THPT Quốc gia Đề thi các năm

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2023

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 50 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 50 điểm
  • Thời gian làm bài: 90 phút
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
90:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính phần thực của số phức

    Cho số phức z = 2 + 9i, phần thực của số phức z^{2} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} z = 2 + 9i \hfill \\ \Rightarrow {z^2} = {\left( {2 + 9i} ight)^2} \hfill \\ = 4 + 2.9i - 81 = - 77 + 18i \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phần thực là -77

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm tọa độ tâm mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z + 1 = 0. Tâm của (S) có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Gọi tâm của mặt cầu là I(a, b, c)

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} - 2a = - 2 \\ - 2b = - 4 \\ - 2c = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;2;3)

  • Câu 3: Nhận biết
    Tính giá trị của số hạng thuộc dãy số

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2 và công bội q = \frac{1}{2}. Giá trị của u_{3} bằng

    Hướng dẫn:

    u_{3} = u_{1}.q^{2} = 2.\left( \frac{1}{2} ight)^{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Trên tập hợp số phức, xét phương trình z^{2} - 2(m + 1)z + m^{2} = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z_{1},z_{2} thỏa mãn \left| z_{1} ight| + \left| z_{2} ight| = 2 ?

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix} {z^2} - 2\left( {m + 1} ight)z + {m^2} = 0 \hfill \\ \Delta ' = {\left( {m - 1} ight)^2} - {m^2} = 2m + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Trường hợp 1: \Delta' > 0 \Rightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}

    Phương trình có hai nghiệm thực

    \left\lbrack \begin{matrix}z_{1} = \dfrac{- b + \sqrt{\Delta'}}{a} = m + 1 + \sqrt{2m + 1} \\z_{2} = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta'}}{a} = m + 1 - \sqrt{2m + 1} \\\end{matrix} ight.

    Để \left| z_{1} ight| + \left| z_{2} ight| = 2

    \begin{matrix} \Rightarrow {z_1}^2 + 2\left| {{z_1}{z_2}} ight| + {z_2}^2 = 4 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} ight)^2} - 2{z_1}{z_2} + 2\left| {{z_1}{z_2}} ight| = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Theo Vi-et ta có: z_{1}.z_{2} = m^{2}

    Và \left| z_{1}.z_{2} ight| = \left| m^{2} ight| \Rightarrow \left( z_{1} + z_{2} ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow \left\lbrack 2(m + 1) ightbrack^{2} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(tm) \\ m = - 2(L) \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 2: \Delta' < 0 \Rightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}

    Phương trình có hai nghiệm phức

    \left\lbrack \begin{matrix}z_{1} = \dfrac{- b + i\sqrt{- \Delta'}}{a} = m + 1 + i\sqrt{- 2m - 1}\\z_{2} = \dfrac{- b - i\sqrt{- \Delta'}}{a} = m + 1 - i\sqrt{- 2m - 1}\\\end{matrix} ight.

    Để \left| z_{1} ight| + \left| z_{2} ight| = 2

    \begin{matrix} 2\left| {{z_1}} ight| = 2 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} + {\left( { - 2m - 1} ight)^2} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm các cặp số nguyên (x; y)

    Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

    \log_{3}\left( x^{2} + y^{2} + x ight)+ \log_{2}\left( x^{2} + y^{2} ight) \leq \log_{3}x + \log_{2}\left( x^{2} +y^{2} + 24x ight)?

    Hướng dẫn:

    {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} ight) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} ight) \leqslant {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} ight)

    Điều kiện x > 0

    \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} + 1} ight) \leqslant {\log _2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} ight)\left( * ight)

    Đặt \frac{x^{2} + y^{2}}{x} = t,(t >0) bất phương trình (*) tương đương

    \Leftrightarrow \log _{3}(t + 1) \leq \log_{2}\left( 1 + \frac{24}{t} ight)

    \Leftrightarrow {\log _3}\left( {t + 1} ight) - {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} ight) \leqslant 0

    Sử dụng TABLE casio ta tìm được

    \begin{matrix} 0 < t \leqslant 8 \Leftrightarrow 0 < \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{x} \leqslant 8 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 < {x^2} + {y^2} \leqslant 8x \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} ight)^2} + {y^2} \leqslant 16 \hfill \\ \end{matrix}

    Hình tròn tâm I(4; 0); R = 4

    Xét một góc phần tư ta được 12 điểm thỏa mãn

    => Có 48 cặp điểm (x; y) thỏa mãn.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Xét các số phức z thỏa mãn \left| z^{2} - 3 - 4i ight| = 2|z|. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Giá trị của M^{2} + m^{2} bằng:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    2|z| = \left| {{z^2} - 3 - 4i} ight| \geqslant \left| {{z^2}} ight| - |3 + 4i|| = ||z{|^2} - 5\mid \left( {do{\text{ }}\left| {{z^2}} ight| = |z{|^2}} ight)

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {z^2} = k( - 3 - 4i)

    \begin{matrix} \Rightarrow 4|z{|^2} \geqslant {(|z| - 5)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow |z{|^4} - 14|z{|^2} + 25 \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 7 - 2\sqrt 6 \leqslant |z{|^2} \leqslant 7 + 2\sqrt 6 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 6 - 1 \leqslant |z| \leqslant \sqrt 6 + 1 \hfill \\ \Rightarrow M = 1 + \sqrt 6 ,m = \sqrt 6 - 1 \hfill \\ \Rightarrow {M^2} + {m^2} = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm m để phương trình có ba nghiệm thực phân biệt

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Quan sát đồ thị ta thấy để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt thì y = f(x) và y = m cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

    => - 3 < m < 1 mà m\mathbb{\in Z}

    => m \in \left\{ - 3; - 2; - 1ight\}

    Vậy có ba giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ một điểm điến một mặt phẳng

    Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao a,AC = 2a (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AC = 2a \Rightarrow BC =a\sqrt{2}

    Tính khoảng cách d(O; (SCD))

    Kẻ OM ⊥ CD => M là trung điểm của CD

    => OM là đường trung bình của tam giác BCD

    => OM// = \frac{1}{2}BC =\frac{a\sqrt{2}}{2}

    Kẻ OH ⊥ SM ta có: \left\{ \begin{matrix}OH\bot SM \\OH\bot CD \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(SCD)

    d\left( O;(SCD) ight) =OH

    \Rightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{OM^{2}} \Rightarrow OH =\frac{a\sqrt{3}}{3}

    Ta có kéo dài BO cắt (SCD) tại điểm D ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{d\left( {B;\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight)}} = \dfrac{{BD}}{{OD}} = 2 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng
    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(x) + xf^{'}(x) = 4x^{3} + 4x + 2,\forall x \in \mathbb{R}. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) và y = f^{'}(x) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) + x.f'\left( x ight) = 4{x^3} + 4x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + f'\left( x ight).x = 4{x^3} + 4x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {x.f\left( x ight)} ight]' = 4{x^3} + 4x + 2 \hfill \\ \Rightarrow \int {\left[ {x.f\left( x ight)} ight]'} dx = \int {\left( {4{x^3} + 4x + 2} ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow x.f\left( x ight) = 4.\dfrac{{{x^4}}}{4} + 4.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Cho x = 0ta có:

    0.f(0) = 0 + 0 + 0 + C \Rightarrow C = 0

    \begin{matrix} \Rightarrow f\left( x ight) = {x^3} + 2x + 2 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 3{x^2} + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét giao điểm của f(x) và f’(x)

    \begin{matrix} {x^3} + 2x + 2 = 3{x^2} + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x = 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) và y = f^{'}(x) bằng

    S = \int_{0}^{2}{\left| f(x) - f'(x) ight|dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 10: Nhận biết
    Tính đạo hàm của hàm số

    Trên khoảng (0; + \infty), đạo hàm của hàm số y = x^{\pi} là:

    Hướng dẫn:

    y' = \left( x^{\pi} ight)' = \pi x^{\pi - 1}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm khẳng định đúng

    Cho hàm số f(x) = cosx + x. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\cos x + x} ight)dx} \hfill \\ = \int {\cos xdx} + \int {xdx} \hfill \\ = \int {\cos xdx} + \int {xdx} \hfill \\ = \sin x + \dfrac{1}{2}{x^2} + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm tọa độ giao điểm của hàm số

    Cho hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d} có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là:

    Hướng dẫn:

    Giao của đồ thị hàm số với trục hoành nghĩa là y = 0

    Quan sát đồ thị hàm số với y = 0 thì x = 2

    => Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là: (2; 0)

  • Câu 13: Nhận biết
    Thể tích khối lập phương

    Cho khối lập phương có cạnh bằng 2. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối lập phương cạnh bằng 2 là: V = 2^{3} = 8

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Với a là số thực dương tùy ý, ln(3a) - ln(2a) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: \ln(3a) - \ln(2a) = \ln\left( \frac{3a}{2a} ight) = \ln\frac{3}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =\frac{2x + 1}{3x - 1} là đường thẳng có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \infty}y =\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2x + 1}{3x - 1} =\frac{2}{3}

    Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y =\frac{2}{3}

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho \int\frac{1}{x}dx = F(x) +C. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F'(x) = \left( {\int {f\left( x ight)dx} } ight)' = \frac{1}{x}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm a nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a\in ( - 10; + \infty) để hàm số y =\left| x^{3} + (a + 2)x + 9 - a^{2} ight| đồng biến trên khoảng (0;1)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \left| {{x^2} + \left( {a - 2} ight)x + 9 - {a^2}} ight| \hfill \\ y' = \dfrac{{\left( {3{x^2} + a + 2} ight)\left[ {{x^3} + \left( {a + 2} ight)x + 9 - {a^2}} ight]}}{{\left| {{x^2} + \left( {a - 2} ight)x + 9 - {a^2}} ight|}} \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số đồng biến trên (0;1) thì y' \geq 0\left( \forall x \in (0;1)ight)

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix}3x^{2} + a + 2 \geq 0 \Rightarrow a \geq - 3x^{2} - 2;\left( \forall x\in (0;1) ight) \Rightarrow a \geq - 2(*) \\x^{3} + (a + 2)x + 9 - a^{2} \geq 0\ \ \\\end{matrix} ight.

    Xét f(x) = x^{3} + (a + 2)x + 9 -a^{2}ta có:

    f'(x) = 3x^{2} + a + 2 > 0,\left(\forall x \in (0;1),a \geq - 2 ight)

    Bảng biến thiên

    Để f'(x) \geq 0 \Rightarrow f(0) \geq0

    \begin{matrix} \Rightarrow 0 + \left( {a + 2} ight).0 + 9 - {a^2} \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 3 \leqslant a \leqslant 3\left( {**} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Từ (*) và (**) => - 2 \leq a \leq3

    => a = \left\{ - 2; - 1;...;0;1;2;3ight\}

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{matrix}3x^{2} + a + 2 \leq 0 \Rightarrow a \leq - 3x^{2} - 2;\left( \forall x\in (0;1) ight) \Rightarrow a \leq - 5(*) \\x^{3} + (a + 2)x + 9 - a^{2} \leq 0\ \ \\\end{matrix} ight.

    Xét g(x) = x^{3} + (a + 2)x + 9 -a^{2}

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = 3{x^2} + a + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^2} = - a - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ \pm \sqrt { - a - 2} }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Để g'(x) \leq 0,\left( \forall x \in(0;1) ight) ta có:

    g(0) \leq 0 \Leftrightarrow 9 - a^{2}\leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq a \leq 3(ktm)

    Hoặc

    g(1) \leq 0 \Leftrightarrow 1 + a + 2 +9 - a^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a \leq 3 \\a \geq 4 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện ta có: a \in ( -10; - 5brack

    Mà a là số nguyên => a = \left\{ - 9;- 8; - 7; - 6; - 5 ight\}

    Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của a.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính số tập con gồm hai phần tử của A

    Cho tập hợp A có 15 phần tử. Số tập con gồm hai phần tử của A bằng

    Hướng dẫn:

    Số tập con gồm hai phần tử của A bằng C_{15}^{2} = 105

  • Câu 19: Vận dụng
    Tập hợp các số nguyên x thỏa mãn bất phương trình

    Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn \log_{3}\frac{x^{2} - 16}{343} <\log_{7}\frac{x^{2} - 16}{27} ?

    Hướng dẫn:

    log_{3}\frac{x^{2} - 16}{343} <log_{7}\frac{x^{2} - 16}{27}(*)

    Điều kiện x^{2} - 16 > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\x < - 4 \\\end{matrix} ight.

    \begin{matrix} \left( * ight) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) - {\log _3}343 < {\log _7}\left( {{x^2} - 16} ight) - {\log _7}27 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) - {\log _7}3.{\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < {\log _3}343 - {\log _7}27 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) - {\log _7}3.{\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < {\log _3}{7^3} - {\log _7}{3^3} \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight)\left[ {1 - {{\log }_7}3} ight] < {\log _3}{7^3} - {\log _7}{3^3} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < \dfrac{{3{{\log }_3}7 - 3{{\log }_7}3}}{{1 - {{\log }_7}3}} \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < \dfrac{{3{{\log }_3}7 - 3\dfrac{1}{{{{\log }_3}7}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{\log }_3}7}}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < \dfrac{{3\left( {{{\log }_3}7 - \dfrac{1}{{{{\log }_3}7}}} ight)}}{{\dfrac{{{{\log }_3}7 - 1}}{{{{\log }_3}7}}}}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < 3\left( {{{\log }_3}7 + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < 3\left( {{{\log }_3}7 + {{\log }_3}3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < 3{\log _3}21 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 16} ight) < {\log _3}{21^3} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 16 < {21^3} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} < 9277 \hfill \\ \Leftrightarrow - 96,3 < x < 96,3 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp điều kiện

    \Rightarrow x = \left\{ - 96;... -5;5;...;96 ight\}

    Vậy có 186 số.

  • Câu 20: Nhận biết
    Tìm tập nghiệm của bất phương trình

    Tập nghiệm của bất phương trình 2^{x + 1} < 4 là

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix} {2^{x + 1}} < 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {2^{x + 1}} < {2^2} \hfill \\ \Leftrightarrow x + 1 < 2 \hfill \\ \Rightarrow x < 1 \hfill \\ \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu
    Tập nghiệm của bất phương trình

    Tập nghiệm của bất phương trình \log(x -2) > 0 là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \log \left( {x - 2} ight) > 0,\left( {x e 2} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x - 2 > 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x > 3 \hfill \\ \Rightarrow x \in \left( {3; + \infty } ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Nếu \int_{0}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 4 thì \int_{0}^{2}\mspace{2mu}\left\lbrack \frac{1}{2}f(x) - 2 ightbrack dx bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \int\limits_0^2 {\left[ {\dfrac{1}{2}f\left( x ight) - 2} ight]dx} \hfill \\ = \int\limits_0^2 {\dfrac{1}{2}f\left( x ight)dx} + \int\limits_0^2 {\left( { - 2} ight)dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}.4 + \left( { - 2x} ight)\mathop |olimits_0^2 = 2 - 4 = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết
    Tính tổng tích phân

    Nếu \int_{- 1}^{4}\mspace{2mu} f(x)dx = 2 và \int_{- 1}^{4}\mspace{2mu} g(x)dx = 3 thì \int_{- 1}^{4}\mspace{2mu}\lbrack f(x) + g(x)brack dx bằng

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix} \int\limits_{ - 1}^4 {\left[ {f(x) + g(x)} ight]dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x ight)dx} + \int\limits_{ - 1}^4 {g\left( x ight)dx} \hfill \\ = 2 + 3 = 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu
    Giá trị cực đại của hàm số

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

    Hướng dẫn:

    Giá trị cực đại của hình bên là y = 3

  • Câu 25: Nhận biết
    Tìm vecto pháp tuyến

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Hướng dẫn:

    Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là: \overrightarrow{n_{3}} = (1;1;1)

  • Câu 26: Nhận biết
    Điểm cực trị của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = ax^{4} + bx^{2} +c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Quan sát đồ thị ta có bảng biến thiên như sau:

    Điểm cực trị của đồ thị hàm số

    =>Đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: (0;1)

  • Câu 27: Nhận biết
    Điểm thuộc đồ thị

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{- 2}. Điểm nào dưới đây thuộc d?

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ điểm Q(1;2; - 3) vào hàm số ta có:

    \frac{1 - 1}{2} = \frac{2 - 2}{- 1} = \frac{- 3 + 3}{- 2} = 0

    Vậy Q \in d

  • Câu 28: Thông hiểu
    Thể tích khối tròn xoay

    Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = - x^{2} + 2x và y = 0 quanh trục Ox bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = - x^{2} + 2x và y = 0 quanh trục Ox bằng

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \frac{16\pi}{15}

  • Câu 29: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; - 1; - 1) và N(5;5;1). Đường thẳng MN có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình đường thẳng MN đi qua M(1; -1; -1)

    Vecto chỉ phương: \overrightarrow{u} = \overrightarrow{MN} = (4;6;2) = 2.(2;3;1)

    Vậy phương trình MN là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Tính xác suất

    Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng:

    Hướng dẫn:

    Không gian mẫu n(\Omega) = C_{15}^{2}

    Để lấy ra hai quả khác màu và tổng là số chẵn ta có:

    Trường hợp 1: 1 quả đỏ mang số lẻ, 1 quả xanh mang số lẻ

    C_{3}^{1}.C_{5}^{1} = 15

    Trường hợp 2: 1 quả đỏ mang số chẵn, 1 quả xanh mang số chẵn

    C_{3}^{1}.C_{4}^{1} = 12

    Vậy xác suất cần tìm là P = \frac{12 + 15}{C_{15}^{2}} = \frac{9}{35}

  • Câu 31: Thông hiểu
    Tìm tâm của đường tròn

    Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z + 2i| = 1 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm đường tròn cần tìm

    \begin{matrix} \left| {z + 2i} ight| = 1 \hfill \\ z = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + 2i} ight| = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 2} ight)i} ight| = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} = 1 \hfill \\ \Rightarrow I\left( {0; - 2} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết
    Tính đạo hàm của hàm số

    Trên khoảng (0; + \infty), đạo hàm của hàm số y = \log_{3}x là:

    Hướng dẫn:

    y' = \left( \log_{3}x ight)' =\frac{1}{xln3}

  • Câu 33: Nhận biết
    Xác định điểm biểu diễn của số phức

    Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 7 - 6i có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Điểm biểu diễn số phức z = 7 - 6i có tọa độ là (7; - 6)

  • Câu 34: Nhận biết
    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có vecto pháp tuyến của (Oxy) và (Oyz) lần lượt là: \overrightarrow k ;\overrightarrow i

    Vì \overrightarrow k \bot \overrightarrow i => Góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng 900

  • Câu 35: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R). Gọi d là khoảng cách từ O đến (P). Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Toán 12 - Phương pháp xử lý bài toán mặt cầu cố định | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum

  • Câu 36: Nhận biết
    Tìm phần ảo của số phức

    Phần ảo của số phức z = 2 - 3i là

    Hướng dẫn:

    Phần ảo của số phức là: -3

  • Câu 37: Thông hiểu
    Tìm khoảng nghịch biến

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Quan sát bảng biến thiên ta thấy khoảng nghịch biến là: (1; 3)

  • Câu 38: Nhận biết
    Nhận biết đồ thị hàm số

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị của hàm số y = \frac{x - 3}{x -1} có dạng như đường cong trong hình

  • Câu 39: Vận dụng
    Tính thể tích hình lăng trụ

    Cho khối lăng trụ đứng ABC \cdotA^{'}B^{'}C^{'} có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng \left( A^{'}BC ight) bằng \frac{\sqrt{6}}{3}a, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

    Hướng dẫn:

    Kẻ AH vuông góc với A’B ta có:

    => \left\{ \begin{matrix}AH\bot A'B \\AH\bot BC \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(A'BC)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}BC\bot A'A \\BC\bot AB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AB)

    => d\left( A;(A'BC) ight) = AH =\frac{a\sqrt{6}}{3}

    => \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{AA'^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} \Rightarrow AA' =a\sqrt{2}

    V = \sqrt{2}.a.\frac{1}{2}a.a =\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}

  • Câu 40: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    Cho khối nón có đỉnh S, chiều cao bằng 8 và thể tích bằng \frac{800\pi}{3}. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB = 12, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi O là tâm đáy

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h = 8} \\ {{V_n} = \dfrac{{800\pi }}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow {V_n} = \dfrac{1}{3}h\pi {R^2} \Rightarrow R = 10

    Kẻ OM vuông góc với AB => M là trung điểm của AB

    AM = 6 \Rightarrow OM = 8

    Kẻ OH vuông góc với SM => d(O; (SAB)) = OH

    \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OM^{2}} \Rightarrow OH = 4\sqrt{2}

  • Câu 41: Nhận biết
    Tính diện tích xung quanh của hình nón

    Cho hình nón có đường kính đáy 2r và độ dài đường sinh l. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

    Hướng dẫn:

    Diện tích xung quanh của hình nón là: S = \ \pi rl

  • Câu 42: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z -1}{- 3}. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khoảng cách từ điểm M(5; - 1;3) đến (P) bằng:

    Hướng dẫn:

    Vecto chỉ phương của d là: \overrightarrow{u_{d}} = (2;2; - 3) \subset(P)

    Lấy điểm B(2;1;1) \in d \Rightarrow\overrightarrow{AB} = (2;0; - 1) \subset (P)

    VTPT của (P) \overrightarrow{n_{P}} =\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AB} ightbrack =( - 2; - 4; - 4) = - 2(1;2;2)

    Phương trình (P) là: x + 2y + 2z - 6 =0

    Khoảng cách từ M đến (P) là: d\left( M;(P) ight) = 1

  • Câu 43: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Tích tất cả các nghiệm của phương trình \ln^{2}x + 2lnx - 3 = 0 bằng

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix} {\ln ^2}x + 2\ln x - 3 = 0,\left( {x > 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = 1} \\ {\ln x = - 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = e} \\ {{x_2} = {e^{ - 3}}} \end{array}} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {e^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{e^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Thông hiểu
    Tìm khoảng đồng biến

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f^{'}(x) = (x - 2)^{2}(1 - x) với mọi x \in \mathbb{R}. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Xét sự biến thiên (bỏ qua sự biến thiên của nghiệm kép) (mũ chẵn)

    f’(x) = 0 => x = 1

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - \infty;1)

  • Câu 45: Vận dụng
    Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= - x^{4} + 6x^{2} + mx có ba điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^4} + 6{x^2} + mx \hfill \\ \Rightarrow y' = - 4{x^3} + 12x + m \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số có 2 điểm cực trị thì y' =0 có ba nghiệm đơn phân biệt

    Xét y' = 0 \Leftrightarrow - 4x^{3} +12x + m = 0

    \Leftrightarrow - 4x^{3} + 12x =m

    Xét f(x) = - 4x^{3} + 12x ta có:

    f'(x) = - 12x^{2} - 12 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên:

    Để thỏa mãn yêu cầu bài toán => - 8< m < 8

    Mà m\mathbb{\in Z} => m = \left\{ - 7;...;7 ight\}

  • Câu 46: Vận dụng cao
    Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MB

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Để tam giác không có góc tù cần chú ý: \left\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} \geq c^{2} \\a^{2} + c^{2} \geq b^{2} \\c^{2} + b^{2} \geq a^{2} \\\end{matrix} ight.

    Gọi điểm M(a; b; c) ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (0;0;10) \\\overrightarrow{OM} = (a;b;c) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OM} ightbrack = ( - 10b; -10a;0)

    \begin{matrix} {S_{OAM}} = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OM} } ight] = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {10b} ight)}^2} + {{\left( {10a} ight)}^2}} = 30 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {10b} ight)^2} + {\left( {10a} ight)^2} = 900 \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \overrightarrow{AM} = (a;b;c -10)

    Để tam giác OAM không có góc tù thì:

    \left\{ \begin{matrix}OA^{2} + OM^{2} \geq AM^{2} \\OA^{2} + AM^{2} \geq OM^{2} \\OM^{2} + AM^{2} \geq OA^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}10a^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a^{2} + b^{2} + (c - 10)^{2} \\10a^{2} + a^{2} + b^{2} + (c - 10)^{2} \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} \\a^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} + b^{2} + (c - 10)^{2} \geq 10^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}c \geq 0 \\c \leq 10 \\18 + 2c^{2} - 20c \geq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}c \geq 0 \\c \leq 10 \\\left\lbrack \begin{matrix}c \geq 9 \\c \leq 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}0 \leq c \leq 1 \\9 \leq c \leq 10 \\\end{matrix} ight.

    \begin{matrix} MB = \sqrt {{{\left( {3 - a} ight)}^2} + {{\left( {4 - b} ight)}^2} + {{\left( {6 - c} ight)}^2}} \hfill \\ = \sqrt {25 - 6a - 8b + {a^2} + {b^2} + {{\left( {6 - c} ight)}^2}} \hfill \\ = \sqrt {34 - 2\left( {3a + 4b} ight) + {{\left( {6 - c} ight)}^2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhia (ax + by\leq \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} ight)\left( x^{2} + y^{2}ight)}) ta có:

    \begin{matrix} 3a + 4b \leqslant \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} ight)\left( {{a^2} + {b^2}} ight)} \hfill \\ \Leftrightarrow 3a + 4b \leqslant 15 \hfill \\ \Leftrightarrow - 2\left( {3a + 4b} ight) \geqslant - 30 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow MB \geqslant \sqrt {34 - 30 + {{\left( {6 - c} ight)}^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow MB \geqslant \sqrt {42 - 12c + {c^2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trường hợp 1: 0 \leq c \leq 1 dùng bảng table ta tính được MB_{\min} =5,38

    Trường hợp 2: 9 \leq c \leq 10 dùng bảng table ta tính được MB_{\min} =3,60 tại x = 9

  • Câu 47: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm A

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Hình chiếu của A trên mặt phẳng (Oxz) (tương ứng với y = 0) là H(1; 0; 3)

    Điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oxz) là A’

    => H là trung điểm của AA’

    => \left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{A'} = 2x_{H} \\ \begin{matrix} y_{A} + y_{A'} = 2y_{H} \\ z_{A} + z_{A'} = 2z_{H} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 1 \\ \begin{matrix} y_{A'} = - 2 \\ z_{A'} = 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 48: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,SA vuông góc với đáy và SA = AB (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC

    Mà BC\bot AB (tam giác ABC vuông tại B)

    => BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot SB

    => \widehat{\left( (SBC),(ABC) ight)} = \widehat{SAB} = 45^{0}(Do tam giác SAB vuông cân tại A)

  • Câu 49: Vận dụng
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}. Gọi F(x),G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên \mathbb{R} thỏa mãn F(4) + G(4) = 4 và F(0) + G(0) = 1. Khi đó \int_{0}^{2}\mspace{2mu} f(2x)dx bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\int_{0}^{2}{f(2x)dx} đặt 2x = t \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}

    \Rightarrow I = \int_{0}^{4}{f(t)\frac{dt}{2}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{4}{f(t)dt} = F(t)|_{0}^{4} = F(4) - F(0) \\ \int_{0}^{4}{f(t)dt} = G(t)|_{0}^{4} = G(4) - G(0) \\ \end{matrix} ight.

    Mà \left\{ \begin{matrix} F(4) + G(4) = 4\ \ \ (1) \\ F(0) + G(0) = 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Lấy (1) trừ (2) ta được:

    \begin{matrix} F\left( 4 ight) - F\left( 0 ight) + G\left( 4 ight) - G\left( 0 ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {f\left( t ight)dt + \int\limits_0^4 {f\left( t ight)dt} } = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {f\left( t ight)dt} = \frac{3}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{3}{4}

  • Câu 50: Nhận biết
    Tính thể tích khối chóp

    Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,AB = 2, SA vuông góc với đáy và SA = 3 (tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp đã cho bằng

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối chóp bằng:

    \begin{matrix} V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} \hfill \\ = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.AC \hfill \\ = \dfrac{1}{6}{.3.2^2} = 2 \hfill \\ \end{matrix}

0/50
50 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (38%):
    2/3
  • Thông hiểu (38%):
    2/3
  • Vận dụng (16%):
    2/3
  • Vận dụng cao (8%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 29 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Thi THPT Quốc gia

Đăng nhập