Luyện tập Định lí Pythagore Cánh Diều

Câu 1: Vận dụng

Tính độ dài các cạnh góc vuông

Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông.

A.
$12cm;24cm$
B.
$10cm;22cm$
C.
$10cm;24cm$
D.
$15cm;24cm$

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí Pythagore và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x; y (x; y > 0)

Theo định lí Pythagore ta có:

$x^{2} + y^{2} = 26^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 676$

Theo đề bài ta có: $\frac{x}{5} = \frac{y}{12} \Rightarrow \frac{x^{2}}{25} = \frac{y^{2}}{144} = \frac{x^{2} + y^{2}}{25 + 144} = \frac{676}{167} = 4$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2}}{25} = 4 \\\dfrac{y^{2}}{144} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} = 100 \\y^{2} = 576 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 10 \\y = 24 \\\end{matrix} ight.$

Vậy hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là $10cm;24cm$

Câu 2: Vận dụng

Tính độ dài cạnh DC

Cho hình vẽ.

Tính độ dài cạnh DC. biết $AC = 3cm$ .

A.
$DC = 1$
B.
$DC= 2$
C.
$DC = 5$
D.
$DC= 3$

Hướng dẫn:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}$

$\Rightarrow \widehat{ABC} = 90^{0} -\widehat{ACB} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$

Lại có BD là phân giác góc $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} =\frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{60^{0}}{2} = 30^{0}$

Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ACB}= 30^{0}$ nên $AB = \frac{1}{2}BC\Rightarrow BC = 2AB$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

$\Rightarrow (2AB)^{2} = AB^{2} +AC^{2}$

$\Rightarrow 4AB^{2} = AB^{2} + 3^{2}\Rightarrow AB = \sqrt{3}$

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A có: $\widehat{ABD} = 30^{0}$ nên $AD = \frac{1}{2}BD \Rightarrow BD =2AD$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A ta có

$BD^{2} = AD^{2} + AD^{2}$

$\Rightarrow (2AD)^{2} = AB^{2} +AD^{2}$

$\Rightarrow 4x^{2} = \left( \sqrt{3}ight)^{2} + x^{2}$

$\Rightarrow x = 1$

$=> DC = 2cm$

Câu 3: Nhận biết

Tính độ dài AC

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2cm$ . Tính độ dài đường chéo AC.

A.
$AC = \sqrt{8}$
B.
$AC = \sqrt{4}$
C.
$AC = \sqrt{2}$
D.
$AC = 4\sqrt{2}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh hoạ

Theo bài ra ta có: ABCD là hình vuông nên $AB = BC = 2cm$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B ta có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 2^{2} + 2^{2}= 8$

$\Rightarrow AC = \sqrt{8}cm$

Câu 4: Thông hiểu

Điền đáp án đúng vào chỗ trống

Cho hình vẽ.

Giá trị của x là: 24

Đáp án là:

Cho hình vẽ.

Giá trị của x là: 24

Quan sát hình vẽ ta thấy tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$

$\Rightarrow BC^{2} = AC^{2} -AB^{2}$

$\Rightarrow x^{2} = 26^{2} - 10^{2} =576$

$\Rightarrow x = 24$

Vậy $x = 24$

Câu 5: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh AH

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Cho BH = 2cm; AB = 4cm. Tính độ dài cạnh AH.

A.
$AH = \sqrt{12}cm$
B.
$AH = \sqrt{15}cm$
C.
$AH = \sqrt{13}cm$
D.
$AH = \sqrt{10}cm$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Tính độ dài cạnh AH

Ta có: Tam giác AHB vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta được:

$AB^{2} = AH^{2} + BH^{2}$

$\Rightarrow AH^{2} = AB^{2} - BH^{2}$

$\Rightarrow AH^{2} = 4^{2} - 2^{2} = 12$

$\Rightarrow AH = \sqrt{12}(cm)$

Vậy $AH = \sqrt{12}cm$

Câu 6: Thông hiểu

Tìm x

Tính giá trị của x trong hình vẽ dưới đây:

A.
$x = \sqrt{51}$
B.
$x = \sqrt{68}$
C.
$x = 8$
D.
$x = 7$

Hướng dẫn:

Kẻ $AH\bot BD$

Khi đó ACDH là hình chữ nhật, suy ra: $\left\{ \begin{matrix}HD = AC = 6cm \\AH = CD = 8cm \\\end{matrix} ight.$

Do đó: $BH = BD - HD = 10 - 8 =2(cm)$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ∆AHB vuông tại H, ta có:

$AB^{2} = BH^{2} + AH^{2} = 2^{2} + 8^{2}= 68$

$\Rightarrow AB =\sqrt{68}cm$

Câu 7: Nhận biết

Tính BC

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $AB = 4cm, BC = 5cm$ . Tính độ dài $BC$ ?

A.
$AC = 8$
B.
$AC = 3$
C.
$AC = 1$
D.
$AC = 2$

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

$\Rightarrow BC^{2} - AB^{2} = AC^{2}$

$\Rightarrow 5^{2} - 4^{2} = AC^{2}$

$\Rightarrow AC^{2} = 9 \Rightarrow AC = 3cm$

Câu 8: Vận dụng

Tìm độ dài cạnh huyền của tam giác

Tính độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông biết tỉ lệ cạnh góc vuông $3 : 4$ và chu vi tam giác là $36cm$ .

A.
$20cm$
B.
$18cm$
C.
$15cm$
D.
$25cm$

Hướng dẫn:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x; y (cm) (y > x > 0)$

Và độ dài cạnh huyền là $z(cm) (z > y)$

Theo bài ra ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$

Khi đó: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k;\left( {k > 0} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3k} \\ {y = 4k} \end{array}} ight.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ta có:

$x^{2} + y^{2} = z^{2} \Rightarrow z^{2} = (3k)^{2} + (4k)^{2} = 25k^{2}$

$\Rightarrow z = 5k$

Suy ra $x + y + z = 3k + 4k + 5k = 12k$

Mà $x + y + z = 36$

$\Rightarrow 12k = 36$

$\Rightarrow k = 3$

Vậy $x = 9cm;y = 12cm;z = 15cm$

Vậy độ dài cạnh huyền là $15cm$ .

Câu 9: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Xác định dạng của tam giác ABC biết $AB = 4cm;BC = 4\sqrt{2}cm;AC = 4cm$ ?

A.
Tam giác vuông cân tại A
B.
Tam giác vuông tại B
C.
Tam giác vuông cân tại B
D.
Tam giác vuông tại C

Hướng dẫn:

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \hfill \\ AB = AC \hfill \\ B{C^2} = {\left( {4\sqrt 3 } ight)^2} = 32 \hfill \\ \end{gathered} ight.$