Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. Tọa độ của vectơ

Cho hệ trục $Oxy$ , ta có:

Vectơ đơn vị của trục hoành là $\overrightarrow i (1;0).$
Vectơ đơn vị của trục tung là $\overrightarrow j (0;1) .$
Với mỗi vectơ $\overrightarrow u$ , ta luôn có: $\overrightarrow u =x_0.\overrightarrow i+y_0.\overrightarrow j$ . Trong đó $x_0,y_0$ được gọi là hoành độ, tung độ của $\overrightarrow u$ .
Cho hai điểm $A$ và $B$ , khi đó $\overrightarrow {AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ .
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau, tức là:

$\overrightarrow u(x;y)=\overrightarrow v(x';y') \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x' \\ y=y' \end{matrix}\right.$

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')$ . Khi đó:

$\overrightarrow u\pm\overrightarrow v=(x\pm x';y\pm y')$ .
$k\overrightarrow u=(kx;ky)$ với $k \in \mathbb{R}$ .

Nhận xét:

Hai vectơ $\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac x{x'} = \frac y {y'}$ . (điều kiện $x'.y' \neq 0$ )
Nếu điểm $M$ có tọa độ $(x;y)$ thì vectơ $\overrightarrow {OM}=(x;y)$ và có độ dài $OM=\sqrt{x^2+y^2}$ .
Vectơ $\overrightarrow u =(x;y)$ cũng có độ dài $|\overrightarrow u|=\sqrt{x^2+y^2}$ .
Cho $M(x;y);N(x';y')$ thì độ dài đoạn thẳng $MN=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$ .

Chú ý:

Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là: $M(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2)$ .
Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là: $G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3)$ .

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $A(1;2);B(0;1);C(-2;0)$ .

a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ .

b) Tìm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3)$ .

Suy ra $G(\frac{1+0-2}3;\frac{2+1+0}3) =(\frac{-1}3;1)$ .

b) Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC}$ .

Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ khi biết hai điểm, ta có: $\overrightarrow {AB}=(-1;-1)$ và $\overrightarrow {DC}= (-2-x_D;-y_D)$ .

Ta có: $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} -1=-2-x_D \\ -1=-y_D \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} x_D=-1 \\ y_D=1 \end{matrix}\right.$ .