Đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2024

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 50 câu
Điểm số bài kiểm tra: 50 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Giải phương trình
Nghiệm của phương trình $2^{2x} = 2^{x + 6}$ là:
- A.
  $x = - 6$ .
- B.
  $x = 6$ .
- C.
  $x = - 2$ .
- D.
  $x = 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $2^{2x} = 2^{x + 6} \Leftrightarrow 2x = x + 6 \Leftrightarrow x = 6$
Câu 2: Nhận biết
Tìm chiều cao hình nón
Cho hình nón có bán kính đoáy $r = 3$ và độ dài đuờng sinh $l = 5$ . Chiều cao của hình nón đã cho bằng
- A.
  $4$
- B.
  $5$
- C.
  $\sqrt{34}$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 3: Thông hiểu
Giải bất phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x + 2) > - 1$ là
- A.
  $( - 2;0)$ .
- B.
  $( - 2;1)$ .
- C.
  $( - \infty;0)$ .
- D.
  $(0; + \infty)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$log_{\frac{1}{2}}(x + 2) > - 1 \Leftrightarrow 0 < x + 2 < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$

Vậy $x \in ( - 2;0)$ là tập nghiệm của bất phương trình.
Câu 4: Nhận biết
Tính tích phân
Nếu $\int_{- 2}^{1}\mspace{2mu} f(x)dx = - 1$ và $\int_{1}^{7}\mspace{2mu} f(x)dx = - 5$ thì $\int_{- 2}^{7}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $4$
- C.
  $- 4$
- D.
  $- 6$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{- 2}^{7}{f(x)dx} = \int_{- 2}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{7}{f(x)dx} = - 6$
Câu 5: Nhận biết
Xác định hàm số
Trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ , hàm số $F(x) = \frac{1}{2}sin2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f_{2}(x) =\cos2x$ .
- B.
  $f_{1}(x) = -\cos{2x}.$
- C.
  $f_{4}(x) = -\frac{1}{4}\cos2x$ .
- D.
  $f_{3}(x) = -\frac{1}{2}\cos2x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f(x) = F'(x) = \left(\frac{1}{2}sin2x ight)' = \frac{1}{2}.2.\cos2x = \cos2x$
Câu 6: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;2; - 4)$ . Vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 5; - 1; - 3)$
- B.
  $( - 1; - 5;5)$ .
- C.
  $(1; - 5;5)$ .
- D.
  $( - 1;5; - 5)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;5; - 5)$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người thành một hàng ngang?
- A.
  36.
- B.
  1.
- C.
  6.
- D.
  720.
Hướng dẫn:
Ta có: $6! = 720$ cách xếp 6 người thành một hàng ngang.
Câu 8: Nhận biết
Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  2.
- B.
  1.
- C.
  3.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Quan sát bảng biến thiên ta suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Số phức $z = i + i^{2} + i^{3}$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $i$
- C.
  $- 1 + 2i$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Ta có: $z = i + i^{2} + i^{3} = - 1$
Câu 10: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - z + 1 = 0$ . Đường thẳng đỉ qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phưong trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2i \\ y = 2 \\ z = - 1 - i \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Hướng dẫn:
Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có vectơ chỉ phương là $(2;0; - 1)$ và đi qua $A(1;2; - 1)$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2i \\ y = 2 \\ z = - 1 - i \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho hình chóp $S$ . $ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{2}a$ . Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng
- A.
  $\frac{2\sqrt{10}}{5}a$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{10}}{10}a$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{10}}{5}a$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}a$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $d\left( C;(SBD) ight) = d\left( A;(SBD) ight) = AH$

Khi đó:

$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{AO^{2}} +\dfrac{1}{SA^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} +\dfrac{1}{\left( a\sqrt{2} ight)^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Câu 12: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số
Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{\frac{1}{7}}$ là
- A.
  $y^{'} = x^{- \frac{6}{7}}$ .
- B.
  $y^{'} = \frac{1}{7}x^{- \frac{5}{7}}$ .
- C.
  $y^{'} = \frac{1}{7}x^{\frac{6}{7}}$ .
- D.
  $y^{'} = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $y^{'} = \frac{1}{7}x^{- \frac{5}{7}}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính độ dài vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đ̛iểm $A(1;2;3)$ và $B(3;2;5)$ . Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}$ , độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ bằng
- A.
  $2\sqrt{14}$ .
- B.
  $2\sqrt{2}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{74}}{2}$ .
- D.
  8.
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;y;z)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MB} = (3 - x;2 - y;5 - z) \\ \overrightarrow{MA} = (1 - x;2 - y;3 - z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - x = 3(1 - x) \\ 2 - y = 3(2 - y) \\ 5 - z = 3(3 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $M(0;2;2)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{OM} = (0;2;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{OM} ight| = \sqrt{0^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$
Câu 14: Nhận biết
Tìm điểm cực tiểu của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
- A.
  $x = - 2$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = - 1$
Hướng dẫn:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy $x = - 1$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 15: Nhận biết
Tìm tâm mặt cầu (S)
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2;3)$ và $B(3;0;1)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, tâm của $(S)$ có tọa độ là
- A.
  $(1;1; - 1)$ .
- B.
  $(4; - 2;4)$ .
- C.
  $(2; - 1;2)$ .
- D.
  $( - 1; - 1;1)$ .
Hướng dẫn:
Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(2; - 1;2)$ .
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có ba điểm cực trị là $- \frac{3}{2};2;\frac{11}{2}$ và đạt giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ . Bất phương trình $f(x) \leq m$ có nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;3brack$ khi và chỉ khi
- A.
  $m \geq f(0)$ .
- B.
  $m \geq f(2)$ .
- C.
  $f(2) \geq m \geq f(3)$ .
- D.
  $m \geq f(3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f(x)$ có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a > 0$

$\Rightarrow f(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$

$f'(x) = 4a\left( x + \frac{3}{2} ight)(x - 2)\left( x - \frac{11}{2} ight)$

$= a(2x + 3)(x - 2)(2x - 11)$

$= 4ax^{3} - 24ax^{2} - ax + 66a$

$\Rightarrow f(x) = ax^{4} - 8ax^{3} - \frac{a}{2}x^{2} + 66ax + e$

Ta có: $f(0) = e;f(3) = \frac{117a}{2} + e \Rightarrow f(0) < f(3)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \geq f(0)$
Câu 17: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A,BC = 2a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{3}a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng
- A.
  $30^{\circ}$ .
- B.
  $90^{\circ}$ .
- C.
  $45^{\circ}$ .
- D.
  $60^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow AM\bot BC$

Mặt khác $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC$

Khi đó $BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $\widehat{SMA}$

Ta có: $AM = \frac{1}{2}BC = a;SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác vuông $SAM$ ta có: $\tan\widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SMA} = 60^{0}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{0}$ .
Câu 18: Nhận biết
Tìm phần ảo của số phức
Cho số phức $z$ có $\bar{z} = - 5 + 6i$ . Phần ảo của $z$ bằng:
- A.
  $- 6$
- B.
  $- 5$
- C.
  $6$
- D.
  $5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overline{z} = - 5 + 6i \Rightarrow z = - 5 - 6i$ suy ra phần ảo của $z$ bằng $- 6$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính tích phân
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1) = 3,f(2) = 1$ . Giá trị của $\int_{1}^{2}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx$ bằng:
- A.
  $- 4$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $- 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{1}^{2}{f'(x)dx} = \left\lbrack f(x) ightbrack|_{1}^{2} = f(2) - f(1) = 1 - 3 = - 2$
Câu 20: Vận dụng
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z + 3}{- 5}$ và $d_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ , gọi $(S)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, phương trình của $(S)$ là
- A.
  $x^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 6$ .
- B.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 6$ .
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ .
- D.
  $x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 6$ .
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (1;3; - 5)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1; - 1)$ .

Giả sử $M(2 + a;4 + 3a; - 3 - 5a) \in d_{1},N( - 2 + b; - 2 - b; - 1 - b) \in d_{2}$ và $MN$ là đoạn vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 4 + b - a; - 6 - b - 3a;2 - b + 5a)$ .

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} MN\bot d_{1} \\ MN\bot d_{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1.( - 4 + b - a) + 3.( - 6 - b - 3a) - 5.(2 - b + 5a) = 0 \\ 1.( - 4 + b - a) - 1.( - 6 - b - 3a) - 1.(2 - b + 5a) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow M(1;1;2),N( - 3; - 1;0) ight.$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 4; - 2; - 2) \Rightarrow MN = \sqrt{( - 4)^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 2)^{2}} = 2\sqrt{6}$ .

Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ và có bán kính nhỏ nhất nên tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ .

Khi đó, mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;0;1)$ và bán kính $R = \frac{MN}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ .

Vậy mặt cầu $(S)$ cần tìm là $(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 6$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;6; - 1),B(2; - 4; - 1)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;2; - 1)$ đi qua $A$ . Điểm $M(a;b;c)$ (với $c > 0)$ thuộc $(S)$ sao cho IAM là tam giác đù, có diện tích bằng $2\sqrt{7}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $IA$ lớn nhất. Giá trị của $a + b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$
- B.
  $\left( 2;\frac{5}{2} ight)$
- C.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$
- D.
  $\left( \frac{5}{2};3 ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{IA} = (0;4;0) \Rightarrow IA = 4$ .

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;2; - 1)$ đi qua $A$ nên bán kính của $(S)$ là $R = LA = 4$ .

Phương trình mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 16$ .

Nhận thấy $B(2; - 4; - 1)$ nằm ngoài $(S)$ .

Gọi $H$ là trung điểm $MA$ suy ra $IH\bot MA$ . Đặt $IH = x(0 < x < 4)$ .

Diện tích tam giác $IAM$ bằng $2\sqrt{7}$ , suy ra:

${\frac{1}{2}IH.MA = 2\sqrt{7}\Rightarrow \frac{1}{2}IH.2.HA = 2\sqrt{7} \Rightarrow IH.HA = 2\sqrt{7}}$

$\Rightarrow x\sqrt{16 - x^{2}} = 2\sqrt{7} \Rightarrow x^{4} - 16x^{2}+ 28 = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 14 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{14} \\ x = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Với $x = \sqrt{14} \Rightarrow HA = \sqrt{2} \Rightarrow MA = 2\sqrt{2} < IA$ (loại do tam giác $IAM$ tù).

Với $x = \sqrt{2} \Rightarrow HA = \sqrt{14} \Rightarrow MA = 2\sqrt{14} > IA$ (thỏa mãn).

Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ lên $LA$ . Ta có:

$sin\widehat{LAH} = \frac{IH}{LA} = \frac{\sqrt{2}}{4} = sin\widehat{KAM} = \frac{MK}{AM} = \frac{MK}{2\sqrt{14}} \Rightarrow MK = \sqrt{7}.$

Ta có điểm $A,I$ cố định, điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ sao cho $MK = \sqrt{7}$ , suy ra $M$ thuộc mặt trụ $(T)$ trục là $AI$ , bán kính $MK = \sqrt{7}$ .

Vậy $M$ thuộc giao tuyến của mặt trụ $(T)$ và mặt cầu $(S)$ là đường tròn $(C)$ tâm $K$ , bán kính $MK = \sqrt{7}$ .

Ta có: $AK = \sqrt{AM^{2} - MK^{2}} = 7 \Rightarrow IK = 3 \Rightarrow \overrightarrow{IK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AI} \Rightarrow K(1; - 1; - 1)$

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ , suy ra $(P)$ đi qua $K(1; - 1; - 1)$ và nhận $\overrightarrow{n} = \frac{1}{4}\overrightarrow{IA} = (0;1;0)$ làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng $(P):y + 1 = 0$ .

Gọi $B^{'}$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$ , suy ra $B^{'}(2; - 1; - 1),KB^{'} = 1 < \sqrt{7} = MK \Rightarrow B^{'}$ nằm trong $(C)$ .

Ta có: $\overrightarrow{KB^{'}} = (1;0;0),\overrightarrow{B^{'}M} = (a - 2;b + 1;c + 1)$ .

Khi đó: $d(IA;BM) = KE \leq KB^{'} = 1$ .

$\Rightarrow d(IA;BM)_{\max} = 1 \Leftrightarrow KB^{'}\bot B^{'}M$

$\Rightarrow \overrightarrow{KB^{'}}.\overrightarrow{B^{'}M} = 0 \Leftrightarrow a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2.$

Lại có: $M(a;b;c) \in (P) \Rightarrow b + 1 = 0 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow M(2; - 1;c)$ .

Mà $MK = \sqrt{7} \Leftrightarrow 1^{2} + 0^{2} + (c + 1)^{2} = 7 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = \sqrt{6} - 1 & (tm) \\ c = - \sqrt{6} - 1 & (\ \text{loại\ do~}c > 0) \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $a + b + c = 2 - 1 + \sqrt{6} - 1 = \sqrt{6} \approx 2,45 \in \left( 2;\frac{5}{2} ight)$ .
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?
- A.
  $y = x^{- 4}$ .
- B.
  $y = x^{2024}$ .
- C.
  $y = 2024^{x}$ .
- D.
  $y = \log_{3}x$ .
Hướng dẫn:
Hàm số mũ có dạng $y = a^{x};(0 < a eq 1)$ .
Câu 23: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Xét phương trình bậc hai $az^{2} + bz + c = 0(a,b,c \in \mathbb{R},a eq 0)$ có hai nghiệm phức $z_{1},z_{2}$ có phần ảo khác 0 và $\left| 2z_{1} - \frac{1}{9} ight| = \left| z_{1} - z_{2} ight|$ . Giả sử $\left| z_{1} ight| = \frac{1}{\sqrt{k}}$ và $w$ là số phức thỏa mãn $cw^{2} + bw + a = 0$ , có bao nhiêu số nguyên dương $k$ sao cho ứng với mỗi $k$ tồn tại đúng 9 số phức $z_{3}$ có phần ảo nguyên, $z_{3} - w$ là số thuần ảo và $\left| z_{3} ight| \leq |w|$ ?
- A.
  22.
- B.
  12.
- C.
  23.
- D.
  11.
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} z_{1} = x + yi \\ z_{2} = x - yi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall x;y\mathbb{\in R} ight)$

$\Rightarrow \left| 2z_{1} - \frac{1}{9} ight| = \left| z_{1} - z_{2} ight| = \left| z_{1} - \overline{z_{1}} ight|$

$\Leftrightarrow \left( 2x - \frac{1}{9} ight)^{2} + 4y^{2} = 4y^{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{18}$

$\left\{ \begin{matrix}az^{2} + bz + c = 0 \\cw^{2} + bw + c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}w = \dfrac{1}{z} \\|w| = \dfrac{1}{|z|} = \sqrt{k} \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $z_{1} = \frac{1}{18} + yi \Rightarrow z_{1}.\overline{z_{1}} = \frac{1}{k} = y^{2} + \frac{1}{324}$

$w = \frac{1}{z_{1}} = \frac{\overline{z_{1}}}{\left| z_{1} ight|^{2}} = k\left( \frac{1}{18} - yi ight)$

$z_{3} = m + ni;\left( n\mathbb{\in Z} ight):k \in \mathbb{N}^{*}$

$Re\left( z_{3} - w ight) = 0;\left| z_{3} ight| \leq |w| = \sqrt{k}$

$\left\{ \begin{matrix}m^{2} + n^{2} \leq k \\m = \dfrac{1}{18}k \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow n^{2} \leq k -\frac{k^{2}}{324}$

$f(k) = k - \frac{k^{2}}{324};\forall k \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra có 9 số phức $z_{3}$

$\Rightarrow 16 \leq f(k) < 25 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(k) \geq 16 \\ f(k) < 25 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k - \frac{k^{2}}{324} \geq 16 \\ k - \frac{k^{2}}{324} < 25 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 17;...;27;297;...;307 ight\}$

Vậy có 22 số nguyên dương k thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 24: Nhận biết
Tìm số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{3}{2}$ là:
- A.
  4.
- B.
  0.
- C.
  2.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có số nghiệm của phương trình $f(x) = \frac{3}{2}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$ .

Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Câu 25: Thông hiểu
Tính tổng các giá trị của tham số m
Một ô tô đang chuyển động với vận tốc $20m/s$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v(t) = - 4t + 20(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng:
- A.
  30 m.
- B.
  32 m.
- C.
  48 m.
- D.
  50 m.
Hướng dẫn:
Gọi $t_{0};t_{1}$ lần lượt là thời điểm người lái xe đạp phanh và thời điểm ô tô dừng hẳn.

Khi đó $t_{0} = 0;v\left( t_{1} ight) = 0 \Leftrightarrow - 4t_{1} + 20 = 0 \Leftrightarrow t_{1} = 5$ .

Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng

$S = \int_{t_{0}}^{t_{1}}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{( - 4t + 20)dt} = 50(m)$
Câu 26: Vận dụng
Xác định khoảng chứa giá trị biểu thức
Cho hàm số $y = f(x)$ có $f(e) = \frac{1}{5}$ và $f^{'}(x) = \frac{1}{3}\ln x,\forall x \in (0; +\infty)$ . Biết $\int_{e}^{e^{3}}\mspace{2mu}\frac{f(x)}{x^{2}}dx = ae^{- 3} + be^{- 1} + c$ , với $a,b,c$ là các số hữu tỉ, giá trị của $a - b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( \frac{1}{2};\frac{3}{4} ight)$
- B.
  $\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$
- C.
  $\left( \frac{3}{4};1 ight)$
- D.
  $\left( 0;\frac{1}{4} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có $f(x) = \frac{1}{3}\int \ln xdx = \frac{1}{3}(x\ln x - \int dx) = \frac{1}{3}(x\ln x - x +C)$ .

Do $f(e) = \frac{1}{5} \Rightarrow C = \frac{3}{5}$ hay $f(x) = \frac{1}{3}\left( xlnx - x + \frac{3}{5} ight)$ .

Khi đó $f\left( e^{3} ight) = \frac{2e^{3}}{3} + \frac{1}{5}$ .

Ta có $\int_{e}^{e^{3}\mspace{2mu}}\mspace{2mu}\frac{f(x)}{x^{2}}dx = - \int_{e}^{3}\mspace{2mu} f(x)d\left( \frac{1}{x} ight) = -\left. \ \frac{1}{x}f(x) ight|_{e}^{e^{3}} +\int_{e}^{e^{3}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{x}dx$

$= - \left. \ \frac{1}{x}f(x)ight|_{e}^{e^{3}} +\frac{1}{3}\int_{e}^{3}\mspace{2mu}\frac{\ln x}{x}dx$

$= - \left. \ \frac{1}{x}f(x) ight|_{e}^{e^{3}} + \left. \ \frac{1}{6}\ln^{2}x ight|_{e}^{e^{3}}$

$= - \frac{1}{e^{3}}\left( \frac{2e^{3}}{3} + \frac{1}{5} ight) + \frac{1}{5e} + \frac{4}{3}$

$= - \frac{1}{5}e^{- 3} + \frac{1}{5}e^{- 1} + \frac{2}{3}$ .

Vậy $a = - \frac{1}{5};b = \frac{1}{5};c = \frac{2}{3} \Rightarrow a - b + c = \frac{4}{15}$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cho hình chóp $S.ABC$ có đ̛áy là tam giác vuông cân tại $A,AB = 2a$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
- A.
  $\frac{28\pi}{3}a^{2}$ .
- B.
  $\frac{25\pi}{9}a^{2}$ .
- C.
  $\frac{25\pi}{3}a^{2}$ .
- D.
  $\frac{28\pi}{9}a^{2}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A,AB = 2a$ nên $BC = 2a\sqrt{2}$ .

Gọi $G$ là tâm tam giác đều $SAB$ và $H,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ .

Ta có: $GH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Kẻ đường thẳng $Gx//HJ,Jy//SH$ .

Do mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên $SH\bot AB$ và vì vậy $SH\bot(ABC)$ .

Mà $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$ nên $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Vậy nên $Jy$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup ABC$ .

Hoàn toàn tương tự, $Gx$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup SAB$ .

Trong mặt phẳng qua $H$ , vuông góc với $AB$ hai đường thẳng $Gx$ và $Jy$ cắt nhau tại $I$ .

Dễ dàng có $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

Nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng:

$R = \sqrt{JI^{2} + JB^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} ight)^{2} + (a\sqrt{2})^{2}} = \frac{\sqrt{21}}{3}.$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng $S_{mc} = 4\pi R^{2} = \frac{28\pi}{3}a^{2}$
Câu 28: Thông hiểu
Tìm môđun số phức
Cho số phức $z = 3 + 4i$ . Môđun của số phức $iz$ bằng
- A.
  5.
- B.
  $49$ .
- C.
  7.
- D.
  25.
Hướng dẫn:
Ta có:

$|iz| = \left| i(3 + 4i) ight| = | - 4 + 3i| = \sqrt{( - 4)^{2} + 3^{2}} = 5$ .
Câu 29: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = 2x + 4,\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2; + \infty)$ .
- B.
  $(2; + \infty)$ .
- C.
  $( - \infty; - 2)$ .
- D.
  $(2;4)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = 2x + 4 < 0 \Leftrightarrow x < - 2$

Vậy nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 2)$ .
Câu 30: Nhận biết
Xác định hàm số
Đồ thị của hàm số nào dưới đ̛ây có dạng như đường cong trong hình bên?
- A.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 3$ .
- B.
  $y = x^{3} + 3x^{2} - 1$ .
- C.
  $y = x^{4} - 2x^{2} - 4$ .
- D.
  $y = \frac{x - 2}{2x + 1}$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{3} + 3x^{2} - 1$ .
Câu 31: Nhận biết
Chọn cấp số cộng
Dãy số nào dưới đây là một cấp số cộng?
- A.
  $1,\ 2,\ 3, - 4$ .
- B.
  $1,\ 3,\ 5,\ 7$ .
- C.
  $1,\ 3,\ 5,\ 10$ .
- D.
  $1,\ 0,\ 2,\ 4$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $1,\ 3,\ 5,\ 7$ là một cấp số cộng với $u_{1} = 1;d = 2$ .
Câu 32: Nhận biết
Tính bán kính hình trụ
Cho hình trụ có diện tích xung quanh $S_{xq} = 36\pi$ và chiều cao $h = 6$ . Bán kính của hình trụ đã cho bằng?
- A.
  $6$
- B.
  $3$
- C.
  $12$
- D.
  $9$
Hướng dẫn:
Ta có:

$S_{xq} = 2\pi rl = 2\pi rh \Rightarrow r = \frac{S_{xq}}{2\pi h} = \frac{36\pi}{2\pi.6} = 3$
Câu 33: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện bài toán
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ tồn tại đúng hai số phức $z$ thỏa mãn $|z - 1 - 5i| + |z - 1 + 5i| = 10$ và $|z - 2 - i| = m$ ?
- A.
  5.
- B.
  4.
- C.
  3.
- D.
  2.
Hướng dẫn:
Giả sử $z = x + yi;\left( x;y\mathbb{\in R} ight)$ và điểm M biểu diễn số phức $z$ .

$A(1;5),B(1; - 5)$

Ta có: $|z - 1 - 5i| + |z - 1 + 5i| = 10 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MA + MB = 10 \\ AB = 10 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đoạn thẳng $AB$

$|z - 2 - i| = m \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = m^{2}$

Với $m > 0$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(2;1)$ bán kính $R = m$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của $I(2;1)$ trên đoạn $AB$ suy ra $IH = 1$

Hình vẽ minh họa

$IA < IB$ . Theo yêu cầu bài toán $1 < m \leq MA \Leftrightarrow 1 < m \leq \sqrt{17}$

Kết hợp với điều kiện $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 2;3;4 ight\}$ .
Câu 34: Nhận biết
Tính thể tích khối lăng trụ
Cho khối lăng trụ tam giác có diện tích đáy $B = 6$ và chiều cao $h = 3$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $24$
- B.
  $18$
- C.
  $12$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Thể tích khối lăng trụ là: $V = B.h = 6.3 = 18$ .
Câu 35: Nhận biết
Xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{4x - 1}{3x + 2}$ có phương trình là
- A.
  $y = - \frac{2}{3}$ .
- B.
  $y = \frac{4}{3}.$
- C.
  $x = \frac{4}{3}$ .
- D.
  $x = - \frac{2}{3}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\lim_{x ightarrow - \frac{2}{3}^{-}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow - \frac{2}{3}^{+}}y = - \infty$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: $x = - \frac{2}{3}$ .
Câu 36: Nhận biết
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\ \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phưong của $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2;0)$
- B.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;1;3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;0)$
- D.
  $\overrightarrow{u_{3}} = (1; - 1; - 3)$ .
Hướng dẫn:
Vectơ $\overrightarrow{u_{3}} = (1; - 1; - 3)$ là một vectơ chỉ phưong của $d$ .
Câu 37: Nhận biết
Xác định chiều cao hình chóp
Cho khối chóp tứ giác có thể tích $V = 3a^{3}$ và diện tích đáy $B = a^{2}$ . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng:
- A.
  $3a$
- B.
  $9a$
- C.
  $6a$
- D.
  $a$
Hướng dẫn:
Ta có: $V = \frac{1}{3}Bh \Rightarrow 3a^{3} = \frac{1}{3}a^{2}.h \Rightarrow h = 9a$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = - 6x^{3} + 27x^{2} - 16x + 1$ trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ bằng:
- A.
  6.
- B.
  -154.
- C.
  $\frac{329}{9}$ .
- D.
  $- \frac{14}{9}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = - 18x^{2} + 54x - 16$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 18x^{2} + 54x - 16 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{8}{3} \in \lbrack 1;5brack \\x = \dfrac{1}{3} otin \lbrack 1;5brack \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f(1) = 6;f(5) = - 154;f\left( \frac{8}{3} ight) = \frac{329}{9}$

$\Rightarrow \underset{\lbrack 1;5brack}{\max f(x)} = f\left( \frac{8}{3} ight) = \frac{329}{9}$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a eq 1,{\ log}_{a^{2}}b^{2}$ bằng
- A.
  $\left( \log_{a}b ight)^{2}$ .
- B.
  $\log_{a}b^{4}$ .
- C.
  $\log_{a^{4}}b$ .
- D.
  $\log_{a}b$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $log_{a^{2}}b^{2} = \frac{1}{2}.2log_{a}b = log_{a}b$ .
Câu 40: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng đi qua điểm $M(3;4; - 2)$ và vuông góc với truc $Oz$ có phương trình là
- A.
  $x - 3 = 0$ .
- B.
  $x + y + z - 5 = 0$
- C.
  $y - 4 = 0$ .
- D.
  $z + 2 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt phẳng vuông góc với trục Oz nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Mặt phẳng đi qua điểm $M(3;4; - 2)$ và vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ có phương trình là $z + 2 = 0$ .
Câu 41: Thông hiểu
Tính xác suất của biến cố
Trên hai tia $Ox,Oy$ của góc nhọn $x0$ y lần lượt cho 5 điểm và 6 điểm phân biệt khác 0. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ 12 điểm (gồm điểm 0 và 11 điểm đã cho), xác suất để 3 điểm chọn được là ba đỉnh của một tam giác bằng
- A.
  $\frac{27}{44}$ .
- B.
  $\frac{39}{44}$ .
- C.
  $\frac{19}{22}$ .
- D.
  $\frac{3}{4}$ .
Hướng dẫn:
Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = C_{12}^{3}$

Gọi A là biến cố ba điểm được chọn là ba đỉnh của một tam giác

TH1: 3 điểm được chọn có điểm O, khi đó ta chọn 1 điểm trên Ox và 1 điểm trên Oy. Số cách chọn là $6.5 = 30$ .

TH2: 3 điểm được chọn không có điểm O, khi đó ta chọn 2 điểm trên Ox và 1 điểm trên Oy. Số cách chọn là $C_{5}^{2}.C_{6}^{1} = 60$ .

TH3: 3 điểm được chọn không có điểm O, khi đó ta chọn 1 điểm trên Ox và 2 điểm trên Oy. Số cách chọn là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} = 75$

Suy ra số phần tử của biến cố A là: $n(A) = 30 + 60 + 75 = 165$

Vậy xác suất là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{165}{C_{12}^{3}} = \frac{3}{4}$ .
Câu 42: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a
Có bao nhiêu số nguyên $a$ lớn hơn 1 sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại không quá 4 số nguyên $b$ thỏa mãn $5^{b^{2}} < 25^{- b} \cdot a^{b + 2}$ ?
- A.
  124.
- B.
  100.
- C.
  99.
- D.
  125.
Hướng dẫn:
Ta có:

$5^{b^{2}} < 25^{- b}.a^{b + 2} \Leftrightarrow 5^{b^{2}}.25^{b} < a^{b + 2} \Leftrightarrow 5^{b^{2} + 2b} < a^{b + 2}$

$\Leftrightarrow b^{2} + 2b < (b + 2)log_{5}a \Leftrightarrow (b + 2)\left( b - log_{5}a ight) < 0$

$\Leftrightarrow - 2 < b < log_{5}a$ (do $\log_{5}a >0$ )

Để thỏa mãn thì $log_{5}a \leq 3 \Leftrightarrow a \leq 125$

Do a nguyên và lớn hơn 1 nên có 124 giá trị thỏa mãn.
Câu 43: Nhận biết
Tìm phần thực số phức
Trên mặt phẳng tọa đợ, $M(2; - 5)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ . Phần thực của $z$ bằng
- A.
  -2
- B.
  -5
- C.
  5
- D.
  2
Hướng dẫn:
Ta có: $M(2; - 5)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ suy ra $z = 2 - 5i$

Vậy phần thực của số phức đã cho bằng $2$ .
Câu 44: Vận dụng
Xác định tất cả số nguyên a thỏa mãn đề bài
Cho hàm số $f(x) = \frac{2}{x^{3}} + ln\frac{x + 3}{x - 3}$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in ( - \infty;2100)$ thỏa mãn $f(a - 2024) + f(6a - 27) \geq 0$ ?
- A.
  2096.
- B.
  $1807$ .
- C.
  360.
- D.
  288.
Hướng dẫn:
Xét $f(x) = \frac{2}{x^{3}} + \ln\frac{x +3}{x - 3}$ có tập xác định $D = ( - \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

Có $f^{'}(x) = - \frac{6}{x^{4}} - \frac{6}{(x - 3)^{2}}.\left( \frac{x - 3}{x + 3} ight) < 0\ \forall x \in D$

Suy ra $f(x)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định $( - \infty; - 3)$ và $(3; + \infty)$

Ta lại có $f( - x) = \frac{2}{( - x)^{3}}+ \ln\left( \frac{- x + 3}{- x - 3} ight) = - \left( \frac{2}{x^{3}} +\ln\frac{x + 3}{x - 3} ight) = - f(x)$

Suy ra $f(x)$ là hàm số lẻ. và nghịch biến trên từng khoảng của TXĐ

Từ đó suy ra $f(a - 2024) + f(6a - 27) \geq 0$ điều kiện $a \in ( - \infty;4) \cup (5;2021) \cup (2027; + \infty)$

$\Leftrightarrow f(a - 2024) \geq - f(6a - 27) = f( - 6a + 27)$

Lập BBT có: $\forall x \in (3; + \infty)$ thì $f(x) > 0$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{matrix} a - 2024 > 3 \\ 6a - 27 > 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 2027 \\ a > 5 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ suy ra $a \in \lbrack 2028;2099brack$ bất phương trình được nghiệm đúng suy ra trường hợp này có 72 giá trị nguyên của $a$ .

Trường hợp 2: $a < 2027$ bất phương trình trở thành

$\Leftrightarrow f(a - 2024) \geq - f(6a - 27) = f( - 6a + 27)\ \text{(2)}$

Khi đó (2) $\Leftrightarrow a - 2024 \leq - 6a + 27 \Leftrightarrow 7a \leq 2051 \Leftrightarrow a \leq 293$

Từ (2) và (3) suy ra $5 < a \leq 293$ mà $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \{ 6;\ldots;293\}$

Có $293 - 6 + 1 = 288$ giá trị $a$ .

Vậy có tất cả $288 + 72 = 360$ giá trị nguyên của $a$ thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 45: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Với $a,b$ là hai số thực lớn hơn $1,\log_{ab}b$ bằng
- A.
  $1 + \log_{b}a$ .
- B.
  $\frac{1}{1 + \log_{b}a}$ .
- C.
  $\frac{1}{\log_{b}a}$ .
- D.
  $1 - \log_{b}a$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\log_{ab}b = \frac{1}{\log_{b}ab} =\frac{1}{\log_{b}a + \log_{b}b} = \frac{1}{\log_{b}a + 1}$
Câu 46: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Xét hàm số $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d(a,b,c,d \in \mathbb{R},a > 0)$ có hai điểm cực trị $x_{1},x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2}$ ) thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 0$ . Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f^{'}(x)f^{''}(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\frac{9}{4}$ . Biết $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{3^{x}+ 1}dx = - \frac{7}{2}$ , giá trị của $\int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu}(x + 2)f^{''}(x)dx$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(6;7)$ .
- B.
  $( - 7; - 6)$ .
- C.
  $( - 1;0)$ .
- D.
  $(0;1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $f^{'}(x) = 3ax^{2} + 2bx + c;f^{''}(x) = 6ax \Rightarrow f^{''}(x)$ là hàm số lẻ.

Vì $x_{1} + x_{2} = 0$ nên $x_{1} + x_{2} = - \frac{2b}{3a} = 0 \Leftrightarrow b = 0$ .

Do đó $f^{'}(x) = 3ax^{2} + c$ là hàm số chẵn và $ac < 0,x_{1} = - x_{2}$ .

Xét phương trình $f^{'}(x).f^{''}(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f^{'}(x) = 0 \\ f^{''}(x) = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm x_{2} \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ , vì $x_{1} = - x_{2}$ .

$S = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\left| f^{'}(x).f^{''}(x) ight|dx = \frac{9}{4} \Leftrightarrow 2\int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu}\left| f^{'}(x).f^{''}(x) ight|dx = \frac{9}{4}$ , vì $\left| f^{'}(x).f^{''}(x) ight|$ là hàm chẵn.

$\Leftrightarrow \left| 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack f'(x).f''(x) ightbrack dx} ight| = \frac{9}{4}$

${\Leftrightarrow \left| \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}|_{0}^{x_{2}} ight| = \frac{9}{4} }{\Leftrightarrow |\left\lbrack f^{'}\left( x_{2} ight) ightbrack^{2} - \left\lbrack f^{'}(0) ightbrack^{2}|\ = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left\lbrack f^{'}(0) ightbrack^{2} = \frac{9}{4}}$

Xét tích phân $I =\int_{x_{1}}^{x_{1}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{3^{x} + 1}dx = \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{3^{x} +1}dx = - \frac{7}{2}$

Đặt $t = - x \Rightarrow dx = - dt$ , với $x = - x_{2} \Rightarrow t = x_{2};x = x_{2} \Rightarrow t = - x_{2}$ nên

$I = - \int_{x_{2}}^{-x_{2}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}( - t)}{3^{- t} + 1}dt =\int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{3^{t} \cdot f^{'}(t)}{3^{t}+ 1}dt = \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{3^{x} \cdot f^{'}(x)}{3^{x} + 1}dx$ , vì $f^{'}(x)$ là hàm chẵn.

$\Rightarrow 2I = \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - 7 \Leftrightarrow \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - 7$

$\Leftrightarrow 2\int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - 7 \Leftrightarrow \int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - \frac{7}{2}$ .

Xét tích phân $K = \int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu}(x + 2)f^{''}(x)dx$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = x + 2 \\ dv = f''(x) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = f'(x) \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $K = (x + 2)f'(x)|_{0}^{x_{2}} - \int_{0}^{x_{2}}{f'(x)dx}$

$= - 2f'(0) - \int_{0}^{x_{2}}{f'(x)dx} = 3 + \frac{7}{2} = \frac{13}{2}$
Câu 47: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\int(2x + 3)dx = 2x^{2} + 3x + C$ .
- B.
  $\int(2x + 3)dx = x^{2} + C$ .
- C.
  $\int(2x + 3)dx = \frac{1}{2}x^{2} + 3x + C$ .
- D.
  $\int(2x + 3)dx = x^{2} + 3x + C$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{}^{}{(2x + 3)dx} = x^{2} + 3x + C$ .
Câu 48: Thông hiểu
Xác định khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ . Hàm số $y = f^{'}(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;2)$ .
- B.
  $( - 1;1)$ .
- C.
  $( - \infty; - 1)$ .
- D.
  $(1;2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;1)$
Câu 49: Vận dụng
Tính thể tích khối lăng trụ
Cho khối lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{'}B^{'}C^{'}$ có đảy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB = a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( A^{'}BC ight)$ và $(ABC)$ bằng $30^{\circ}$ , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{4}a^{3}$ .
- B.
  $\frac{3\sqrt{6}}{4}a^{3}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{6}}{12}a^{3}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{6}}{36}a^{3}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của BC

Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra $AH\bot BC$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ BC\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'HA)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = (A'H;AH) = \widehat{A'HA}$

Xét tam giác A’HA vuông tại A ta có: $AH = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\tan\widehat{A'HA} =\frac{AA'}{AH} \Rightarrow AA' = AH.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3} =\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$

Vậy $V = S_{ABC}.AA' = \frac{1}{2}a^{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 50: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn đề bài
Xét hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có $f( - 1) = - 5$ . Hàm số $y = f^{'}(x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty),f^{'}(4) = 0$ và $f^{'}( - 1) = a$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in ( - 100;0)$ sao cho ứng với mỗi $a$ , hàm số $y = \left| f(x) + \frac{5}{x^{2}} ight|$ có đúng 3 diểm cực trị thuộc khoảng $( - 1; + \infty)$ ?
- A.
  9.
- B.
  10.
- C.
  89.
- D.
  90.
Hướng dẫn:
Do hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ ; $f'(4) = 0;f'( - 1) = a$ nên ta có bảng biến thiên của các hàm số $y = f(x);y = f'(x)$ trên $( - 1; + \infty)$ như sau:

Xét hàm số $h(x) = f(x) + \frac{5}{x^{2}}$ trên $(0; + \infty)$

Ta có: $h'(x) = f'(x) - \frac{10}{x^{3}} = 0 \Rightarrow f'(x) = \frac{10}{x^{3}}\ \ \ (1)$

Xét hàm số $g(x) = \frac{10}{x^{3}}$ . Ta có: $g^{'}(x) = \frac{- 30}{x^{4}} < 0,\forall x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{ 0\}$ .

Bảng biến thiên:

Dễ thấy rằng $g(x)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ và $f^{'}(x)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên phương trình
(1) có nghiệm duy nhất $x = \alpha$ trên $(4; + \infty)$ .

Bảng biến thiên hàm số $h(x)$ trên $(0; + \infty)$

Mặt khác $h(\alpha) = f(\alpha) + \frac{5}{\alpha^{2}} < - 5 + \frac{5}{\alpha^{2}} < 0$ do $\alpha > 4$ .

Khi đó hàm số $h(x) = f(x) + \frac{5}{x^{2}}$ có một điểm cực trị và hai nghiệm phân biệt trên $(0; + \infty)$ .

Nên để hàm số $y = \left| f(x) + \frac{5}{x^{2}} ight|$ có đúng 3 điểm cực trị thuộc khoảng $( - 1; + \infty)$ thì hàm số $h(x) = f(x) + \frac{5}{x^{2}}$ không có nghiệm hoặc điểm cực trị trên $( - 1;0)$ hay $a \geq - 10$ .

Mà $a$ là số nguyên và $a \in ( - 100;0)$ nên $a \in \{ - 10; - 9;\ldots; - 1\}$ .