => $ABCE$ là hình thang cân.

Câu 5: Vận dụng

Tìm điều kiện để DE đi qua A

Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để DE đi qua A?

A.
Tam giác ABC vuông tại C
B.
Tam giác ABC đều
C.
Tam giác ABC cân tại A
D.
Tam giác ABC vuông cân tại B

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Tìm điều kiện để DE đi qua A

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} BE \bot AC \hfill \\ DC \bot AC \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BE//DC\left( 1 ight)$

Lại có: $\left\{ \begin{gathered} CE \bot AB \hfill \\ BC \bot AB \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow CE//BD\left( 2 ight)$

Từ (1) và (2) suy ra $BDCE$ là hình bình hành.

Vì $BDCE$ là hình bình hành và M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DE.

DE đi qua A khi và chỉ khi A, E, M thẳng hàng.

Vì E là giao điểm hai đường cao BH và CK nên AE là đường cao trong tam giác ABC.

Vậy AE qua M khi và chỉ khi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A trùng nhau, hay tam giác ABC cân tại A.

Câu 6: Nhận biết

Tìm khẳng định sai

Chọn khẳng đinh sai trong các khẳng định dưới đây.

A.
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
B.
Hình bình hành có đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi
C.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau là hình thoi
D.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

Hướng dẫn:

Ta có:

+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

Vậy khẳng định sai là: “Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau là hình thoi”.

Câu 7: Thông hiểu

Chọn khẳng định sai

Cho hình thoi $ABCD$ . Trên cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $P$ và $Q$ sao cho $AB = 3AP;CD = 3CQ$ . Gọi $I$ là giao điểm của $PQ$ và $AD$ , $K$ là giao điểm của $DP$ và $BI$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$BA$ là trung tuyến tam giác $ABI$
B.
$BK = 2IK$
C.
$MBCQ$ là hình bình hành
D.
Tam giác $BID$ vuông tại $B$

Hướng dẫn:

Gọi $M$ là trung điểm của $BP$ $=> MB = CQ$ => $MBCQ$ là hình bình hành

$=> QM = BC; QM // BC$

$\Delta AIP = \Delta MQP(g - c - g) \Rightarrow AI = MQ$

$\Rightarrow AI = AD( = MQ)$

=> Tam giác $BID$ có $BA$ là đường trung tuyến $=> AI = AD = AB$ => Tam giác $BID$ vuông tại $B$

Xét tam giác $BID$ có $BA$ là đường trung tuyến và $AB = 3AP$

=> $P$ là trọng tâm tam giác $BID$ => $BK = IK$

Vậy kết luận sai là: “ $BK = 2IK$ ”

Câu 8: Thông hiểu

Xác định tứ giác BMND

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^{0}$ . Từ $B$ và $C$ kẻ $BE$ và $CF$ lần lượt vuông góc với $AD$ và $DC$ . Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $BE$ và $CF$ với $AC$ . Xác định tứ giác $BMND$ .

A.
Hình bình hành
B.
Hình thoi
C.
Hình thang
D.
Hình vuông

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Xác định tứ giác BMND

Ta có: $\widehat A = {60^0}$ khi đó tam giác $BDC$ và tam giác $ABD$ là các tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat {EBD} = \widehat {FBD} = {30^0}$

$\Rightarrow \widehat{EBD} = \widehat{FBD} = 30^{0}$

Suy ra tam giác $BEF$ đều (tam giác cân cáo một góc bằng 60⁰)

Ta đi chứng minh $MB = BN = ND = DM$

$AC$ là đường trung trực của $BD$ $=> MB = MD (1)$

$AC$ là đường trung trực của $BD$ $=> BN = ND (2)$

Ta lại có $\Delta ABE = \Delta CBF(ch - gn) \Rightarrow \widehat{ABE} = \widehat{CBF}$

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta CBN \Rightarrow MB = NB(3)$

Từ (1), (2), (3) suy ra $MB = BN = ND = DM$

Vậy tứ giác $BMND$ là hình thoi.

Câu 9: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh hình thoi

Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là $20cm$ và $10cm$ . Tính độ dài cạnh hình thoi.

A.
$5cm$
B.
$5\sqrt{5}cm$
C.
$6\sqrt{5}cm$
D.
$\sqrt{105}cm$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Tính độ dài cạnh hình thoi

Ta có: $ABCD$ là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại E và $AC = 10; BD = 20$

Do $ABCD$ là hình thoi nên $\left\{ \begin{gathered} AC \bot BD \hfill \\ AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.10 = 5 \hfill \\ BE = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.20 = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$AB^{2} = AE^{2} + BE^{2} = 5^{2} + 10^{2} = 125$

$\Rightarrow AB = 5\sqrt{5}$

Câu 10: Vận dụng

Xác định tứ giác MNPQ

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0}$ . Từ một điểm $H$ bất kì trên cạnh $BC$ kẻ đường đường vuông góc với $BC$ , cắt tia đối của $AB$ tại $F$ , cắt $AC$ tại $D$ . Tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ và $HD$ lần lượt tại $M$ và $P$ , tia phân giác góc $F$ cắt $BH$ và $DA$ lần lượt tại $N$ và $Q$ . Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?

A.
Hình thang
B.
Hình thoi
C.
Hình thang cân
D.
Hình bình hành

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$

$\widehat{C} = \widehat{F}$ (cùng phụ với góc $\widehat{B}$ )

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{C_{1}} = \widehat{F_{1}} \\\widehat{CPH} = \widehat{OPF} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CM\bot FN$

Ta có: tam giác $PFM$ cân tại $F$ $=> PO = OM$

=> Tam giác $NCQ$ cân tại $C$ $=> NO = OQ$

Tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và hai đường chéo đó vuông góc với nhau nên $MNPQ$ là hình thoi.

Câu 11: Thông hiểu

Tính số đo góc A và góc B

Cho hình thoi $ABCD$ có góc $A$ là góc tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh $A$ đến $CD$ chia đôi cạnh đó. Khi đó số đo góc $A$ và góc $B$ của hình thoi là:

A.
$\left\{ \begin{matrix}\widehat{A} = 120^{0} \\\widehat{B} = 60^{0} \\\end{matrix} ight.$
B.
$\left\{ \begin{matrix}\widehat{A} = 60^{0} \\\widehat{B} = 120^{0} \\\end{matrix} ight.$
C.
$\left\{ \begin{matrix}\widehat{A} = 135^{0} \\\widehat{B} = 45^{0} \\\end{matrix} ight.$
D.
$\left\{ \begin{matrix}\widehat{A} = 45^{0} \\\widehat{B} = 135^{0} \\\end{matrix} ight.$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ đến cạnh $CD$ và từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix}AH\bot CD \\CH = HD \\\end{matrix} ight.$ => $AH$ là đường trung trực của đoạn $CD$ nên $AC = AD (1)$

Áp dụng định nghĩa vào hình thoi $ABCD$ nên tam giác $ACD$ là tam giác đều

=> $\widehat{D} = 60^{0} \Rightarrow\widehat{D} = \widehat{B} = 60^{0}$

Vì góc $D$ và góc $A$ là hai góc trong cùng phía của hình thoi nên $\widehat{D} + \widehat{A} = 180^{0} \Rightarrow\widehat{A} = 120^{0}$

Vậy $\left\{ \begin{matrix}\widehat{A} = 120^{0} \\\widehat{B} = 60^{0} \\\end{matrix} ight.$

Câu 12: Nhận biết

Tìm đáp án đúng

Chọn đáp án đúng trong các đáp án dưới đây?

A.
Hình thoi là tứ giác có bốn góc bằng nhau.
B.
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
C.
Hình thoi là tứ giác có ba góc vuông.
D.
Hình thoi là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau.

Hướng dẫn:

Khẳng định đúng: “Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.”

Câu 13: Nhận biết

Chọn khẳng định đúng

Chọn câu trả lời đúng.

A.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
B.
Hình bình hành và hình thoi đều có bốn góc bằng nhau.
C.
Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
D.
Hình bình hành và hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.

Hướng dẫn:

Câu trả lời đúng là: “Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.”

Câu 14: Vận dụng

Tìm điều kiện để tứ giác là hình thang cân

Cho hình bình hành $ABCD$ . Lấy các điểm $M, N$ lần lượt nằm trên $AB$ và $CD$ sao cho $AM = DN$ . Đường trung trực của $BM$ lần lượt cắt các đường thẳng $MN$ và $BC$ tại $E$ và $F$ . Cần thêm điều kiện gì của tứ giác $ABCD$ để tứ giác $BCNE$ là hình thang cân?