Lớp 10 Toán 10 - Kết nối tri thức

Luyện tập Nhị thức Newton (Dễ)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tìm giá trị của n

    Tìm n thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng 1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n (C_{n}^{k} là số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Hướng dẫn:

    Trước hết ta chứng minh công thức \frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} với 1 \leq k \leq n và n \geq 2.

    Thật vậy, \frac{k}{n}C_{n}^{k} = \frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = C_{n - 1}^{k - 1}.(đpcm)

    Áp dụng công thức trên ta có

    1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} + \frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... + \frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)

    = n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n - 1}

    Theo đề 1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9..

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm hệ số của số hạng

    Tìm hệ số của số hạng chứa x^{7} trong khai triển nhị thức \left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}, (biết x eq 0).

    Hướng dẫn:

    Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức \left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}.

    T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}.

    T_{k + 1} chứa x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3.

    Vậy hệ số của số hạng chứa x^{7} trong khai triển nhị thức \left( x + \frac{1}{x} ight)^{13} bằng: C_{13}^{3} = 286.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm hệ số lớn nhất

    Cho khai triển (1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n} trong đó n\mathbb{\in N}* và các hệ số thỏa mãn hệ thức a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} = 4096. Hệ số lớn nhất là:

    Hướng dẫn:

    Xét khai triển (1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}.

    Cho x = \frac{1}{3} ta được \left( 1 + 3.\frac{1}{3} ight)^{n} = a_{0} + \frac{a_{1}}{3^{1}} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Leftrightarrow n = 12.

    Khi đó (1 + 3x)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}.3^{k}.x^{k}}.

    Ta có hệ số a_{k} = 3^{k}C_{12}^{k} = 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!}

    Hệ số a_{k} lớn nhất nên \left\{ \begin{matrix} a_{k} \geq a_{k - 1} \\ a_{k} \geq a_{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k - 1}.\frac{12!}{(k - 1)!.(12 - k + 1)!} \\ 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k + 1}.\frac{12!}{(k + 1)!.(12 - k - 1)!} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{3}{k} \geq \frac{1}{13 - k} \\ \frac{1}{12 - k} \geq \frac{3}{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 39 - 3k \geq k \\ k + 1 \geq 36 - 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \leq \frac{39}{4} \\ k \geq \frac{35}{4} \\ \end{matrix} ight.

    Vì k\mathbb{\in N} nên nhận k = 9.

    Vậy hệ số lớn nhất a_{9} = 3^{9}.C_{12}^{9} = 4330260..

  • Câu 4: Vận dụng
    Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

    Khai triển (\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124}. Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

    Hướng dẫn:

    Ta có (\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124} = \sum_{k = 0}^{124}{C_{124}^{k}.( - 1)^{k}.5^{\frac{124 - k}{2}}.7^{\frac{k}{4}}}

    Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với \left\{ \begin{matrix} \frac{124 - k}{2}\mathbb{\in Z} \\ \frac{k}{4}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;4;8;12;...;124 ight\}.

    Vậy số các giá trị k là: \frac{124 - 0}{4} + 1 = 32.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giá trị của x

    Cho n là số tự nhiên thỏa mãn C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} + 2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049. Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của \left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n} có giá trị bằng \frac{81}{2}n. Tìm giá trị của x.

    Hướng dẫn:

    Ta có: C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} +2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049

    \Rightarrow (2 + 1)^{n}= 59049 \Leftrightarrow 3^{n} = 3^{10} \Leftrightarrow n =10.

    Ta được nhị thức \left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{10}.

    Số hạng thứ ba của khai triển là T_{3} = C_{10}^{2}.\left( x^{2} ight)^{8}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{2} = 405x^{14}.

    Theo giả thiết ta có: 405x^{14} = \frac{81}{2}n \Leftrightarrow 405x^{14} = 405 \Leftrightarrow x^{14} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tổng các hệ số của đa thức là

    Từ khai triển biểu thức (x + 1)^{10} thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:

    Hướng dẫn:

    Xét khai triển f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}.

    Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

    Hệ số lớn nhất trong khai triển \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4}là:

    Hướng dẫn:

    Ta có \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.\left( \frac{1}{4} ight)^{4 - k}.\left( \frac{3}{4} ight)^{k}}

    = \frac{1}{256} + \frac{3}{64}x + \frac{27}{128}x^{2} + \frac{27}{64}x^{3} + \frac{81}{256}x^{4}

    Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là \frac{27}{64}.

  • Câu 8: Nhận biết
    Số số hạng trong khai triển là

    Khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 - 2x)^{2019} có bao nhiêu số hạng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn (a + b)^{n} có n + 1 số hạng.

    Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 - 2x)^{2019} có 2020 số hạng.

  • Câu 9: Nhận biết
    Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn

    Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn (x - y)^{5}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (x - y)^{5} = \left\lbrack x + ( - y) ightbrack^{5}

    = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{\left( { - y} ight)^1} + C_5^2{x^3}{\left( { - y} ight)^2} + C_5^3{x^2}{\left( { - y} ight)^3} + C_5^4{x^1}{\left( { - y} ight)^4} + C_5^5{\left( { - y} ight)^5}

    Hay (x - y)^{5} = x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính tổng các hệ số trong khai triển

    Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 - 2x)^{2018}.

    Hướng dẫn:

    Xét khai triển (1 - 2x)^{2018} =C_{2018}^{0} - 2x.C_{2018}^{1} + ( - 2x)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( - 2x)^{2018}.C_{2018}^{2018}

    Tổng các hệ số trong khai triển là: S = C_{2018}^{0} - 2.C_{2018}^{1} + ( - 2)^{2}.C_{2018}^{2} + ( - 2)^{3}.C_{2018}^{3} + ... + ( - 2)^{2018}.C_{2018}^{2018}

    Cho x = 1 ta có: (1 - 2.1)^{2018} = C_{2018}^{0} - 2.1.C_{2018}^{1}+ ( - 2.1)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( -2.1)^{2018}.C_{2018}^{2018}

    \Leftrightarrow ( - 1)^{2018} = S\Leftrightarrow S = 1

  • Câu 11: Vận dụng
    Có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương

    Khai triển nhị thức newton của P(x) = (\sqrt[3]{2}x + 3)^{2018} thành đa thức thì có tất cả bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?

    Hướng dẫn:

    P(x) = (\sqrt[3]{2}x + 3)^{2018} = \sum_{k = 0}^{2018}{\left( \sqrt[3]{2}x ight)^{2018 - k}3^{k}} = \sum_{k = 0}^{2018}{2^{\frac{2018 - k}{3}}.3^{k}x^{2018 - k}}

    Để hệ số nguyên dương thì (2018 - k) \vdots 3 \Leftrightarrow 2018 - k = 3t \Leftrightarrow k = 2018 - 3t,do 0 \leq k \leq 2018 nên ta có 0 \leq 2018 - 3t \leq 2018 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq \frac{2018}{3} \approx 672,6 vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính tổng các hệ số

    Cho khai triển (1 - 2x)^{20} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{20}x_{20}. Giá trị của a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20} bằng:

    Hướng dẫn:

    (1 - 2x)^{20} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{20}x_{20} (1).

    Thay x = 1 vào (1) ta có: a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20} = ( - 1)^{20} = 1.

  • Câu 13: Nhận biết
    Tìm hệ số của số hạng

    Hệ số của x^{31} trong khai triển \left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}(x eq 0) là:

    Hướng dẫn:

    \left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}.x^{- 2k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}

    Theo giả thiết: 40 - 3k = 31 \Rightarrow k = 3.

    Vậy hệ số của x^{31}là C_{40}^{3} = 9880.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tổng các hệ số của đa thức là

    Từ khai triển biểu thức (x + 1)^{10} thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:

    Hướng dẫn:

    Xét khai triển f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}.

    Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm số hạng thỏa mãn

    Trong khai triển của \left( x^{\frac{1}{15}}y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}} ight)^{2019}, số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?

    Hướng dẫn:

    Ta có số hạng thứ k + 1 là : C_{2019}^{k}\left( x^{\frac{1}{15}}y^{\frac{1}{3}} ight)^{2019 - k}\left( x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}} ight)^{k} = C_{2019}^{k}x^{\frac{2019}{15} + \frac{4}{15}k}y^{\frac{2019}{3} - \frac{2}{15}k}

    Theo đề bài ta có; \frac{2019}{15} + \frac{4}{15}k = \frac{2019}{3} - \frac{2}{15}k \Leftrightarrow k = 1346

    Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347.

  • Câu 16: Vận dụng
    Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển

    Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức \left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019}?

    Hướng dẫn:

    Ta có \left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.\left( \sqrt[3]{3} ight)^{2019 - k}.\left( \sqrt[5]{5} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.3^{\frac{2019 - k}{3}}.5^{\frac{k}{5}}}.

    Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ \frac{2019 - k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ 673 - \frac{k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ k \vdots 15 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m mà 0 \leq k \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq 15m \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 134,6. Suy ra có 135 số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong khai triển (1 - 2x)^{20} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ ...\ + a_{20}x^{20}. Tính giá trị a_{0} - a_{1} + a_{2}

    Hướng dẫn:

    Ta có (1 - 2x)^{20} = \sum_{k = 0}^{20}C_{20}^{k}( - 2)^{k}x^{k}, (k \in Z) \Rightarrow a_{0} = C_{20}^{0}, a_{1} = - 2.C_{20}^{1}, a_{2} = ( - 2)^{2}C_{20}^{2} = 4C_{20}^{2}.

    Vậy a_{0} - a_{1} + a_{2} = C_{20}^{0} + 2C_{20}^{1} + 4C_{20}^{2} = 801.

  • Câu 18: Nhận biết
    Tìm hệ số của số hạng

    Hệ số của số hạng chứa x^{7} trong khai triển nhị thức \left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12} (với x > 0) là:

    Hướng dẫn:

    Số hạng tổng quát của khai triển \left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12} (với x > 0) là:

    T_{k + 1} = C_{12}^{k}.x^{12 - k}.\left( - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{k} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - k}.x^{- \frac{3k}{2}} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - \frac{5k}{2}}.

    Số hạng trên chứa x^{7} suy ra 12 - \frac{5k}{2} = 7 \Leftrightarrow k = 2.

    Vậy hệ số của số hạng chứa x^{7} trong khai triển trên là = ( - 2)^{2}.C_{12}^{2} = 264.

  • Câu 19: Nhận biết
    Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức

    Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x - 3)^{2018}?

    Hướng dẫn:

    Trong khai triển nhị thức (a + b)^{n} thì số các số hạng là n + 1 nên trong khai triển (2x - 3)^{2018} có 2019 số hạng.

  • Câu 20: Nhận biết
    Số số hạng trong khai triển là

    Số số hạng trong khai triển (x + 2)^{50} là:

    Hướng dẫn:

    Số số hạng trong khai triển là: n + 1 = 50 + 1 = 51.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (25%):
    2/3
  • Vận dụng (40%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 2 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 KNTT

Đăng nhập