Luyện tập Tứ giác Cánh Diều

Câu 1: Nhận biết

Ghép nội dung đáp án thích hợp

Cho tứ giác ABCD biết $\widehat{A} = 75^{0};\widehat{B} =90^{0};\widehat{C} = 120^{0}$ .

Góc ngoài tại đỉnh A có số đo là 105||90||60

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là 90||60||105

Góc ngoài tại đỉnh C có số đo là 60||90||105

Góc ngoài tại đỉnh D có số đo là 105||90||65

Đáp án là:

Cho tứ giác ABCD biết $\widehat{A} = 75^{0};\widehat{B} =90^{0};\widehat{C} = 120^{0}$ .

Góc ngoài tại đỉnh A có số đo là 105||90||60

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là 90||60||105

Góc ngoài tại đỉnh C có số đo là 60||90||105

Góc ngoài tại đỉnh D có số đo là 105||90||65

Ta có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}+ \widehat{D} = 360^{0}$

$\Rightarrow \widehat{D} =75^{0}$

Khi đó ta có:

Góc ngoài tại đỉnh A có số đo là $180^{0}- 75 = 105^{0}$

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là $180^{0}- 90^{0} = 90^{0}$

Góc ngoài tại đỉnh C có số đo là $180^{0}- 120^{0} = 60^{0}$

Góc ngoài tại đỉnh D có số đo là $180^{0}- 75^{0} = 105^{0}$

Câu 2: Thông hiểu

Tính số đo góc A và góc C

Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = BC; CD = DA$ . Tính số đo các góc $A$ và $C$ biết $\widehat{B} = 100^{0};\widehat{D} = 80^{0}$ .

A.
$\widehat{A} = 45^{0};\widehat{C} = 30^{0}$
B.
$\widehat{A} = 40^{0};\widehat{C} = 50^{0}$
C.
$\widehat{A} = 90^{0};\widehat{C} = 90^{0}$
D.
$\widehat{A} = 60^{0};\widehat{C} = 80^{0}$

Hướng dẫn:

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ có:

$AB = BC$

$AD = DC$

$BD$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta CBD(c - c - c) \Rightarrow \widehat{A} = \widehat{C}$

Mặt khác $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{0}$

$\Rightarrow \widehat{A} = \widehat{C} = 90^{0}$

Câu 3: Vận dụng

Tính số đo góc AIB

Cho tứ giác $ABCD$ biết $\widehat{B} + \widehat{C} = 200^{0}$ ; $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^{0}$ ; $\widehat{D} + \widehat{C} = 120^{0}$ . Gọi I là giao điểm của các tia phân giác góc A và góc B. Tính số đo góc $AIB$ ?

A.
$120^{0}$
B.
$110^{0}$
C.
$84^{0}$
D.
$96^{0}$

Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có:

$2\widehat{B} + 2\widehat{C} + 2\widehat{D} = 200^{0} + 180^{0} + 120^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 250^{0}$

Vì $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{0} \Rightarrow \widehat{A} = 110^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B} = 250^{0} - \left( \widehat{C} + \widehat{D} ight) = 250^{0} - 120^{0} = 130^{0}$

Trong tam giác ABI có:

$\widehat{AIB} = 180^{0} - \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2} = 120^{0}$

Câu 4: Vận dụng

Tính số đo góc ABC

Cho tứ giác ABCD có $AD = DC = CB;\widehat{C} = 130^{0};\widehat{D} = 110^{0}$ . Tính số đo góc $\widehat{ABC}$ .

A.
$\widehat{ABC} = 110^{0}$
B.
$\widehat{ABC} = 135^{0}$
C.
$\widehat{ABC} = 55^{0}$
D.
$\widehat{ABC} = 60^{0}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Tính số đo góc ABC

$\Rightarrow \widehat{CED} = 180^{0} - \frac{110^{0} + 130^{0}}{2} = 60^{}$

$\Delta ADE = \Delta CDE(c - g - c) \Rightarrow \widehat{AED} = \widehat{CED} = 60^{0}$

$\Delta BCE = \Delta DCE(c - g - c) \Rightarrow \widehat{BEC} = \widehat{DEC} = 60^{0}$

Suy ra $\widehat{AEB} = 180^{0}$ do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng

$\Rightarrow \widehat{ABC} = 360^{0} - \left( 65^{0} + 110^{0} + 130^{0} ight) = 55^{0}$

Câu 5: Thông hiểu

Tính tổng các góc

Cho hình vẽ sau:

Tính $\widehat{A_{1}} + \widehat{B_{1}} +\widehat{C_{1}} + \widehat{D_{1}} = ?$

A.
$180^{0}$
B.
$360^{0}$
C.
$270^{0}$
D.
$320^{0}$

Hướng dẫn:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{A} + \widehat{A_{1}} = 180^{0} \\\widehat{B} + \widehat{B_{1}} = 180^{0} \\\widehat{C} + \widehat{C_{1}} = 180^{0} \\\widehat{D} + \widehat{D_{1}} = 180^{0} \\\end{matrix} ight.$ (vì các cặp góc kề bù nhau)

$\widehat{A} + \widehat{A_{1}} +\widehat{B} + \widehat{B_{1}} + \widehat{C} + \widehat{C_{1}} +\widehat{D} + \widehat{D_{1}} = 4.180^{0}$

$\Rightarrow \left( \widehat{A} +\widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} ight) + \left( \widehat{A_{1}}+ \widehat{B_{1}} + \widehat{C_{1}} + \widehat{D_{1}} ight) =720^{0}$

Mà $\widehat{A} + \widehat{B} +\widehat{C} + \widehat{D} = 360^{0}$ (tổng bốn góc của một tứ giác)

Khi đó: $\widehat{A_{1}} + \widehat{B_{1}}+ \widehat{C_{1}} + \widehat{D_{1}} = 720^{0} - 360^{0} =360^{0}$

Câu 6: Vận dụng cao

Tính độ dài cạnh AD

Cho tứ giác $ABCD$ có O là giao điểm hai đường chéo. Tính độ dài cạnh AD biết $AB = 6;OA =8;OB = 4;OD = 6$ .

A.
$AD = 9\sqrt{12}$
B.
$AD = \sqrt{166}$
C.
$AD = 3\sqrt{2}$
D.
$AD = 12$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Kẻ $AH ⊥ BD$ . Đặt $BH = x, AH = y$ .

Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông ABH và AOH, ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} = 36 \\(x + 4)^{2} + y^{2} = 64 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = \frac{3}{2};y^{2} =\frac{135}{2}$

Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông ADH, ta có:

$AD^{2} = HD^{2} + AH^{2} = 11,5^{2} +\frac{135}{2} = 166$

$\Rightarrow AD = \sqrt{166}$

Câu 7: Thông hiểu

Tính số đo góc

Cho hình vẽ:

Tính số đo góc $\widehat{D_{1}}$ ?

A.
$105^{0}$
B.
$110^{0}$
C.
$155^{0}$
D.
$124^{0}$

Hướng dẫn:

Ta có: $\widehat{A} + \widehat{B} +\widehat{C} + \widehat{D} = 360^{0}$

$\Rightarrow \widehat{D} = 360^{0} -\left( \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} ight) =75^{0}$

Vì $\widehat{D};\widehat{D_{1}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{D} +\widehat{D_{1}} = 180^{0} \Leftrightarrow \widehat{D_{1}} = 180^{0} -\widehat{D} = 105^{0}$

Câu 8: Thông hiểu

Tính độ dài CD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, $AB = 8cm,\ BC = 7cm,\ AD = 4cm$ . Tính độ dài CD.

A.
$CD = 1$
B.
$CD = 2$
C.
$CD = 4$
D.
$CD = 3$

Hướng dẫn:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có $OC^{2} + OD^{2} + OB^{2} + OA^{2} = BC^{2} + AD^{2} = 72 + 42 = 65$

và $OA^{2} + OB^{2} = AB^{2} = 64$

Suy ra $OC^{2} + OD^{2} = 1$ hay $CD^{2} = 1$

Vậy CD = 1

Câu 9: Thông hiểu

Tính giá trị biểu thức T

Gọi độ dài cạnh của tứ giác $ABCD$ là $a, b, c, d$ . Biết chu vi tứ giác bằng 76cm và $a:b:c:d = 2:5:4:8$ . Tính giá trị biểu thức $T = (a + b)(c + d)$ .