Lớp 10 Toán 10 - Kết nối tri thức

Luyện tập Hệ thức lượng trong tam giác (Dễ)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính số đo góc A

    Tam giác ABC có AB = 5,\ \ BC = 7,\ \ CA = 8. Số đo góc \widehat{A} bằng:

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm cosin, ta có \cos\widehat{A} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC} = \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2.5.8} = \frac{1}{2}.

    Do đó, \widehat{A} = 60{^\circ}.

  • Câu 2: Nhận biết
    Tính độ dài cạnh BC

    Tam giác ABC có AB = 2,\ \ AC = 1 và \widehat{A} = 60{^\circ}. Tính độ dài cạnh BC.

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm cosin, ta có BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB.AC.cos\widehat{A} = 2^{2} + 1^{2} - 2.2.1.cos60{^\circ} = 3 \Rightarrow BC = \sqrt{3}.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính độ dài cạnh BC

    Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và \widehat{ACB} = 60{^\circ}. Tính độ dài cạnh cạnh BC.

    Hướng dẫn:

    Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của AB,\ \ BC.

    \overset{}{ightarrow}MN là đường trung bình của \Delta ABC.

    \overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}AC. Mà MN = 3, suy ra AC = 6.

    Theo định lí hàm cosin, ta có:

    AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{ACB}

    \Leftrightarrow 9^{2} = 6^{2} + BC^{2} - 2.6.BC.cos60{^\circ}

    \Rightarrow BC = 3 + 3\sqrt{6}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính độ dài cạnh BC

    Tam giác ABC có AB = \sqrt{2},\ \ AC = \sqrt{3} và \widehat{C} = 45{^\circ}. Tính độ dài cạnh BC.

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm cosin, ta có

    AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{C}

    \Rightarrow \left( \sqrt{2} ight)^{2} = \left( \sqrt{3} ight)^{2} + BC^{2} - 2.\sqrt{3}.BC.cos45{^\circ}

    \Rightarrow BC = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}.

  • Câu 5: Nhận biết
    Tính độ dài cạnh AC

    Tam giác ABC có \widehat{B} = 60{^\circ},\ \ \widehat{C} = 45{^\circ} và AB = 5. Tính độ dài cạnh AC.

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm sin, ta có \frac{AB}{\sin\widehat{C}} = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{sin45{^\circ}} = \frac{AC}{sin60{^\circ}} \Rightarrow AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}.

  • Câu 6: Nhận biết
    Tính độ dài cạnh a

    Cho \Delta ABC có b = 6,c = 8,\widehat{A} = 60^{0}. Độ dài cạnh a là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A = 36 + 64 - 2.6.8.cos60^{0} = 52

    \Rightarrow a = 2\sqrt{13}.

  • Câu 7: Nhận biết
    Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp

    Cho \Delta ABCcó S = 84,a = 13,b = 14,c = 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: S_{\Delta ABC} = \frac{a.b.c}{4R} \Leftrightarrow R = \frac{a.b.c}{4S} = \frac{13.14.15}{4.84} = \frac{65}{8}.

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính diện tích tam giác

    Cho \Delta ABCcó a = 6,b = 8,c = 10. Diện tích S của tam giác trên là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: Nửa chu vi \Delta ABC: p = \frac{a + b + c}{2}.

    Áp dụng công thức Hê-rông: S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)} = 24.

  • Câu 9: Nhận biết
    Tính số đo góc B

    Cho \Delta ABC thỏa mãn : 2cosB = \sqrt{2}. Khi đó:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 2cosB = \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}.

  • Câu 10: Nhận biết
    Tính số đo góc A

    Cho \Delta ABC vuông tại B và có \widehat{C} = 25^{0}. Số đo của góc A là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: Trong \Delta ABC \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{A} = 180^{0} - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^{0} - 90^{0} - 25^{0} = 65^{0}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính độ dài cạnh AC

    Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1\ \ cm và có \widehat{BAD} = 60{^\circ}. Tính độ dài cạnh AC.

    Hướng dẫn:

    Do ABCD là hình thoi, có \widehat{BAD} = 60{^\circ} \Rightarrow \widehat{ABC} = 120{^\circ}.

    Theo định lí hàm cosin, ta có

    AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\widehat{ABC}

    = 1^{2} + 1^{2} - 2.1.1.cos120{^\circ} = 3 \Rightarrow AC = \sqrt{3}

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính độ dài cạnh AM

    Tam giác ABC có AB = 4,\ \ BC = 6,\ \ AC = 2\sqrt{7}. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm cosin, ta có : \cos B = \frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2.AB.BC} = \frac{4^{2} + 6^{2} - \left( 2\sqrt{7} ight)^{2}}{2.4.6} = \frac{1}{2}.

    Do MC = 2MB\overset{}{ightarrow}BM = \frac{1}{3}BC = 2.

    Theo định lí hàm cosin, ta có:

    \begin{matrix} AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} - 2.AB.BM.cos\widehat{B} \\ \\ \end{matrix}

    = 4^{2} + 2^{2} - 2.4.2.\frac{1}{2} = 12 \Rightarrow AM = 2\sqrt{3}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính số đo góc D

    Tam giác ABC có AB = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2},\ \ BC = \sqrt{3},\ \ CA = \sqrt{2}. Gọi D là chân đường phân giác trong góc \widehat{A}. Khi đó góc \widehat{ADB} bằng bao nhiêu độ?

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm cosin, ta có:

    \begin{matrix} \cos\widehat{BAC} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2.AB.AC} = - \frac{1}{2} \\ \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \widehat{BAC} = 120{^\circ} \Rightarrow \widehat{BAD} = 60{^\circ}

    \cos\widehat{ABC} = \frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2.AB.BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{ABC} = 45{^\circ}

    Trong \Delta ABD có \widehat{BAD} = 60{^\circ},\ \ \widehat{ABD} = 45{^\circ} \Rightarrow \widehat{ADB} = 75{^\circ}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?

    Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 32\ \ cm. Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Do tam giác ABC vuông tại A, có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông AB:AC là 3:4 nên AB là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.

    Ta có \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \Rightarrow AC = \frac{4}{3}AB.

    Trong \Delta ABC có AH là đường cao

    \Rightarrow \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{\left( \frac{4}{3}AB^{2} ight)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{32^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{9}{16AB^{2}} \Rightarrow AB = 40.

  • Câu 15: Vận dụng
    Độ dài lớn nhất của đoạn OB là

    Cho góc \widehat{xOy} = 30{^\circ}. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm sin, ta có:

    \frac{OB}{\sin\widehat{OAB}} = \frac{AB}{\sin\widehat{AOB}} \Leftrightarrow OB = \frac{AB}{\sin\widehat{AOB}}.sin\widehat{OAB} = \frac{1}{sin30{^\circ}}.sin\widehat{OAB} = 2sin\widehat{OAB}

    Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi \sin\widehat{OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat{OAB} = 90{^\circ}.

    Khi đó OB = 2.

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Cho góc \widehat{xOy} = 30{^\circ}. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:

    Hướng dẫn:

    Theo định lí hàm sin, ta có

    \frac{OB}{\sin\widehat{OAB}} = \frac{AB}{\sin\widehat{AOB}} \Leftrightarrow OB = \frac{AB}{\sin\widehat{AOB}}.sin\widehat{OAB} = \frac{1}{sin30{^\circ}}.sin\widehat{OAB} = 2sin\widehat{OAB}

    Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi \sin\widehat{OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat{OAB} = 90{^\circ}.

    Khi đó OB = 2.

    Tam giác OAB vuông tại A \Rightarrow OA = \sqrt{OB^{2} - AB^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí

    Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60^{0}. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40,\ \ \ AC = 30 và \widehat{A} = 60^{0}.

    Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có

    a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A = 30^{2} + 40^{2} - 2.30.40.cos60^{0} = 900 + 1600 - 1200 = 1300.

    Vậy BC = \sqrt{1300} \approx 36 (hải lí).

    Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40m, \widehat{CAB} = 45^{0} và \widehat{CBA} = 70^{0}.Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}

    Vì \sin C = \sin(\alpha + \beta) nên AC = \frac{AB.sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{40.sin70^{0}}{sin115^{0}} \approx 41,47m.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây

    Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).

    Biết AH = 4m,HB = 20m,\widehat{BAC} = 45^{0}.

    Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Trong tam giác AHB, ta có \tan\widehat{ABH} = \frac{AH}{BH} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \overset{}{ightarrow}\widehat{ABH} \approx 11^{0}19'.

    Suy ra \widehat{ABC} = 90^{0} - \widehat{ABH} = 78^{0}41'.

    Suy ra \widehat{ACB} = 180^{0} - \left( \widehat{BAC} + \widehat{ABC} ight) = 56^{0}19'.

    Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta được \frac{AB}{\sin\widehat{ACB}} = \frac{CB}{\sin\widehat{BAC}} \overset{}{ightarrow}CB = \frac{AB.sin\widehat{BAC}}{\sin\widehat{ACB}} \approx 17m.

  • Câu 20: Vận dụng
    Chiều cao của tháp gần với giá trị nào

    Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A,B trên mặt đất sao cho ba điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, \widehat{CAD} = 63^{0},\widehat{CBD} = 48^{0}.

    Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có \frac{AD}{\sin\beta} = \frac{AB}{\sin D}.

    Ta có \alpha = \widehat{D} + \beta nên \widehat{D} = \alpha - \beta = 63^{0} - 48^{0} = 15^{0}.

    Do đó AD = \frac{AB.sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{24.sin48^{0}}{sin15^{0}} \approx 68,91m.

    Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sin\alpha \approx 61,4m.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (40%):
    2/3
  • Thông hiểu (15%):
    2/3
  • Vận dụng (45%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 KNTT

Đăng nhập