Lớp 10 Toán 10 - Kết nối tri thức

Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

  • Cho hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v khác \overrightarrow 0. Đặt \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u;\overrightarrow {AC}=\overrightarrow v .
  • Khi đó, góc giữa hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v chính là góc \widehat {BAC}.
  • Kí hiệu: (\overrightarrow u;\overrightarrow v)=\widehat {BAC} .

Chú ý:

  • Nếu (\overrightarrow u;\overrightarrow v)=90^{\circ} thì ta nói hai vectơ này vuông góc với nhau. Kí hiệu: \overrightarrow u\perp \overrightarrow v .
  • Vectơ \overrightarrow 0 vuông góc với mọi vectơ.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v là một số, kí hiệu là \overrightarrow u.\overrightarrow v, được xác định bởi công thức:

\overrightarrow u.\overrightarrow v=|\overrightarrow u|.|\overrightarrow v|.\cos (\overrightarrow u;\overrightarrow v)

Chú ý:

  • \overrightarrow u\perp \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u.\overrightarrow v=0 .
  • \overrightarrow u.\overrightarrow u còn được viết là \overrightarrow {u}^2, còn gọi là bình phương vô hướng của vectơ \overrightarrow u. Ta có: \overrightarrow u^2=|\overrightarrow u|^2 .

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow u =(x;y) và \overrightarrow v =(x';y') được tính theo công thức:

\overrightarrow u.\overrightarrow v=x.x'+y.y'

Nhận xét:

  • Ta có: \overrightarrow u\perp \overrightarrow v khi và chỉ khi \overrightarrow u.\overrightarrow v=x.x'+y.y'=0 .
  • Bình phương vô hướng của vectơ \overrightarrow u(x;y) là \overrightarrow u^2=x^2+y^2 .
  • \cos(\overrightarrow u;\overrightarrow v)=\frac{\overrightarrow u.\overrightarrow v}{|\overrightarrow u|.|\overrightarrow v|}=\frac{x.x'+y.y'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}} .

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ \overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w và mọi số thực k, ta có:

  • \overrightarrow u.\overrightarrow v=\overrightarrow v.\overrightarrow u
  • \overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w)=\overrightarrow u.\overrightarrow v+\overrightarrow u.\overrightarrow w
  • (k\overrightarrow u).\overrightarrow v=k(\overrightarrow u.\overrightarrow v)=\overrightarrow u.(k\overrightarrow v)

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Tính tích vô hướng \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} và \overrightarrow {AB}. \overrightarrow {BC}.

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Góc giữa hai vectơ \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {AC} là góc \widehat {BAC}=60^{\circ}.

Ta có: \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=AB.AC.\cos A =1.1.\cos 60^{\circ} =\frac12 .

Nhận xét: Góc giữa hai vectơ \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {BC} là góc 120^{\circ}.

Ta có: \overrightarrow {AB}. \overrightarrow {BC}=AB.BC.\cos 120^{\circ} =-\frac12 .

Ví dụ 2: Cho ba vectơ \overrightarrow u(1;2);\overrightarrow v(-3;4);\overrightarrow w(0;1) .

a) Tính tích vô hướng \overrightarrow u.\overrightarrow v;

b) Tính \overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w) .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \overrightarrow u.\overrightarrow v=1.2-3.4=-10 .

b) Ta có: \overrightarrow v+\overrightarrow w=(-3+0;4+1)=(-3;5).

Ta có: \overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w) =1.(-3)+2.5=7 .

Ví dụ 3: Tính góc giữa hai vectơ \overrightarrow u(2;-3) và \overrightarrow v(5;3).

Hướng dẫn giải

Ta có: \cos(\overrightarrow u;\overrightarrow v)= \frac{x.x'+y.y'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}}=\frac{2.5-3.3}{\sqrt{2^2+(-3)^2}.\sqrt{5^2+3^2}} =\frac1{\sqrt{442}} .

Do đó (\overrightarrow u;\overrightarrow v)\approx 87,27^{\circ} .

Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1;1);B(0;2);C(2;2). Chứng minh ba điểm này lập thành một tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: \overrightarrow {AB}=(-1;1);\overrightarrow {AC}=(1;1) .

Xét tích vô hướng \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=-1.1+1.1=0 .Suy ra AB\perp AC. 

Vậy ba điểm A,B,C lập thành một tam giác vuông.

 

  • 12 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 KNTT