Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là:
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt bằng 
và . Độ dài cạnh hình thoi đó là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi là giao điểm của
Do là hình thoi suy ra
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tại
ta có:
Vậy độ dài cạnh hình thoi là .
Cho hình thang cân có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC và đồng thời BD là tia phân giác góc . Tính số đo các góc B và góc D hình thang cân ABCD.
Tam giác DBC vuông:
Cho hình thang biết . Tính đường cao .
Hình vẽ minh họa
Ta tính được
Vận dụng nhận xét hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, để tính được
Chứng minh tam giác vuông cân tại
, nên
.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và hai đường chéo bằng nhau là:
Tứ giác có hai cạnh đối song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Tính giá trị của x trong hình vẽ dưới đây:
Kẻ
Khi đó ACDH là hình chữ nhật, suy ra:
Do đó:
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ∆AHB vuông tại H, ta có:
Cho hình vẽ.
Tính độ dài cạnh DC. biết .
Tam giác vuông tại
nên
Lại có BD là phân giác góc nên
Tam giác ABC vuông tại A có nên
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A có: nên
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A ta có
Cho hình bình hành ABCD, . Gọi H là hình chiếu của B trên AD, M là trung điểm của CD. Tính số đo góc ?
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm AB, có
MN // DA
DA ⊥ BH
=> MN ⊥ BH và MN đi qua trung điểm của BH
=> MN là đường trung trực của BH
Lại có
Một tứ giác là hình bình hành nếu nó là:
Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau và song song.
Cho tam giác cân tại , trung tuyến . Gọi là trung điểm của , là điểm đối xứng với qua . Tứ giác là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Tam giác cân tại
,
là đường trung tuyến nên
đồng thời là đường cao.
Xét tứ giác có:
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Lại có (cmt) nên hình bình hành
là hình chữ nhật.
Chọn đáp án không chính xác trong các đáp án dưới đây?
Ta có:
Trong hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau, bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Hai đường chéo trong hình vuông đồng thời là trục đối xứng của hình vuông đó.
Vậy đáp án không chính xác là: “Trong hình vuông có hai đường chéo không vuông góc với nhau.”
Cho nhọn, các đường cao . Tia phân giác của góc ABD và ACE cắt nhau tại O, cắt AC và AB lần lượt tại N và M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Khi đó tứ giác MNHK là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Xét tam giác ABN có (góc ngoài của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Lại có CO là phân giác góc NCK từ đó ta có O là trung điểm NK.
Chứng minh tương tự, O là trung điểm của MH.
Tứ giác MNHK có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường nên MNHK là hình thoi.
Cho hình vuông có cạnh bằng . Giả sử là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh sao cho . Tính chu vi tam giác ?
Hình vẽ minh họa:
Đường thẳng qua C vuông góc với CE cắt AD tại I
(cùng phụ với góc
)
Do đó hai tam giác vuông BCE và DCI bằng nhau
Suy ra
Từ đó ta chứng minh được
=> .
Từ đây, tương tự như trên ta chứng minh được tam giác AEF có chu vi bằng 2.
Cho hình thoi có . Kẻ . Tính số đo góc
Hình vẽ minh họa
Hình thoi ABCD có AB = BC và nên tam giác ABC đều
Do đó đường cao AF cũng là đường phân giác suy ra
Tương tự ta cũng chứng minh được
Vậy
Cho tam giác có trực tâm . Từ và kẻ các đường vuông góc với và cắt nhau tại . Xác định tứ giác ?
Ta có:
Gọi là các đường cao của tam giác
.
Khi đó hay
(vì M là trực tâm).
Lại có (giả thiết) nên
(cùng vuông với
)
và (cùng vuông với
)
Suy ra tứ giác là hình bình hành.
