THPT Quốc gia Đề thi các năm

Đề kiểm tra khảo sát Toán 12 Sở GD&ĐT Hà Nội năm 2023

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 50 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 50 điểm
  • Thời gian làm bài: 90 phút
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
90:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

    Số nghiệm của phương trình 2f(x) + 1 = 0 là

    Hướng dẫn:

    2f(x) + 1 = 0 \Rightarrow f(x) = - \frac{1}{2}

    Cắt đồ thị của hàm số tại 4 điểm

    => Phương trình có 4 nghiệm.

  • Câu 2: Nhận biết
    Tính số cạnh đa diện

    Số cạnh của hình đa diện như hình vẽ dưới đây là

    Hướng dẫn:

    Số cạnh của hình đa diện như hình vẽ là 12 cạnh.

  • Câu 3: Nhận biết
    Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 4z + 2 = 0 có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: (1;2; - 4)

  • Câu 4: Nhận biết
    Tính giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ

    Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 1;3brack bằng

    Hướng dẫn:

    Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 1;3brack là 4.

  • Câu 5: Nhận biết
    Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón

    Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l và bán kính đáy r bằng

    Hướng dẫn:

    Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l và bán kính đáy r bằng \pi rl.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính a + b

    Bất phương trình log_{2}(2x - 3) < 1 có tập nghiệm là khoảng (a;b). Giá trị của a + b bằng

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: 2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}

    \log_{2}(2x - 3) < 1

    \Leftrightarrow 2x - 3 < 2^{1} \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}

    \Rightarrow x \in \left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} ight) \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4

  • Câu 7: Nhận biết
    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = - 2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{a} là

    Hướng dẫn:

    \overrightarrow{a} = - 2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} = ( - 2;2; - 3)

  • Câu 8: Nhận biết
    Tìm giá trị cực đại của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên

    Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

    Hướng dẫn:

    Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Hàm số nghịch biến

    Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Hàm số nào nghịch biến trên tập \mathbb{R} là: y = \left( \frac{2}{e} ight)^{x}

  • Câu 10: Nhận biết
    Công thức tính thể tích khối trụ

    Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h bằng

    Hướng dẫn:

    V = \pi r^{2}h

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = x(x - 1). Hàm số đã cho có số điểm cực trị là:

    Hướng dẫn:

    f'(x) = x(x - 1) có hai nghiệm => có hai điểm cực trị.

  • Câu 12: Nhận biết
    Số cách chọn 5 học sinh

    Số cách chọn 5 học sinh bất kì từ 12 học sinh bằng

    Hướng dẫn:

    Số cách chọn 5 học sinh bất kì từ 12 học sinh bằng C_{12}^{5}.

  • Câu 13: Nhận biết
    Tìm phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;4;2) và bán kính R = 2 có phương trình là

    Hướng dẫn:

    PT đường tròn cần tìm là: (x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 4

  • Câu 14: Nhận biết
    Xác định tiệm cận đứng

    Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{x - 1}{x + 1}

    Hướng dẫn:

    Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{x - 1}{x + 1} là: x = -1.

  • Câu 15: Nhận biết
    Tìm hàm số tương ứng hình vẽ

    Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

    Hướng dẫn:

    Hàm số thỏa mãn là y = \frac{2x - 3}{x - 1}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a,x = b,(a < b). Gọi V là thể tích khối tròn xoay thu được khi cho (H) quay quanh trục Ox. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Khẳng định đúng V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm nghiệm phương trình

    Nghiệm của phương trình 2^{2x - 1} = 2^{x} là

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix}2^{2x - 1} = 2^{x}\hfill \\\Leftrightarrow 2x - 1 = x \hfill\\\Leftrightarrow x = 1 \hfill\\\end{matrix}

  • Câu 18: Nhận biết
    Tìm khẳng định sai

    Với mọi số thực \alpha,\beta, và số thực dương a khác 1, khẳng định nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Khẳng định sai là: a^{\alpha}.a^{\beta} = a^{\alpha.\beta}

  • Câu 19: Nhận biết
    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu f'(x)

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - 1;1)

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm nghiệm phương trình

    Tập nghiệm của phương trình \log_{3}(x -3) = \log_{3}(2x - 1)là

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: \left\{ \begin{matrix} x - 3 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x > 3

    => S = \varnothing

  • Câu 21: Thông hiểu
    Chọn khẳng định sai

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Khẳng định sai là: \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx = \ln x + C}

  • Câu 22: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Với a b, là các số thực dương tùy ý, \log\left( a^{2}b^{3} ight) bằng

    Hướng dẫn:

    \log\left( a^{2}b^{3} ight) =\log\left( a^{2} ight) + \log\left( b^{3} ight) = 2\log a +3\log b

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tính thể tích khối chóp

    Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \sqrt{3};SA = a\sqrt{6} và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

    Hướng dẫn:

    V = \frac{1}{3}a\sqrt{6}.\left( a\sqrt{3} ight)^{2} = a^{3}\sqrt{6}

  • Câu 24: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Nếu \int_{2}^{6}{f(x)dx = 7} và \int_{2}^{6}{g(x)dx = - 2} thì \int_{2}^{6}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    \int_{2}^{6}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx} = 7 - 2 = 5

  • Câu 25: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho I = \int_{1}^{2}{2x\sqrt{x^{2} - 1}dx}. Nếu đặt u = x^{2} - 1 thì khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    u = x^{2} - 1 ightarrow du = 2xdx

    \Rightarrow I = \int_{0}^{3}{\sqrt{u}du}

  • Câu 26: Nhận biết
    Khẳng định nào sau đây đúng

    Với hàm số f(x) tùy ý, hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Khẳng định đúng là: f(x) = F'(x)

  • Câu 27: Thông hiểu
    Tính q

    Cho cấp số nhân (un) với u_{1} = 5,u_{6} = 160. Công bội của cấp số nhân bằng

    Hướng dẫn:

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1}

    u_{6} = u_{1}.q^{5} = 160

    \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{160}{5} \Rightarrow q = 2

  • Câu 28: Nhận biết
    Xác định bán kính R

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 có bán kính bằng:

    Hướng dẫn:

    I = \left( \frac{- 8}{- 2};\frac{4}{- 2};\frac{2}{- 2} ight) = (4; - 2; - 1)

    \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 5

  • Câu 29: Thông hiểu
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x^{2} - 4,y = 0. Thể tích khối tròn xoay được sinh bởi hình (H) quay quanh trục Ox có giá trị bằng:

    Hướng dẫn:

    Xét x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2

    Thể tích khối tròn xoay được sinh bởi hình (H) quay quanh trục Ox có giá trị

    V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( x^{2} - 4 ight)^{2}dx} = \frac{512\pi}{15}

  • Câu 30: Thông hiểu
    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB = a,AA' = a\sqrt{2}. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (AA’B’B) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(ABB'A')

    \Rightarrow BC\bot A'B

    Ta có: A'B = \sqrt{AA'^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{3}

    Xét tam giác A'BC ta có:

    \widehat{\left( A'C;(AA'B'B) ight)} = \widehat{CA'B}

    \tan\widehat{CA'B} = \frac{BC}{A'B} = \frac{a}{a\sqrt{3}}

    \Rightarrow \widehat{CA'B} = 30^{0}

  • Câu 31: Nhận biết
    Tính tổng logarit

    Cho \log_{3}a = 2;\log_{2}b =\frac{1}{2}. Khi đó log_{3}(3a) + log_{2}b^{2} bằng

    Hướng dẫn:

    log_{3}(3a) + log_{2}b^{2}

    = log_{3}(3) + log_{3}(a) + 2log_{2}b

    = 1 + 2 + 2.\frac{1}{2} = 4

  • Câu 32: Thông hiểu
    Tìm tham số m

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):(m + 1)x + (m - 1)y + 6z = 0 và

    (\beta):2x + y + 3z - 3 = 0. Giá trị của tham số m để hai mặt phẳng song song bằng:

    Hướng dẫn:

    Để hai mặt phẳng song song thì:

    \frac{m + 1}{2} = \frac{m - 1}{1} = \frac{6}{3} eq \frac{- 4}{- 3}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 1 = 4 \\ m - 1 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 3

  • Câu 33: Vận dụng
    Số điểm cực đại của hàm số

    Cho hàm số bậc bốn f(x). Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ

    Số điểm cực đại của hàm số f(x) là

    Hướng dẫn:

    Xét dấu

    Hàm số f(x) có 2 điểm cực đại.

  • Câu 34: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ A đến (SBD)

    Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a\sqrt{2}, SA = a\sqrt{3} và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:

    Hướng dẫn:

    Kẻ AO vuông góc với BD, AH vuông góc với SO

    => d\left( A;(SBD) ight) = AH

    Ta có:

    \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AO^{2}} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

  • Câu 35: Thông hiểu
    Tích M.m bằng bao nhiêu

    Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + \frac{4}{x} trên đoạn \lbrack 1;3brack. Khi đó tích M và m bằng:

    Hướng dẫn:

    Sử dụng bảng table trên máy tính cầm tay

    Ta được M = 5,m = 4 \Rightarrow M.m = 20

  • Câu 36: Thông hiểu
    Tính giá trị tích phân

    Cho các hàm số f(x) và F(x) liên tục trên R thỏa mãn F'(x) = f(x),\forall x\mathbb{\in R} và F(0) = 2,F(1) = 6. Khi đó \int_{0}^{1}{f(x)} bằng

    Hướng dẫn:

    \int_{0}^{1}{f(x)} = \left. \ F(x) ight|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = 6 - 2 = 4

  • Câu 37: Thông hiểu
    Tính xác suất

    Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu bằng

    Hướng dẫn:

    Xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu bằng

    P(A) = \frac{C_{5}^{2} + C_{4}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{4}{9}

  • Câu 38: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB

    Trong không gian Oxyz, cho A\left( {1;1; - 1} ight),B\left( {5;2;1} ight). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là

    Hướng dẫn:

    Phương trình trung trực (P) đi qua trung điểm I của AB: I\left( 3;\frac{3}{2};0 ight)

    Vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{AB} = (4,1,2)

    Phương trình (P): 8x + 2y + 4z - 27 = 0

  • Câu 39: Vận dụng
    Tính độ dài đường phân giác:

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB có A(2;2; - 1) và B(0; - 4;3). Độ dài đường phân giác trong góc AOB bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: E \in AC;\widehat{CED} = \frac{\widehat{A}}{2}

    \Rightarrow \Delta AED\sim\Delta ADB \Rightarrow AD^{2} = AB.AE(1)

    Ta có: \Delta CDE\sim\Delta CAD

    \Rightarrow \frac{CE}{CD} = \frac{CD}{CA} = \frac{BD}{BA}

    \Rightarrow DC.DB = AB.CB(2)

    Từ (1) và (2) => AD^{2} + DB^{2}.DC = AB(AE + CE) = AB.AC(3)

    \Rightarrow \frac{BD}{BA} = \frac{CD}{CA} = \frac{BD + CD}{BA + CA} = \frac{a}{b + c}

    \Rightarrow \frac{BD.CD}{b.c} = \left( \frac{a}{b + c} ight)^{2}

    \Rightarrow AD = \sqrt{AB.AC - DB.DC}

    = \sqrt{b.c.\left\lbrack 1 - \frac{a^{2}}{(b + c)^{2}} ightbrack}

    Thay số ta được AD = \frac{\sqrt{30}}{4}

     

  • Câu 40: Vận dụng cao
    Tìm số giá trị nguyên dương của m

    Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

    Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = \left\lbrack f(x) + m ightbrack^{2} có 5 điểm cực trị là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g(x) = \left\lbrack f(x) + m ightbrack^{2}

    \Rightarrow g'(x) = 2\left\lbrack f(x) + m ightbrack.f'(x)

    \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = - m \\ f'(x) = 0\ \ (co\ 3\ nghiem) \\ \end{matrix} ight.

    Để g(x) có 5 điểm cực trị => g’(x) = 0 có 5 nghiệm đơn.

    => f(x) = - m có hai nghiệm đơn

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - m \geq 2 \\ - 6 < - m \leq - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 2 \\ 4 \leq m < 6 \\ \end{matrix} ight.

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}

  • Câu 41: Vận dụng
    Tích các phần tử của S

    Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4^{x} - 2^{x + 2} - m = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tích các phần tử của S bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    4^{x} - 2^{x + 2} - m = 0(*)

    Đặt 2^{x} = t,(DK:t > 0)

    Phương trình \Leftrightarrow t^{2} - 4t - m = 0(**)

    Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ t_{1}.t_{2} > 0 \\ t_{1} + t_{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 + m > 0 \\ - m > 0 \\ 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 4 < m < 0

    Vì m\mathbb{\in Z \Leftrightarrow}m \in \left\{ - 3; - 2; - 1 ight\}

    Vậy tích các phần tử của S là -6.

  • Câu 42: Vận dụng
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số bậc năm y = f(x).Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

    Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x) + \frac{2}{3}x^{3} - 2x^{2} + 3x là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = f'(x) + 2x^{2} - 4x + 3

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = - 2x^{2} + 4x - 3

    Xét hàm số h(x) = - 2x^{2} + 4x - 3 ta có:

    h'(x) = - 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = 1

    Lấy các điểm

    x

    0

    1

    2

    y

    -3

    -1

    -3

    \Rightarrow x = 1 là nghiệm kép

    \Rightarrow g'(x) = 0 không có nghiệm đơn

    => g(x) không có điểm cực trị.

  • Câu 43: Vận dụng
    Tính thể tích khối chóp S.ABC

    Cho hình chóp SABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBA vuông tại B và tam giác SBC là tam giác đều cạnh 2a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: Tam giác SBC đều => BC = 2a. Lấy M là trung điểm của BC

    => \left\{ \begin{matrix}AB = a\sqrt{2} \\AC = a\sqrt{2} \\AM = \dfrac{BC}{2} = a \\SM = a\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    => SA = \sqrt{SB^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{6}

    Xét tam giác SAM ta có:

    \cos\widehat{SAM} = \frac{SA^{2} + AM^{2} - SM^{2}}{2SA.AM} = \frac{\sqrt{6}}{3}

    \Rightarrow \sin\widehat{SAM} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    \frac{SH}{SA} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow SH = a\sqrt{2}

    \Rightarrow V = \frac{1}{3}.\sqrt{2}a.\left\lbrack \frac{1}{2}.\left( a\sqrt{2} ight)^{2} ightbrack = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}

  • Câu 44: Thông hiểu
    Tính thể tích của bồn

    Một xe bồn chở nước có bồn nước gồm hai nửa hình cầu đường kính 18 dm và một hình trụ có chiều cao 36 dm (như hình vẽ). Thể tích của bồn đã cho bằng

    Hướng dẫn:

    V = V_{T} + V_{C}

    = h.\pi R^{2} + \frac{4}{3}.\pi R^{3}

    = 36.\pi.9^{2} + \frac{4}{3}.\pi.9^{3} = 3888\pi\left( dm^{3} ight)

  • Câu 45: Vận dụng
    Giá trị tích phân

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (0; + \infty) thoả mãn f(1) = 1 và e^{x}.f'\left( e^{x} ight) = 1 + e^{x}. Khi đó \int_{1}^{e}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Nguyên hàm hai vế của biểu thức e^{x}.f'\left( e^{x} ight) = 1 + e^{x} ta được:

    \int_{}^{}{e^{x}.f'\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 1 + e^{x} ight)dx(*)}

    Đặt e^{x} = t \Rightarrow e^{x}dx = dt

    Từ (*) ta có:

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{f'(t)}dt = x + e^{x} + C

    \Leftrightarrow f(t) = x + e^{x} + C

    \Leftrightarrow f\left( e^{x} ight) = x + e^{x} + C

    Ta có: f(1) = 1 thay x = 0 vào (*) ta được:

    f(1) = 0 + e^{0} + C

    \Leftrightarrow 1 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) = x + e^{x}

    Xét I = \int_{1}^{e}{f(x)dx}

    Đặt x = e^{t} \Rightarrow dx = e^{t}dt

    \Rightarrow I = \int_{0}^{1}{f\left( e^{t} ight).e^{t}dt} = \frac{e^{2} + 1}{2}

  • Câu 46: Vận dụng
    Tính khoảng cách nhỏ nhất

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( - 2;6;0) và mặt phẳng (\alpha):3x + 4y + 89 = 0. Đường thẳng d thay đổi nằm trên mặt phẳng Oxy và luôn đi qua điểm A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M (4; 2; -3) trên đường thẳng d. Khoảng cách nhỏ nhất từ H đến mặt phẳng (\alpha) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha):3x + 4y + 89 = 0 \\ (Oxy):z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{\alpha}} = (3,4,0) \\ \overrightarrow{n_{Oxy}} = (0,0,1) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{n_{Oxy}} = 0 \Rightarrow \alpha\bot(Oxy)

    => H thuộc mặt cầu (S) đường kính MA có tâm I\left( 1;2;\frac{3}{2} ight) bán kính R = \frac{MA}{2} = \frac{\sqrt{109}}{2}

    Và H thuộc (Oxy)

    \Rightarrow H \in (C) = (S) \cap (Oxy)

    HK = \sqrt{IH^{2} - IK^{2}}

    \Leftrightarrow HK = \sqrt{{R_{c}}^{2} - d^{2}\left( I;(Oxy) ight)}

    \Leftrightarrow HK = \sqrt{\frac{109}{4} - \left( \frac{3}{2} ight)^{2}} = 5

    \Rightarrow d\left( H,(\alpha) ight)_{\min} = NK - HK

    = d\left( I;(\alpha) ight) - HK = 20 - 5 = 15

  • Câu 47: Vận dụng cao
    Xác định số hình vuông

    Cho hàm f(x) = x^{3} - 3x. Số hình vuông có bốn đỉnh nằm trên đồ thị hàm số y = f(x) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = x^{3} - 3x

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 3

    f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0

    => Điểm uốn I(0;0) \equiv O

    Ta có: hàm số bậc ba có tính chất đối xứng qua O

    => Hai đường chéo của hình đi qua gốc O.

    Để ABCD là hình vuông \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AC\bot BD \\ AC = BD \\ \end{matrix} ight.

    Gọi AC:y = kx \Rightarrow BD:y = - \frac{1}{k}.x

    Xét giao điểm AC và f(x) ta có:

    x^{3} - 3x = kx \Rightarrow x^{2} - 3 = k

    \Rightarrow x^{2} - 3 - k = 0

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

    \Delta' > 0 \Rightarrow 3 + k > 0 \Rightarrow k > - 3(*)

    Gọi giao điểm là A\left( x_{1};kx_{1} ight),C\left( x_{2};kx_{2} ight)

    Xét giao điểm BD và f(x) ta có:

    \begin{matrix} x^{3} - 3x = \frac{- 1}{k}x \\ \Rightarrow x^{2} - 3 + \frac{1}{k} = 0 \\ \end{matrix}

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

    \Delta' > 0 \Rightarrow 3 - \frac{1}{k} > 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} k < 0 \\ k > \frac{1}{3} \\ \end{matrix}(**) ight.

    Gọi giao điểm là B\left( x_{3};\frac{1}{k}x_{3} ight),D\left( x_{4};\frac{1}{k}x_{4} ight)

    Vì AC = BD nên

    \Leftrightarrow \left( x_{2} - x_{1} ight)^{2} + \left( kx_{2} - kx_{1} ight)^{2} = \left( x_{4} - x_{3} ight)^{2} + \left( - \frac{1}{k}x_{4} + \frac{1}{k}x_{3} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}\left( 1 + k^{2} ight) = \left( x_{4} - x_{3} ight)^{2}\left\lbrack 1 + \left( \frac{1}{k} ight)^{2} ightbrack

    \Leftrightarrow \left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - 4x_{1}x_{2} ightbrack\left( 1 + k^{2} ight) = \left\lbrack \left( x_{4} + x_{3} ight)^{2} - 4x_{3}x_{4} ightbrack\left\lbrack 1 + \left( \frac{1}{k} ight)^{2} ightbrack

    \Leftrightarrow 0 - 4( - 3 - k)\left( 1 + k^{2} ight) = 0 - \left( - 3 + \frac{1}{k} ight)\left\lbrack 1 + \left( \frac{1}{k} ight)^{2} ightbrack

    \Leftrightarrow - 3 - k = \frac{- 3k + 1}{k^{2}}

    \Leftrightarrow k^{4} + 3k^{3} - 3k + 1 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} k = - 2,41 \\ k = - 1,61 \\ \begin{matrix} k = 0,41 \\ k = 0,61 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.\ (tm)

    Kiểm tra:

    k = - 2,41 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 0,765 \\ x = \pm 1,847 \\ \end{matrix} ight.

    k = - 1,61 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1,17 \\ x = \pm 1,9 \\ \end{matrix} ight.

    k = 0,41 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 0,765 \\ x = \pm 1,847 \\ \end{matrix} ight.

    k = 0,61 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1,17 \\ x = \pm 1,9 \\ \end{matrix} ight.

    => Chỉ có 2 hình vuông thỏa mãn.

  • Câu 48: Vận dụng cao
    Tìm số giá trị nguyên âm của m

    Số giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình e^{x} + m = \frac{4}{5^{x} - 1} + \frac{2}{5^{x} - 2} có hai nghiệm phân biệt là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    e^{x} + m = \frac{4}{5^{x} - 1} + \frac{2}{5^{x} - 2}

    \Rightarrow m = \frac{4}{5^{x} - 1} + \frac{2}{5^{x} - 2} - e^{x}

    Xét hàm số f(x) = \frac{4}{5^{x} - 1} + \frac{2}{5^{x} - 2} - e^{x}

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} 5^{x} - 1 eq 0 \\ 5^{x} - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 0 \\ x eq log_{5}2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Để phương trình có hai nghiệm => m \geq - 5

    Vì m \in \mathbb{Z}^{-} \Rightarrow m = \left\{ - 5; - 4; - 3; - 2; - 1 ight\}

    Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.

  • Câu 49: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị thực của m

    Cho hai hàm số bậc bốn f(x);g(x) có đồ thị y = f'(x) và y = g'(x) như hình vẽ

    Số giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) - g(x) = m có một nghiệm duy nhất trên [-1;3] là

    Hướng dẫn:

    Giả sử f(x) - g(x) = h(x)

    Ta có: h'(x) = f'(x) - g'(x)

    Xét h'(x) = 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow f'(x) - g'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow f'(x) = g'(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    Lập bảng biến thiên

    Xét h(3) - h( - 1) = \left. \ h(x) ight|_{- 1}^{3}

    = \int_{- 1}^{3}{h'(x)dx}

    = \int_{- 1}^{3}{\left\lbrack f'(x) - g'(x) ightbrack dx}

    = \int_{- 1}^{3}{\left\lbrack a(x + 1)(x - 1)(x - 3) ightbrack dx} = 0

    \Rightarrow h(3) = h( - 1)

    Để phương trình có một nghiệm => y = m cắt h(x) tại 1 điểm => chỉ có 1 giá trị của m thỏa mãn m = h(1).

  • Câu 50: Vận dụng cao
    Tìm số các cặp số nguyên dương (x, y)

    Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn điều kiện x \leq 2023 và

    3\left( 9^{y} + 2y ight) \leq x + log_{3}(x + 1)^{3} - 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    3\left( 9^{y} + 2y ight) \leq x + log_{3}(x + 1)^{3} - 2

    \Leftrightarrow 3.3^{2y} + 3.2y \leq x - 2 + 3log_{3}(x + 1)

    \Leftrightarrow 3.3^{2y} + 3.2y \leq x + 1 + 3log_{3}(x + 1) - 3log_{3}3

    \Leftrightarrow 3.3^{2y} + 3.2y \leq x + 1 + 3log_{3}\left( \frac{x + 1}{3} ight)(*)

    Đặt log_{3}\left( \frac{x + 1}{3} ight) = t

    \Leftrightarrow \frac{x + 1}{3} = 3^{t} \Leftrightarrow x + 1 = 3.3^{t}

    (*) \Leftrightarrow 3.3^{2y} + 3.2y \leq 3.3^{t} + 3.t

    Xét f(u) = 3.3^{u} + 3.u

    \Rightarrow f'(u) = 3.3^{u}.ln3 + 3 > 0,\forall u

    => f(u) đồng biến trên \mathbb{R}

    (*) \Rightarrow 2y \leq t

    \Leftrightarrow 2y \leq log_{3}\left( \frac{x + 1}{3} ight)

    \Leftrightarrow y \leq \frac{1}{2}log_{3}\left( \frac{x + 1}{3} ight)

    Vì x \in \lbrack 1;2023brack \Rightarrow y \in \lbrack - 0,184;2,96brack

    y\mathbb{\in Z \Rightarrow}y = \left\{ 1;2 ight\}

    Với y = 1 \Rightarrow 1 \leq \frac{1}{2}log_{3}\left( \frac{x + 1}{3} ight) \Rightarrow x \geq 26

    Mà x \leq 2023 \Rightarrow x = \left\{ 26;...;2023 ight\}

    => Có 1998 cặp (x; y) thỏa mãn.

    Với y = 2 \Rightarrow 2 \leq \frac{1}{2}log_{3}\left( \frac{x + 1}{3} ight) \Rightarrow x \geq 242

    Mà x \leq 2023 \Rightarrow x = \left\{ 242;...;2023 ight\}

    => Có 1782 cặp (x; y) thỏa mãn.

    Vậy có tất cat 3780 cặp (x; y) thỏa mãn đề bài.

0/50
50 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (34%):
    2/3
  • Thông hiểu (42%):
    2/3
  • Vận dụng (14%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Thi THPT Quốc gia

Đăng nhập